Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Continuidad y convergencia uniforme - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.

Continuidad en un punto: \(\varepsilon\)-\(\delta\), límites y errores comunes

Idea clave

Una función \(f\) es continua en \(a\) si: \[ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \text{tal que}\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon. \] Si \(\lim_{x\to a} f(x)\) existe, entonces la continuidad en \(a\) es equivalente a: \[ \lim_{x\to a} f(x)=f(a). \] Para comprobar continuidad rápidamente, a menudo:

• Calculas el límite \(\lim_{x\to a} f(x)\) (bilateral o lateral si \(a\) es un extremo).
• Lo comparas con el valor definido \(f(a)\).
• Identificas si alguna "ruptura" es removible, un salto o una explosión infinita.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Continuidad en \(a\): \(\lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) (cuando el límite existe).
• Muchas discontinuidades se detectan comparando límites laterales y el valor de la función.

Continuidad en \([a,b]\), límites laterales y teoremas de máximo/mínimo

Idea clave

Decir que \(f\) es continua en \([a,b]\) significa:

• \(f\) es continua en cada punto interior \(x\in(a,b)\), y
• \(f\) es continua por la derecha en \(a\) y continua por la izquierda en \(b\) (continuidad lateral en los extremos).

Dos resultados fundamentales para funciones continuas en intervalos cerrados:

• Teorema del valor extremo (TVE): si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces \(f\) alcanza un máximo y un mínimo en \([a,b]\).
• Teorema del valor intermedio (TVI): si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces \(f\) toma todos los valores entre \(f(a)\) y \(f(b)\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• TVE y TVI están garantizados en intervalos cerrados \([a,b]\), no en intervalos abiertos \((a,b)\).
• La continuidad se preserva bajo composición y al tomar valor absoluto.

Continuidad uniforme vs. continuidad: qué cambia y por qué importa

Idea clave

La continuidad en un punto \(a\) permite que \(\delta\) dependa de \(a\). La continuidad uniforme fortalece esto al exigir un solo \(\delta\) que funcione para todo el conjunto: \[ \forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ \text{tal que para todos }x,y\in E,\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon. \] Ese "un \(\delta\) para todos los puntos" es la frase clave de la continuidad uniforme.

Dos hechos imprescindibles

• Teorema de Heine-Cantor: si \(f\) es continua en un intervalo compacto \([a,b]\), entonces \(f\) es uniformemente continua en \([a,b]\).
• En conjuntos no acotados: ser continua no garantiza continuidad uniforme (por ejemplo, \(x^2\) en \(\mathbb{R}\)).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• La continuidad uniforme es "continuidad con \(\delta\) independiente del punto".
• Continua en \([a,b]\) \(\Rightarrow\) uniformemente continua en \([a,b]\) (Heine-Cantor).

Convergencia puntual vs. convergencia uniforme: la prueba de la norma suprema

Idea clave

Convergencia puntual significa: para cada \(x\in E\) fijo, \(f_n(x)\to f(x)\). Convergencia uniforme significa: \[ \sup_{x\in E}\,|f_n(x)-f(x)| \to 0. \] Equivalentemente, \(f_n\to f\) uniformemente en \(E\) si: \[ \forall \varepsilon>0\ \exists N\ \text{tal que } n\ge N \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \text{ para todo }x\in E. \] La diferencia clave: en la convergencia uniforme, el \(N\) funciona para todos los \(x\) simultáneamente.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• La convergencia uniforme usa \(\sup_{x\in E}|f_n-f|\to 0\).
• \(x^n\to 0\) uniformemente en \([0,c]\) para \(c<1\), pero no uniformemente en \([0,1]\).

Convergencia uniforme de \(\sum f_n\): prueba M de Weierstrass y cotas rápidas

Idea clave

Se dice que una serie de funciones \(\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\) converge uniformemente en un conjunto \(E\) si la sucesión de sumas parciales \[ S_N(x)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x) \] converge uniformemente a una función límite \(S(x)\) en \(E\). La prueba más común es la prueba M de Weierstrass:

• Si \(|f_n(x)| \le M_n\) para todo \(x\in E\), y \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\) converge, entonces \(\sum f_n\) converge uniformemente (y absolutamente) en \(E\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• La prueba M es una herramienta básica: acota \(|f_n(x)|\) por una serie numérica convergente.
• Los límites uniformes se comportan bien respecto de cotas en norma suprema.

¿El límite sigue siendo continuo? Convergencia uniforme vs. puntual

Idea clave

La convergencia uniforme preserva la continuidad: si cada \(f_n\) es continua en \(E\) y \(f_n\to f\) uniformemente en \(E\), entonces \(f\) es continua en \(E\). Esta es una de las razones principales por las que la convergencia uniforme es más fuerte que la convergencia puntual.

Contraejemplo clásico (solo puntual)

Inténtalo

Resumen

• La convergencia uniforme preserva la continuidad; la convergencia puntual no.
• \(x^n\) en \([0,1]\) es un ejemplo clave: \(f_n\) continuas, límite puntual discontinuo.

Cómo resolver rápido preguntas de continuidad y convergencia uniforme

Lista rápida (qué probar primero)

• Continuidad en \(a\): calcula \(\lim_{x\to a} f(x)\) y compáralo con \(f(a)\). Para funciones por partes, revisa límites laterales.
• Continuidad en un intervalo: verifica que el denominador nunca sea 0; asegúrate de usar continuidad lateral en extremos de \([a,b]\).
• Continuidad uniforme: en \([a,b]\), usa Heine-Cantor. En \(\mathbb{R}\), ten cuidado con pendientes no acotadas.
• Convergencia uniforme: calcula \(\sup |f_n-f|\) o usa un argumento de acotación. Para \(\sum f_n\), prueba la prueba M.
• Hechos de preservación: la convergencia uniforme preserva la continuidad; la convergencia puntual no.

Ejemplo resuelto: arreglar una discontinuidad removible

Comprobación final

Repaso final

• Continuidad en \(a\): \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) tal que \(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon\).
• Continuidad uniforme: \(\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\) tal que \(|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\) para todos \(x,y\in E\).
• Convergencia uniforme: \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to 0\).
• Convergencia uniforme + continuidad de \(f_n\) \(\Rightarrow\) continuidad de \(f\).
• Prueba M: si \(|f_n(x)|\le M_n\) y \(\sum M_n\) converge, entonces \(\sum f_n\) converge uniformemente.