El coche A se mueve hacia el este a \(30\) unidades/s y el coche B hacia el norte a \(40\) unidades/s. ¿A qué velocidad aumenta su distancia cuando están a \(3\) y \(4\) unidades de la intersección?
Respuesta correcta: C. \(50\ \text{unidades}/\text{s}\)
Explicación: Con \(D^2=x^2+y^2\), derivamos: \(2D\frac{dD}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\). Así, \(\frac{dD}{dt}=\frac{3\cdot30+4\cdot40}{5}=50\).
Cuestionario de práctica de aplicaciones de derivadas con una lección interactiva paso a paso
Usa la serie de preguntas más abajo en la página para practicar aplicaciones de derivadas — las habilidades reales más prácticas de Cálculo. Trabajarás con la derivada como tasa instantánea de cambio y como pendiente de una recta tangente, calcularás velocidad y aceleración desde funciones de posición, resolverás problemas clásicos de tasas relacionadas usando diferenciación implícita (escaleras, círculos, esferas, cilindros), y dominarás problemas de optimización (maximizar ingresos, minimizar costos, maximizar área con perímetro fijo). También usarás puntos críticos y pruebas de derivadas (creciente/decreciente, prueba de la primera derivada), y aplicarás aproximación lineal (aproximación por recta tangente / diferenciales) para estimar valores rápidamente. Si quieres repasar, haz clic en Iniciar lección para abrir una guía paso a paso con ejemplos resueltos y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de aplicaciones de derivadas
1. Haz la serie de práctica: responde las preguntas de aplicaciones de derivadas más abajo en la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa tasas relacionadas, optimización, movimiento (velocidad/aceleración), pruebas de derivadas y aproximación lineal con ejemplos claros.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y aplica de inmediato las herramientas de derivadas.
Qué aprenderás en la lección de aplicaciones de derivadas
Tasas de cambio y movimiento
Significado de la derivada: tasa instantánea de cambio y pendiente tangente
Velocidad y aceleración: \(v(t)=s'(t)\), \(a(t)=v'(t)=s''(t)\)
Tasas con regla de la cadena: conecta \(dy/dt\) con \(dy/dx\cdot dx/dt\)
Tasas relacionadas (diferenciación implícita)
Plantea una ecuación geométrica (teorema de Pitágoras, área, volumen)
Deriva respecto del tiempo \(t\): \(d/dt\) en todas partes
Sustituye los valores del instante para obtener tasas como \(dy/dt\), \(dr/dt\), \(dV/dt\)
Optimización (máx/mín)
Construye una función objetivo (ingresos, área, costo)
Usa una restricción para escribir el objetivo en una variable
Encuentra puntos críticos y confirma máximos/mínimos con pruebas de derivadas
Pruebas de derivadas y aproximación
Puntos críticos: donde \(f'(x)=0\) o no está definida
Creciente/decreciente: signo de \(f'(x)\) en intervalos
Aproximación lineal: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\) para estimaciones rápidas
Propósito: Construir habilidades sólidas en aplicaciones de derivadas para que puedas usar derivadas como tasas de cambio y pendientes, resolver problemas de movimiento (velocidad y aceleración), plantear y resolver tasas relacionadas usando diferenciación implícita, manejar optimización (maximizar ingresos, minimizar costos, maximizar área con restricciones), analizar funciones con puntos críticos y pruebas creciente/decreciente, y usar aproximación lineal (aproximación por recta tangente) para estimar valores rápidamente.
Criterios de éxito
Interpreta la derivada como tasa instantánea de cambio y pendiente de la recta tangente.
Calcula velocidad y aceleración desde una función de posición \(s(t)\).
Usa la regla de la cadena para tasas: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Plantea tasas relacionadas con una ecuación geométrica y deriva respecto de \(t\).
Calcula tasas para círculos, esferas, cilindros y escaleras (teorema de Pitágoras).
Escribe una función objetivo y una restricción para problemas de optimización.
Encuentra puntos críticos donde \(f'(x)=0\) o \(f'(x)\) no existe.
Determina dónde una función es creciente o decreciente a partir del signo de \(f'(x)\).
Usa aproximación lineal: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\).
Aplica la idea del Teorema del Valor Medio: tasa promedio vs. tasa instantánea.
