正解: B. はい

解説: \(\mathbb{R}\) では、閉かつ有界な集合はコンパクトです。

正解: D. いいえ、閉でないからです

解説: 有界ですが閉ではないので、\(\mathbb{R}\) ではコンパクトではありません。

正解: A. 閉かつ有界

解説: Heine-Borel の定理によれば、\(\mathbb{R}^n\) のコンパクト部分集合は、ちょうど閉かつ有界な集合です。

正解: B. コンパクト

解説: 連続性はコンパクト性を保ちます。

正解: C. はい

解説: 区間とは、\(\mathbb{R}\) の 1 点より多い連結部分集合そのものです。

正解: B. いいえ

解説: 2 つの区間の間に隙間があるので、この和集合は非連結です。

正解: D. 連結

解説: 連続性は連結性を保ちます。

正解: C. 閉

解説: 距離空間のコンパクト部分集合は閉です。

正解: D. \([0,1]\)

解説: 区間 \([0,1]\) は、2 つの空でない開部分への分離をもちません。

正解: C. 最大値と最小値をとる

解説: 最大値最小値定理により、最大値と最小値の両方をとります。