Cuestionario de práctica de vectores y operaciones vectoriales II con una lección interactiva paso a paso

Producto cruz: dirección perpendicular y área

Idea clave

Para \(u=(u_1,u_2,u_3)\) y \(v=(v_1,v_2,v_3)\) en \(\mathbb{R}^3\), el producto cruz es \[ u\times v= \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr). \] El vector \(u\times v\) es perpendicular tanto a \(u\) como a \(v\). Su magnitud satisface \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] así que \(\|u\times v\|\) es el área del paralelogramo generado por \(u\) y \(v\), y \(\dfrac12\|u\times v\|\) es el área del triángulo.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(u\times v\) es perpendicular tanto a \(u\) como a \(v\) (en \(\mathbb{R}^3\)).
• \(\|u\times v\|\) da el área del paralelogramo; la mitad da el área del triángulo.

Producto triple escalar: volumen y coplanaridad

Idea clave

El producto triple escalar (producto mixto) es \[ (u\times v)\cdot w. \] Es igual al determinante \[ (u\times v)\cdot w = \det[u\;v\;w], \] y su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo generado por \(u,v,w\): \[ \text{Volumen}=\left|(u\times v)\cdot w\right|. \] En particular, \[ (u\times v)\cdot w=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u,v,w\ \text{son coplanarios (volumen %%ELOMATH_I18N_MATH_1%%).} \]

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Producto triple escalar: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\).
• Volumen: \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\). Coplanario \(\Leftrightarrow\) producto triple \(=0\).

Proyección y componente escalar en una dirección

Idea clave

La proyección de \(a\) sobre un vector no nulo \(b\) es \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b \quad (b≠ 0). \] Esto devuelve la componente vectorial de \(a\) que apunta en la dirección de \(b\). La proyección escalar (también llamada componente escalar) es la longitud con signo: \[ \mathrm{comp}_b a = \frac{a\cdot b}{\|b\|} \quad (b≠ 0). \] Una descomposición útil es \[ a = \mathrm{proj}_b a + \bigl(a - \mathrm{proj}_b a\bigr), \] donde el segundo término es perpendicular a \(b\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\) y \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\) (para \(b≠ 0\)).
• La proyección es la parte "en dirección de \(b\)"; \(a-\mathrm{proj}_b a\) es perpendicular a \(b\).

Distancia a una recta/eje y distancia a un plano

Idea clave

Distancia de un punto a una recta que pasa por el origen: si la recta tiene dirección \(d≠ 0\) y el vector de posición del punto es \(p\), entonces el punto más cercano en la recta es \(\mathrm{proj}_d p\), así que \[ \text{dist}(p,\text{recta})=\left\|p-\mathrm{proj}_d p\right\|. \] Una fórmula equivalente con producto cruz es \[ \text{dist}(p,\text{recta})=\frac{\|p\times d\|}{\|d\|}. \] Distancia de un punto a un plano: para un plano \(n\cdot x=d\) con vector normal \(n≠ 0\), \[ \text{dist}(p,\text{plano})=\frac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}. \] Si el plano pasa por el origen, entonces \(d=0\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Distancia punto-recta (recta por el origen): \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\) o \(\dfrac{\|p\times d\|}{\|d\|}\).
• Distancia punto-plano (plano \(n\cdot x=d\)): \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\).

Gram-Schmidt: construir una base ortonormal

Idea clave

Dados vectores linealmente independientes \(v_1,\dots,v_k\), Gram-Schmidt crea un conjunto ortogonal \(u_1,\dots,u_k\) restando proyecciones: \[ u_1=v_1,\quad u_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1}\mathrm{proj}_{u_i} v_j \quad (j\ge 2). \] Luego normaliza para obtener un conjunto ortonormal: \[ e_j=\frac{u_j}{\|u_j\|}\quad (u_j≠ 0). \] El "paso mágico" es la componente ortogonal: \[ v_j - \mathrm{proj}_{u_1}v_j \] (que elimina la parte de \(v_j\) que apunta en dirección de \(u_1\)).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Resta proyecciones para eliminar "solapamiento" y crear vectores ortogonales.
• Normaliza para obtener una base ortonormal: divide entre la magnitud.

Ángulos, vectores paralelos y pruebas rápidas

Idea clave

El ángulo \(\theta\) entre vectores no nulos \(u\) y \(v\) satisface \[ \cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}. \] Perpendicular significa \(u\cdot v=0\). Paralelo (misma dirección u opuesta) significa que uno es un múltiplo escalar del otro. En \(\mathbb{R}^3\), una prueba potente de paralelismo es \[ u\times v=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u \text{ y } v \text{ son linealmente dependientes (paralelos) o uno de ellos es } 0. \]

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Fórmula del ángulo: \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\) (para vectores no nulos).
• Paralelo en \(\mathbb{R}^3\): \(u\times v=0\) (y los vectores no nulos son múltiplos escalares).

Por qué importan estas operaciones vectoriales

Dónde aparecen los vectores y operaciones vectoriales II

• Geometría 3D: áreas, volúmenes, coplanaridad y distancias a rectas/planos.
• Física e ingeniería: torque (\(r\times F\)), trabajo y componentes (proyecciones), y direcciones normales.
• Gráficos por computadora: normales de superficies mediante productos cruz, iluminación mediante productos punto y geometría de cámara.
• Álgebra lineal: bases ortonormales y el proceso de Gram-Schmidt (fundamento de QR y mínimos cuadrados).

Ejemplo resuelto: componente escalar en una dirección

Inténtalo

Repaso final

• Producto cruz: \(u\times v\) es perpendicular a \(u\) y \(v\); \(\|u\times v\|\) es el área del paralelogramo.
• Producto triple escalar: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\); \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\) es volumen; \(=0\) significa coplanario.
• Proyección: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\), proyección escalar: \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).
• Distancia: al plano \(n\cdot x=d\) es \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\); a una recta que pasa por el origen con dirección \(d\) es \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\).
• Gram-Schmidt: resta proyecciones para obtener vectores ortogonales y luego normaliza para una base ortonormal.