Eine Bilinearform ist in jedem Argument einzeln linear

Kernidee

Für Vektorräume über demselben Körper ist eine Bilinearform eine skalarwertige Abbildung \(B:V\times V\to F\) mit \(B(ax_1+bx_2,y)=aB(x_1,y)+bB(x_2,y)\) und \(B(x,ay_1+by_2)=aB(x,y_1)+bB(x,y_2)\). In Koordinaten hat jede Bilinearform auf \(F^n\) die Gestalt \(B(x,y)=x^TAy\).

Erkennungs-Prüfenliste

• Keine Potenzen wie \(x_1^2\) im Test des ersten Arguments.
• Keine Längen wie \(\|y\|\), denn Normen sind nicht linear.
• Produkte \(x_i y_j\) sind zulässig: Jedes Argument erscheint weiterhin linear, wenn das andere festgehalten wird.
• Symmetrisch ist eine zusätzliche Eigenschaft; eine Bilinearform kann bilinear sein, ohne symmetrisch zu sein.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Quadratische Formen entstehen, wenn man eine symmetrische Form zweimal auswertet

Kernidee

Wenn \(B\) symmetrisch ist, dann ist \(q(x)=B(x,x)\) eine quadratische Form. Umgekehrt bestimmt eine quadratische Form über Körpern mit \(2≠0\) ihre symmetrische Bilinearform durch Polarisierung. In reellen Koordinaten schreibt man \(q(x)=x^TAx\) mit \(A=A^T\).

Matrixverfahren

• Der Koeffizient von \(x_i^2\) ist der Diagonaleintrag \(a_{ii}\).
• Der Koeffizient von \(x_i x_j\) für \(i≠ j\) ist \(2a_{ij}\), wenn \(A\) symmetrisch ist.
• Also ist der Eintrag außerhalb der Diagonale die Hälfte des Koeffizienten des gemischten Terms.
• Nur der symmetrische Anteil einer Matrix trägt zu \(x^TAx\) bei, denn \(x^TSx=0\) für schiefsymmetrisches \(S\).

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Definitheit betrifft Werte auf allen von null verschiedenen Vektoren

Kernidee

Eine quadratische Form ist positiv definit, wenn sie für alle von null verschiedenen Vektoren strikt positiv ist. Sie ist semidefinit, wenn sie nie das Vorzeichen wechselt, aber auf einem von null verschiedenen Vektor verschwinden kann. Sie ist indefinit, wenn sie sowohl positive als auch negative Richtungen hat.

Klassifikations-Prüfenliste

• Positiv definit: \(q(x)>0\) für alle \(x≠0\).
• Positiv semidefinit: \(q(x)\ge0\) für alle \(x\), mit mindestens einer von null verschiedenen Nullrichtung, falls nicht definit.
• Negativ definit: \(q(x)<0\) für alle \(x≠0\).
• Negativ semidefinit: \(q(x)\le0\) für alle \(x\), mit mindestens einer von null verschiedenen Nullrichtung, falls nicht definit.
• Indefinit: Für manche Vektoren ist \(q\) positiv und für manche ist \(q\) negativ.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Nutze Minoren oder Eigenwerte, statt Vorzeichen zu erraten

Kernidee

Für eine reelle symmetrische Matrix klassifizieren die Eigenwertvorzeichen die quadratische Form. In Dimension \(2\) ist die Matrix \(A=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}\) genau dann positiv definit, wenn \(a>0\) und \(ac-b^2>0\).

