Cuestionario de práctica de vectores y operaciones vectoriales con una lección interactiva paso a paso

Notación vectorial, componentes y operaciones básicas

Idea clave

Un vector en \(\mathbb{R}^n\) se puede escribir como \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\). Las operaciones centrales son por componentes: \[ (u_1,\dots,u_n) + (v_1,\dots,v_n) = (u_1+v_1,\dots,u_n+v_n), \] \[ (u_1,\dots,u_n) - (v_1,\dots,v_n) = (u_1-v_1,\dots,u_n-v_n), \] y para un escalar \(k\), \[ k(v_1,\dots,v_n) = (kv_1,\dots,kv_n). \]

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Suma/resta vectores sumando/restando las componentes correspondientes.
• La multiplicación escalar multiplica cada componente por el escalar.

Magnitud (longitud) y vectores unitarios

Idea clave

La magnitud (norma euclidiana) de \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\) es: \[ \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}. \] Para un vector no nulo \(v\), el vector unitario en la dirección de \(v\) es: \[ \hat v = \frac{v}{\|v\|}. \] Esto mantiene la misma dirección pero reescala la longitud a \(1\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Magnitud: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\).
• Vector unitario: \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) para \(v≠ 0\).

Producto punto, ángulos y ortogonalidad

Idea clave

El producto punto de \(u=(u_1,\dots,u_n)\) y \(v=(v_1,\dots,v_n)\) es: \[ u\cdot v=u_1v_1+\cdots+u_nv_n. \] Conecta álgebra y geometría: \[ u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta, \] donde \(\theta\) es el ángulo entre \(u\) y \(v\) (para vectores no nulos). En particular, los vectores ortogonales satisfacen \(u\cdot v=0\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Producto punto: \(u\cdot v=\sum u_iv_i\).
• Ortogonal: \(u\cdot v=0\). Ángulo: \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\).

Proyección vectorial y componentes en una dirección

Idea clave

La proyección de \(a\) sobre un vector no nulo \(b\) es: \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b. \] Esto da la componente vectorial de \(a\) que apunta en la dirección de \(b\). (Si solo quieres la longitud con signo, la proyección escalar es \(\mathrm{comp}_b a = \dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).)

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Fórmula de proyección: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) para \(b≠ 0\).
• La proyección aísla la parte de \(a\) que apunta en la dirección de \(b\).

Conjuntos ortonormales e independencia lineal

Idea clave

Un conjunto de vectores es ortonormal si cada vector tiene longitud \(1\) y cada par es ortogonal: \[ \|u\|=\|v\|=1 \quad \text{y} \quad u\cdot v=0. \] Los vectores son linealmente dependientes si uno es un múltiplo escalar de otro (por ejemplo, \(v=2u\)). Dos vectores en \(\mathbb{R}^2\) son linealmente independientes precisamente cuando no son múltiplos.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Ortonormal: cada vector tiene longitud \(1\) y cada par tiene producto punto \(0\).
• Dependencia lineal: un vector es múltiplo escalar de otro (prueba rápida común).

Fundamentos del producto cruz en \(\mathbb{R}^3\)

Idea clave

El producto cruz \(u\times v\) se define para vectores en \(\mathbb{R}^3\). Produce un vector perpendicular tanto a \(u\) como a \(v\). Su magnitud es: \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] que es igual al área del paralelogramo generado por \(u\) y \(v\). La dirección se determina con la regla de la mano derecha.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(u\times v\) es perpendicular tanto a \(u\) como a \(v\) (en \(\mathbb{R}^3\)).
• \(\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta\) da el área de un paralelogramo.

Por qué importan las operaciones vectoriales

Dónde aparecen los vectores

• Geometría: desplazamiento, dirección, distancia y ángulos.
• Física: fuerzas, velocidad, aceleración y descomposición en componentes usando proyecciones.
• Gráficos por computadora: iluminación y ángulos de visión mediante productos punto; normales mediante productos cruz.
• Datos y ML: similitud coseno (un producto punto normalizado) para comparar direcciones en espacios de alta dimensión.

Ejemplo resuelto: ángulo a partir de ortogonalidad

Inténtalo

Repaso final

• Los vectores se suman/restan componente por componente; los escalares multiplican cada componente.
• Magnitud: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\); vector unitario: \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) para \(v≠ 0\).
• El producto punto conecta álgebra y geometría: \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\), y ortogonal significa \(u\cdot v=0\).
• Proyección: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) para \(b≠ 0\).
• El producto cruz en \(\mathbb{R}^3\) da un vector perpendicular y una magnitud de área.