Vocabulario clave
Derivada: \(f'(x)\), la pendiente de la recta tangente y tasa instantánea de cambio.
Tasas relacionadas: usar una relación entre variables para conectar tasas como \(dx/dt\), \(dy/dt\), \(dr/dt\).
Optimización: maximizar o minimizar una cantidad sujeta a restricciones.
Punto crítico: un punto donde \(f'(x)=0\) o \(f'(x)\) no está definida.
Aproximación lineal: usar la recta tangente para estimar valores de una función.
Teorema del Valor Medio: existe \(c\) donde \(f'(c)\) es igual a la pendiente promedio en \([a,b]\).
Comprobación rápida previa
Precomprobación 1: La posición de un objeto es \(s(t)=5t^2\). ¿Cuál es su velocidad en \(t=3\)?
Pista: La velocidad es \(v(t)=s'(t)\). Deriva \(5t^2\) para obtener \(10t\).
Precomprobación 2: ¿Cuál es la pendiente de la tangente a \(y=\frac{1}{x}\) en \(x=2\)?
Pista: \(y=x^{-1}\Rightarrow y'=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}\). Evalúa en \(x=2\).
Tasas de cambio
Derivadas como tasas: velocidad, aceleración y regla de la cadena con tiempo
Objetivo de aprendizaje: Usar derivadas para convertir posición en velocidad y aceleración, y conectar tasas usando la regla de la cadena.
Idea clave
En aplicaciones, la derivada a menudo significa una tasa instantánea de cambio. Si la posición es \(s(t)\), entonces: \[ v(t)=s'(t)\quad \text{(velocidad)}, \qquad a(t)=v'(t)=s''(t)\quad \text{(aceleración)}. \] Cuando las variables dependen del tiempo, la regla de la cadena conecta tasas: \[ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}. \]
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Cuál es la velocidad instantánea de \(s(t)=3t^2+2t\) en \(t=1\)?
Deriva: \[ v(t)=s'(t)=6t+2. \] Evalúa en \(t=1\): \[ v(1)=6(1)+2=8. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es la velocidad instantánea de \(s(t) = 3t^2 + 2t\) en \(t = 1\)?
Pista: La velocidad es \(s'(t)\). Deriva y luego sustituye \(t=1\).
Inténtalo 2: Si \(y=\tan(x)\) y \(\frac{dx}{dt}=1\) en \(x=0\), ¿cuál es \(\frac{dy}{dt}\)?
Pista: \(\dfrac{dy}{dt}=\sec^2(x)\dfrac{dx}{dt}\). En \(x=0\), \(\sec^2(0)=1\).
Resumen
La velocidad es \(s'(t)\); la aceleración es \(s''(t)\).
Para variables dependientes del tiempo, usa \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Tasas relacionadas
Tasas relacionadas: plantea una ecuación, luego deriva respecto del tiempo
Objetivo de aprendizaje: Traducir un problema verbal a una ecuación y conectar tasas como \(dx/dt\) y \(dy/dt\).
Idea clave
Los problemas de tasas relacionadas siguen un proceso constante:
Paso 1: Dibuja una figura y escribe una relación entre variables (a menudo geométrica).
Paso 2: Deriva ambos lados respecto del tiempo \(t\).
Paso 3: Sustituye los valores del instante y resuelve la tasa desconocida.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Una escalera de \(10\) ft se apoya contra una pared. Si la base se desliza alejándose a \(1\) ft/s, ¿qué tan rápido baja la parte superior cuando la base está a \(6\) ft de la pared?
Sea \(x\) la distancia de la base a la pared y \(y\) la altura de la parte superior. Entonces: \[ x^2+y^2=10^2=100. \] Deriva respecto de \(t\): \[ 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}. \] Cuando \(x=6\), \(y=\sqrt{100-36}=8\). Con \(\frac{dx}{dt}=1\), \[ \frac{dy}{dt}=-\frac{6}{8}(1)=-\frac{3}{4}. \] Así que la parte superior baja a \(\frac{3}{4}\) ft/s.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si el radio de un círculo crece a \(2\) unidades/seg, ¿qué tan rápido aumenta su área cuando \(r=3\)?
Inténtalo 2: Si el volumen de una esfera aumenta a \(100\) unidades\(^3\)/seg, ¿qué tan rápido aumenta su radio cuando \(r=5\)?