Sylvester-Kriterium

• Positiv definite symmetrische Matrix: Alle führenden Hauptminoren sind positiv.
• Für \(2\times2\): \(a>0\) und \(\det A>0\).
• Wenn \(\det A<0\) in Dimension \(2\), haben die Eigenwerte entgegengesetzte Vorzeichen, also ist die Form indefinit.
• Eine verschwindende Determinante beweist allein noch keine Semidefinitheit; prüfe die übrigen Vorzeichen.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Wechsle die Variablen, um Rang und Signatur zu sehen

Kernidee

Wenn \(A=A^T\), liefert der Spektralsatz \(A=QDQ^T\), und mit \(y=Q^Tx\) gilt \[x^TAx=y^TDy=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.\] Allgemeiner liefern nichtsinguläre Variablenwechsel kongruente Matrizen \(P^TAP\). Sie können Eigenwerte ändern, erhalten aber, wie viele Quadratkoeffizienten positiv, negativ oder null sind.

Fakten zur Trägheit

• Der Rang ist die Anzahl der von null verschiedenen Quadratkoeffizienten in Diagonalform.
• Die Signatur \((n_+,n_-)\) zählt positive und negative Koeffizienten.
• Die Nullität zählt Nullkoeffizienten.
• Der Trägheitssatz von Sylvester besagt, dass diese Anzahlen unter nichtsingulärer Kongruenz invariant sind.
• Ähnlichkeit \(P^{-1}AP\) erhält Eigenwerte; Kongruenz \(P^TAP\) erhält die Trägheit symmetrischer Formen.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Eine reelle quadratische Form bestimmt ihre symmetrische Bilinearform

Kernidee

Wenn \(q(x)=B(x,x)\) für eine symmetrische Bilinearform über \(\mathbb{R}\) gilt, lautet die Polarisationsidentität \[B(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).\] Daher bestimmen die Werte \(q(x)\) die ganze symmetrische Bilinearform.

Hinweise zur Polarisierung

• Ein positiv definites symmetrisches \(B\) ist ein Skalarprodukt.
• Die zugehörige Norm ist \(\|x\|=\sqrt{B(x,x)}=\sqrt{q(x)}\).
• Eine schiefsymmetrische reelle Form trägt nichts zu \(q(x)=B(x,x)\) bei, weil \(B(x,x)=0\).
• Polarisierung rekonstruiert den symmetrischen Anteil, keinen verborgenen schiefsymmetrischen Anteil.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Die meisten Fehler verwechseln Matrizen, Vorzeichen oder Basiswechsel

Häufige Fallen

• Gemischte Terme: Der Koeffizient von \(xy\) wird auf zwei symmetrische Einträge außerhalb der Diagonale verteilt.
• Bilinear ist nicht symmetrisch: Symmetrie ist zusätzlich, nicht Teil der Definition.
• Semidefinit ist nicht definit: Eine von null verschiedene Nullrichtung verhindert Definitheit.
• Eigenwertvorzeichen brauchen Symmetrie: Klassifiziere \(x^TAx\) mit dem symmetrischen Anteil.
• Kongruenz ist keine Ähnlichkeit: Kongruenz erhält die Trägheit; Ähnlichkeit erhält Eigenwerte.
• Schiefsymmetrische Anteile verschwinden auf der Diagonale: Sie beeinflussen \(q(x)=x^TAx\) nicht.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Abschließende Wiederholung

• Bilinear bedeutet in jedem Argument separat linear.
• In Koordinaten gilt \(B(x,y)=x^TAy\).
• Symmetrische Bilinearformen entsprechen symmetrischen Matrizen.
• Eine quadratische Form ist \(q(x)=B(x,x)\) oder \(x^TAx\) mit \(A=A^T\).
• Gemischte Koeffizienten werden auf symmetrische Einträge außerhalb der Diagonale verteilt.
• Positiv definit bedeutet \(q(x)>0\) für jedes von null verschiedene \(x\).
• Semidefinite Formen können auf von null verschiedenen Vektoren verschwinden.
• Eigenwertvorzeichen oder das Sylvester-Kriterium klassifizieren reelle symmetrische Formen.
• Kongruenz erhält Signatur und Rang; Ähnlichkeit erhält Eigenwerte.
• Polarisierung rekonstruiert die symmetrische Bilinearform aus \(q\).