Permutations et combinaisons : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les permutations et combinaisons avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner sur les permutations et combinaisons (combinatoire) avec les outils de dénombrement essentiels : les factorielles et \(0!\), le principe fondamental du dénombrement (principe multiplicatif), les permutations \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\) quand l’ordre compte, les combinaisons et les coefficients binomiaux \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) quand l’ordre ne compte pas, les permutations circulaires (placements autour d’une table) et des applications classiques comme les arrangements avec lettres répétées, les chaînes binaires et les diagonales de polygones. Pour revoir la méthode, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide étape par étape avec des exemples guidés et de courtes vérifications.
Comment fonctionne cet entraînement sur les permutations et combinaisons
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les permutations, les combinaisons, les factorielles et le dénombrement en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultative) : revoyez la différence entre l’ordre compte et l’ordre ne compte pas, puis apprenez les formules et les schémas de base.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement la bonne méthode de dénombrement.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les permutations et combinaisons
Bases du dénombrement
Factorielles \(n!\) et pourquoi \(0!=1\)
Principe fondamental du dénombrement (multiplier les choix étape par étape)
Règle de la somme (additionner des cas disjoints)
Permutations (l’ordre compte)
Formule des permutations \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\)
Raisonnement rapide : \(n\) choix, puis \(n-1\), puis \(n-2\), ...
Pièges fréquents : compter des arrangements ordonnés alors que vous vouliez compter des sélections
Combinaisons (l’ordre ne compte pas)
Coefficient binomial \(\binom{n}{r}\) et vocabulaire "n parmi r"
Lien : \(P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\)
Symétrie : \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)
Applications classiques
Permutations circulaires pour les placements autour d’une table : \((n-1)!\)
Éléments répétés (par exemple, arrangements de mots) : \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\)
Chaînes binaires, dénombrement pair/impair et diagonales de polygones avec les combinaisons
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur les permutations et les combinaisons.
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Permutations et combinaisons
Guide pas à pas
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Leçon sur les permutations et combinaisons
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Vue d’ensemble de la leçon
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : construire une compréhension claire des permutations et des combinaisons afin de compter correctement les arrangements et les sélections avec les factorielles, le principe fondamental du dénombrement, les permutations \(P(n,r)\) (l’ordre compte), les combinaisons \(\binom{n}{r}\) (l’ordre ne compte pas), ainsi que des applications classiques comme les permutations circulaires, les arrangements avec lettres répétées, les chaînes binaires et les diagonales de polygones.
Critères de réussite
Calculer des factorielles et utiliser correctement \(0!=1\).
Appliquer le principe fondamental du dénombrement (multiplier les choix étape par étape).
Décider rapidement : l’ordre compte-t-il ? Si oui, utiliser les permutations ; sinon, utiliser les combinaisons.
Calculer des permutations : \(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\).
Calculer des combinaisons : \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\).
Utiliser la symétrie : \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\), et relier permutations et combinaisons : \(P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\).
Compter des arrangements circulaires et des arrangements avec éléments répétés.
Résoudre des dénombrements classiques : chaînes binaires, contraintes paires/impaires et diagonales.
Vocabulaire essentiel
Factorielle : \(n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\) pour \(n\ge 1\), et \(0!=1\).
Principe fondamental du dénombrement : si une étape a \(a\) choix et une autre \(b\) choix, le total est \(ab\).
Permutation : un arrangement ordonné. Pour \(r\) positions remplies avec \(n\) objets distincts (sans répétition) : \(P(n,r)\).
Combinaison : une sélection non ordonnée. Choisir \(r\) objets parmi \(n\) : \(\binom{n}{r}\).
Coefficient binomial : autre nom de \(\binom{n}{r}\), lu “n parmi r”.
Permutation circulaire : arrangements autour d’un cercle où les rotations sont considérées comme identiques : \((n-1)!\).
Éléments répétés : si certains objets se répètent, on divise par les factorielles des nombres de répétitions : \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\).
Indice : \(\binom{n}{0}=1\), car il existe exactement une façon de ne rien choisir.
Factorielles et dénombrement
Factorielles et principe fondamental du dénombrement
Objectif d’apprentissage : compter des processus en plusieurs étapes en multipliant les choix, et reconnaître quand les factorielles apparaissent.
Idée clé
Le principe fondamental du dénombrement (principe multiplicatif) dit que si un processus offre \(a\) choix à l’étape 1, \(b\) choix à l’étape 2 et \(c\) choix à l’étape 3, alors le nombre total d’issues est \(a\cdot b\cdot c\).
