الإجابة الصحيحة: B. نعم

الشرح: في \(\mathbb{R}\)، تكون المجموعات المغلقة والمحدودة مضغوطة.

الإجابة الصحيحة: D. لا، لأنه غير مغلق

الشرح: هو محدود لكنه غير مغلق، لذلك فهو غير مضغوط في \(\mathbb{R}\).

الإجابة الصحيحة: A. مغلقة ومحدودة

الشرح: تنصّ مبرهنة هاينه-بوريل على أن المجموعات الجزئية المضغوطة من \(\mathbb{R}^n\) هي بالضبط المجموعات المغلقة والمحدودة.

الإجابة الصحيحة: B. مضغوطة

الشرح: الاستمرارية تحفظ التراص.

الإجابة الصحيحة: C. نعم

الشرح: الفترات هي بالضبط المجموعات الجزئية المتصلة من \(\mathbb{R}\) التي تحتوي على أكثر من نقطة واحدة.

الإجابة الصحيحة: B. لا

الشرح: هناك فجوة بين الفترتين، لذا فإن الاتحاد غير متصل.

الإجابة الصحيحة: D. متصلة

الشرح: الاستمرارية تحفظ الاتصال.

الإجابة الصحيحة: C. مغلقة

الشرح: المجموعات المضغوطة في الفضاءات المترية مغلقة.

الإجابة الصحيحة: D. \([0,1]\)

الشرح: الفترة \([0,1]\) لا يمكن فصلها إلى جزأين مفتوحين غير فارغين.

الإجابة الصحيحة: C. أن تحقق قيمة عظمى وقيمة صغرى

الشرح: تعطي مبرهنة القيمة العظمى قيمة عظمى وقيمة صغرى.