أسئلة تدريب على تطبيقات المشتقات مع درس خطوة بخطوة

الإجابة الصحيحة: C. \(4\) وحدة/ثانية

الشرح: بما أن القطر \(d=2r\)، نشتق: \(\frac{dd}{dt} = 2\cdot \frac{dr}{dt} = 2\cdot2 = 4\) وحدة/ثانية.

الإجابة الصحيحة: B. مربع

الشرح: مع \(2x+2y=P\) والمساحة \(A=xy\)، فإن التماثل (\(x=y\)) يُعظِّم \(A\)، لذا يكون المستطيل مربعًا.

الإجابة الصحيحة: C. \(12\ \text{وحدة}^3/\text{ثانية}\)

الشرح: الحجم \(V = a^3\). بالتفاضل: \(\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}\). عند \(a=2\) و\(\frac{da}{dt}=1\): \(\frac{dV}{dt} = 3\cdot2^2\cdot1 = 12\ \text{وحدة}^3/\text{ثانية}\).

الإجابة الصحيحة: C. \(10\ \text{وحدة}^2/\text{ثانية}\)

الشرح: المساحة \(A = 5w\). بالتفاضل: \(\frac{dA}{dt} = 5\,\frac{dw}{dt} = 5\cdot2 = 10\ \text{وحدة}^2/\text{ثانية}\).

الإجابة الصحيحة: A. \(5\) و\(5\)

الشرح: لتكن العددان \(x\) و\(10-x\). حاصل الضرب \(P=x(10-x)\) يبلغ قيمته العظمى عند \(x=5\)، لذا فالزوج هو (5,5).

الإجابة الصحيحة: D. كرة

الشرح: بحسب حساب التغيرات، فإن الكرة تُقلِّل مساحة السطح إلى الحد الأدنى عند حجمٍ معيّن.

الإجابة الصحيحة: B. \(2\pi\ \text{وحدة}/\text{ثانية}\)

الشرح: المحيط \(C = 2\pi r\). بالتفاضل: \(\frac{dC}{dt} = 2\pi\,\frac{dr}{dt} = 2\pi\cdot1 = 2\pi\ \text{وحدة}/\text{ثانية}\).

الإجابة الصحيحة: D. \(12\pi\ \text{وحدة}^2/\text{ثانية}\)

الشرح: المساحة \(A = \pi r^2\). بالتفاضل: \(\frac{dA}{dt} = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}\). عند \(r=3\) و\(\frac{dr}{dt}=2\): \(\frac{dA}{dt} = 2\pi\cdot3\cdot2 = 12\pi\ \text{وحدة}^2/\text{ثانية}\).

الإجابة الصحيحة: A. \(12\ \text{وحدة}^2/\text{ثانية}\)

الشرح: المساحة \(A = s^2\)، إذن \(\frac{dA}{dt} = 2s\,\frac{ds}{dt} = 2\cdot3\cdot2 = 12\).

الإجابة الصحيحة: A. \(4\ \text{وحدة}/\text{دقيقة}\)

الشرح: المحيط \(P = 4s\)، إذن \(\frac{dP}{dt} = 4\,\frac{ds}{dt} = 4\cdot1 = 4\).