Une factorielle compte les arrangements d’objets distincts : \[ n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1. \] Il y a \(n!\) façons d’arranger \(n\) objets distincts en ligne.
Exemple guidé
Exemple : Combien de façons y a-t-il d’arranger les lettres de “ABCD” ?
Il y a 4 lettres, toutes distinctes : \[ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24. \]
À vous
À vous 1 : Combien de façons y a-t-il d’arranger 6 livres distincts sur une étagère ?
Indice : arranger 6 objets distincts en ligne donne \(6!\).
À vous 2 : Combien y a-t-il de chaînes binaires de longueur 4 au total ?
Indice : chaque bit a 2 choix. Utilisez \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^4\).
Résumé
Utilisez le principe multiplicatif pour multiplier les choix entre les étapes.
Utilisez les factorielles pour compter les arrangements d’objets distincts : \(n!\).
Permutations
Permutations : quand l’ordre compte
Objectif d’apprentissage : reconnaître les questions où “l’ordre compte” et calculer correctement \(P(n,r)\).
Idée clé
Une permutation est un arrangement ordonné. Si vous remplissez \(r\) positions avec \(n\) objets distincts sans répétition, le nombre est : \[ P(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}. \] Vérification mentale rapide : “la première position a \(n\) choix, la deuxième \(n-1\), …”.
Exemple guidé
Exemple : Combien vaut \(P(5,2)\) ?
Choisir 2 objets dans l’ordre parmi 5 objets distincts donne : \[ P(5,2)=5\cdot 4=20. \] (Premier choix : 5 possibilités ; deuxième choix : 4 possibilités.)
À vous
À vous 1 : Combien vaut \(P(4,2)\) ?
Indice : \(P(4,2)=4\cdot 3\).
À vous 2 : Combien vaut \(P(10,1)\) ?
Indice : choisir 1 objet dans l’ordre parmi 10 objets distincts donne 10 issues.
Résumé
Utilisez les permutations quand l’ordre compte.
\(P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}\) compte les sélections ordonnées sans répétition.
Combinaisons
Combinaisons : quand l’ordre ne compte pas
Objectif d’apprentissage : reconnaître les questions où “l’ordre ne compte pas” et calculer \(\binom{n}{r}\) (n parmi r).
Idée clé
Une combinaison est une sélection non ordonnée. Si vous choisissez \(r\) objets parmi \(n\) objets distincts, le nombre est : \[ \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}. \] On l’appelle aussi coefficient binomial. Un lien important : \[ P(n,r)=\binom{n}{r}\,r! \] (car chaque groupe choisi de \(r\) objets possède \(r!\) ordres possibles).
Exemple guidé
Exemple : Combien de façons y a-t-il de choisir \(3\) objets parmi \(5\) objets distincts ?
Utilisez les combinaisons quand l’ordre ne compte pas.
\(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) compte les sélections non ordonnées.
Lien : \(P(n,r)=\binom{n}{r}\,r!\).
Cercles et répétitions
Permutations circulaires et éléments répétés
Objectif d’apprentissage : compter des placements autour d’une table ronde et des arrangements quand certains éléments se répètent.
Idée clé
Permutations circulaires : lorsque \(n\) personnes distinctes s’assoient autour d’une table ronde et que les rotations sont considérées comme identiques, le nombre de placements est : \[ (n-1)!. \] On “fixe” une personne pour supprimer les doublons dus aux rotations.
Éléments répétés : si vous arrangez \(n\) objets dont certains se répètent (par exemple, un mot avec des lettres répétées), il faut diviser par les factorielles des nombres de répétitions : \[ \frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}. \]
Exemple guidé
Exemple : Combien de façons y a-t-il de placer 5 personnes autour d’une table ronde (rotations considérées comme identiques) ?
\[ (5-1)!=4!=24. \]
À vous
À vous 1 : Combien de façons y a-t-il de placer 3 personnes autour d’une table ronde (rotations considérées comme identiques) ?
Indice : \((n-1)!\) avec \(n=3\) donne \(2!=2\).
À vous 2 : Combien y a-t-il d’arrangements distincts des lettres de “MISS” ?
Indice : “MISS” a 4 lettres, avec S répété deux fois : \(\dfrac{4!}{2!}\).
Éléments répétés : diviser par les factorielles des nombres de répétitions : \(\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}\).