Pista: \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow \dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}\). Resuelve \(dr/dt\) en \(r=5\).
Resumen
Primero escribe una relación (geometría), luego deriva respecto del tiempo.
Sustituye los valores del instante al final y resuelve la tasa desconocida.
Optimización
Optimización: maximizar o minimizar con derivadas
Objetivo de aprendizaje: Convertir un problema verbal en una función de una variable y luego usar derivadas para hallar máximos/mínimos.
Idea clave
Los problemas de optimización siguen una lista confiable:
Define variables y escribe la cantidad que quieres optimizar (función objetivo).
Usa una restricción para reescribir el objetivo con una sola variable.
Deriva y resuelve \(A'(x)=0\) (o \(R'(p)=0\), etc.) para encontrar puntos críticos.
Confirma máximo/mínimo (usa una prueba o el contexto del problema).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Qué precio \(p\) maximiza los ingresos dados \(R(p)=p(100-p)\)?
Expande: \[ R(p)=100p-p^2. \] Deriva e iguala a cero: \[ R'(p)=100-2p=0 \Rightarrow p=50. \] Como \(R(p)\) es una parábola que abre hacia abajo, \(p=50\) da el ingreso máximo.
Inténtalo
Inténtalo 1: Un rectángulo tiene perímetro \(40\) unidades. ¿Qué dimensiones maximizan su área?
Pista: Para un perímetro fijo, el rectángulo de área máxima es un cuadrado.
Inténtalo 2: Para un rectángulo con perímetro fijo \(P\), ¿qué forma maximiza su área?
Pista: Gana la simetría: lados iguales maximizan el área con perímetro fijo.
Resumen
Escribe el objetivo, usa la restricción, luego deriva y resuelve puntos críticos.
Usa el contexto o una prueba para confirmar que encontraste un máximo o mínimo.
Pruebas de derivadas
Puntos críticos, creciente/decreciente y prueba de la primera derivada
Objetivo de aprendizaje: Usar \(f'(x)\) para localizar puntos críticos y decidir dónde una función crece o decrece.
Idea clave
Las pruebas de derivadas convierten gráficas en álgebra:
Puntos críticos: resuelve \(f'(x)=0\) (e incluye donde \(f'(x)\) no está definida).
Creciente/decreciente: si \(f'(x)>0\), \(f\) crece; si \(f'(x)<0\), \(f\) decrece.
Prueba de la primera derivada: si \(f'\) cambia de \(+\) a \(-\), hay un máximo local; de \(-\) a \(+\), un mínimo local.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Encuentra los puntos críticos de \(f(x)=x^3-3x^2+4\).
Deriva: \[ f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2). \] Igualamos \(f'(x)=0\): \[ 3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ o } x=2. \] Entonces los puntos críticos ocurren en \(x=0\) y \(x=2\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Encuentra los puntos críticos de \(f(x)=x^3-3x^2+4\).
Pista: Deriva y resuelve \(f'(x)=0\).
Inténtalo 2: Encuentra dónde \(f(x)= x^5-5x^4\) es decreciente.
Pista: Calcula \(f'(x)\), factorízala y luego usa una tabla de signos para \(f'(x)\).
Resumen
Los puntos críticos vienen de \(f'(x)=0\) (y de donde \(f'\) no está definida).
El signo de \(f'(x)\) indica dónde \(f\) crece/decrece; los cambios de signo localizan extremos locales.
Aproximación lineal
Aproximación lineal: la recta tangente como estimador rápido
Objetivo de aprendizaje: Usar la recta tangente \(L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) para estimar valores cerca de \(a\).
Idea clave
Cerca de un punto \(x=a\), una función diferenciable se comporta casi como su recta tangente: \[ f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a). \] Esto es potente para estimaciones mentales rápidas y para entender sensibilidad al error.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Usa aproximación lineal para estimar \(\sqrt{9.1}\).
Sea \(f(x)=\sqrt{x}\) y elige \(a=9\) porque \(\sqrt{9}=3\). Entonces \(f(9)=3\) y \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), así que \(f'(9)=\dfrac{1}{6}\). Con \(x=9.1\), \(x-a=0.1\): \[ \sqrt{9.1}\approx 3+\frac{1}{6}(0.1)=3+\frac{0.1}{6}\approx 3.0167. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: Usando aproximación lineal en \(a=9\), estima \(\sqrt{9.1}\).