Chaînes binaires
Chaînes binaires, combinaisons et motifs pairs/impairs
Objectif d’apprentissage : utiliser les combinaisons pour compter des chaînes binaires avec contraintes (comme “exactement \(k\) uns” ou “un nombre pair de uns”).
Idée clé
Une chaîne binaire de longueur \(n\) est une suite de \(0\) et de \(1\). Pour compter les chaînes avec exactement \(k\) uns, choisissez quelles \(k\) positions sont des uns : \[ \binom{n}{k}. \] Pour compter les chaînes avec un nombre pair de uns, on peut additionner \(\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots\). Un fait clé (pour \(n\ge 1\)) est qu’exactement la moitié des \(2^n\) chaînes binaires ont un nombre pair de uns, donc le nombre est \(2^{n-1}\).
Exemple guidé
Exemple : Combien de chaînes binaires de longueur 4 ont exactement 2 uns ?
Choisissez 2 des 4 positions pour les uns : \[ \binom{4}{2}=6. \] Puis le nombre de chaînes avec un nombre pair de uns est : \[ \binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=1+6+1=8. \]
À vous
À vous 1 : Combien de chaînes binaires de longueur 4 ont un nombre pair de uns ?
Indice : la moitié des \(2^4=16\) chaînes binaires ont un nombre pair de uns.
À vous 2 : Combien de chaînes binaires de longueur 5 ont un nombre pair de uns ?
Indice : la moitié des \(2^5=32\) chaînes binaires ont un nombre pair de uns.
Résumé
Exactement \(k\) uns dans une chaîne de longueur \(n\) : \(\binom{n}{k}\).
Nombre pair de uns (pour \(n\ge 1\)) : \(2^{n-1}\).
Diagonales et binomiaux
Compter des diagonales et calculer de grands coefficients binomiaux
Objectif d’apprentissage : utiliser les combinaisons pour compter des paires et appliquer efficacement des formules dans des dénombrements géométriques classiques.
Idée clé
Une diagonale relie deux sommets non adjacents d’un polygone. Pour compter les diagonales d’un \(n\)-gone convexe :
Choisir 2 sommets pour former un segment : \(\binom{n}{2}\).
Soustraire les \(n\) côtés (arêtes).
Donc : \[ \text{diagonals}=\binom{n}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2}-n=\frac{n(n-3)}{2}. \]
Exemple guidé
Exemple : Combien de diagonales possède un hexagone convexe ?
Avec \(n=6\) : \[ \frac{6(6-3)}{2}=\frac{6\cdot 3}{2}=9. \]
À vous
À vous 1 : Combien de diagonales y a-t-il dans un pentagone ?
Indice : utilisez \(\dfrac{n(n-3)}{2}\) avec \(n=5\).
Diagonales dans un \(n\)-gone convexe : \(\dfrac{n(n-3)}{2}\).
Calculer \(\binom{n}{r}\) efficacement en simplifiant tôt les facteurs.
Applications et vue d’ensemble
Pourquoi les permutations et les combinaisons sont utiles
Objectif d’apprentissage : choisir rapidement le bon outil de dénombrement et terminer par une vérification finale.
Où apparaissent les permutations et les combinaisons
Probabilités : dénombrement d’issues, probabilités binomiales, problèmes de cartes et tirages sans remise.
Informatique : mots de passe et codes, chaînes binaires, espaces de recherche et comptage d’algorithmes.
Planification et affectations : organiser des tâches, sélectionner des équipes, choisir des comités, attribuer des rôles.
Géométrie et graphiques : diagonales, arêtes et dénombrement de paires.
Exemple guidé : comité + responsable
Exemple : Parmi 5 élèves, combien de façons y a-t-il de choisir un comité de 3 personnes puis de choisir 1 responsable dans ce comité ?
Choisissez d’abord le comité : \(\binom{5}{3}=10\). Puis choisissez le responsable parmi les 3 membres du comité : \(3\) choix. \[ 10\cdot 3=30. \] Cela correspond à l’idée de permutation \(P(5,3)=60\), divisée par \(2!\) (car les deux membres non responsables ne sont pas ordonnés).
Chaînes binaires : exactement \(k\) uns \(\Rightarrow \binom{n}{k}\) ; nombre pair de uns \(\Rightarrow 2^{n-1}\) pour \(n\ge 1\).
Diagonales : \(\dfrac{n(n-3)}{2}\) dans un \(n\)-gone convexe.
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et revoyez la page qui correspond à la compétence de dénombrement dont vous avez besoin.
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