Pista: Usa \(f(x)=\sqrt{x}\), \(f(9)=3\), \(f'(9)=1/6\) y \(\Delta x=0.1\).
Inténtalo 2: Usando aproximación lineal en \(x=1\), estima \(\ln(1.02)\).
Pista: \(f(x)=\ln x\), \(f(1)=0\), \(f'(1)=1\) y \(\Delta x=0.02\).
Resumen
La aproximación lineal usa la recta tangente: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\).
Elige \(a\) donde \(f(a)\) y \(f'(a)\) sean fáciles de calcular.
Teorema del Valor Medio
Cambio promedio vs. instantáneo: la idea del Teorema del Valor Medio
Objetivo de aprendizaje: Conectar tasa promedio de cambio con un valor instantáneo de la derivada.
Idea clave
Si \(f\) es continua en \([a,b]\) y diferenciable en \((a,b)\), entonces el Teorema del Valor Medio dice que existe al menos un número \(c\in(a,b)\) tal que \[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \] Este es el puente formal entre una pendiente promedio y una pendiente tangente.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(f(x)=x^2\) en \([1,3]\), encuentra un \(c\) que satisfaga el Teorema del Valor Medio.
Pendiente promedio: \[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4. \] Derivada: \[ f'(x)=2x. \] Igualamos \(2c=4\Rightarrow c=2\), que está en \((1,3)\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Para \(f(x)=x^2\) en \([0,2]\), un valor \(c\in(0,2)\) que satisface TVM es:
Pista: Calcula la pendiente promedio \(\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}\), luego resuelve \(f'(c)=\) esa pendiente.
Inténtalo 2: Si \(y=\ln(x)\) y \(\frac{dx}{dt}=2\) en \(x=1\), ¿cuál es \(\frac{dy}{dt}\)?
Pista: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{x}\dfrac{dx}{dt}\). Evalúa en \(x=1\).
Resumen
El TVM garantiza al menos un punto donde la pendiente tangente iguala la pendiente promedio en un intervalo.
Las tasas con regla de la cadena aparecen a menudo junto a aplicaciones: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Aplicaciones y panorama general
Por qué importan las aplicaciones de derivadas
Objetivo de aprendizaje: Conectar herramientas de derivadas con modelado real, y terminar con una comprobación final.
Dónde aparecen las aplicaciones de derivadas
Física: velocidad, aceleración y tasas de cambio en el tiempo.
Ingeniería: tasas relacionadas, sensibilidad y optimización de diseño bajo restricciones.
Datos y modelado: las derivadas miden cómo responden las salidas a las entradas (comportamiento local).
Ejemplo resuelto: volumen que cambia en un cilindro
Ejemplo: Si un cilindro tiene radio \(2\) unidades y su altura aumenta a \(1\) unidad/seg, ¿qué tan rápido cambia su volumen?
El volumen es \(V=\pi r^2h\). Si \(r\) es constante e igual a \(2\), entonces \[ \frac{dV}{dt}=\pi r^2\frac{dh}{dt}=\pi(2^2)(1)=4\pi. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: Si un cilindro tiene radio \(2\) unidades y su altura aumenta a \(1\) unidad/seg, ¿qué tan rápido cambia su volumen?
Pista: Si \(r\) es constante, \(dV/dt=\pi r^2\, dh/dt\).
Inténtalo 2: En un triángulo rectángulo, el cateto \(x=4\) está fijo y el cateto \(y\) crece a \(2\) unidades/seg. ¿Qué tan rápido cambia la hipotenusa \(c\) cuando \(y=3\)?
Pista: Usa \(c^2=x^2+y^2\). Deriva: \(2c\,dc/dt=2y\,dy/dt\) porque \(x\) es constante.
Repaso final
Movimiento: \(v(t)=s'(t)\), \(a(t)=s''(t)\).
Tasas con regla de la cadena: \(\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt}\).
Tasas relacionadas: escribe una ecuación, deriva respecto de \(t\), luego sustituye valores.
Pruebas de derivadas: puntos críticos y signo de \(f'(x)\) revelan dónde una función crece/decrece.
Aproximación lineal: \(f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)\) cerca de \(a\).
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con la habilidad de aplicación que necesitas (tasas, tasas relacionadas, optimización, pruebas o aproximación).
