संहतता का अर्थ है खुले आवरणों पर परिमित नियंत्रण

मुख्य विचार

समुच्चय \(K\) संहत है यदि \(K\) के हर खुले आवरण में परिमित संख्या में ऐसे खुले समुच्चय मिल जाते हैं जो अब भी \(K\) को ढकते हैं। \(\mathbb{R}^n\) में हाइने-बोरेल इस परिभाषा को व्यावहारिक कसौटी में बदल देता है: \(K\) ठीक तभी संहत है जब वह बंद और परिबद्ध हो।

पहचान जाँच-सूची

• \(\mathbb{R}^n\) में पहले पूछें: क्या समुच्चय बंद है?
• फिर पूछें: क्या यह परिबद्ध है?
• अंतरालों में अंत-बिंदु मायने रखते हैं: \([0,1]\) संहत है, लेकिन \((0,1)\) नहीं।
• \([0,\infty)\) जैसी किरणों और \(\mathbb{R}\) या \(\mathbb{Z}\) के लिए बंद होना काफी नहीं, क्योंकि समुच्चय अपरिबद्ध है।
• \(\{1,2,3\}\) जैसे परिमित उपसमुच्चय \(\mathbb{R}\) में संहत होते हैं।

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संहत मीट्रिक समुच्चय उपअनुक्रमों और सीमा-बिंदुओं को पकड़ते हैं

मुख्य विचार

मीट्रिक स्थानों में संहतता अनुक्रमिक संहतता के समतुल्य है: समुच्चय के हर अनुक्रम का कोई उपअनुक्रम उसी समुच्चय के किसी बिंदु पर अभिसरित होता है। इससे छूटे हुए सीमा-बिंदु आसानी से पहचाने जाते हैं।

संरक्षण नियम

• मीट्रिक स्थान का हर संहत उपसमुच्चय बंद और परिबद्ध होता है।
• संहत स्थान का बंद उपसमुच्चय संहत होता है।
• संहत समुच्चयों का परिमित संघ संहत होता है।
• मीट्रिक स्थान में संहत समुच्चयों का परिमित प्रतिच्छेद संहत होता है।
• संहत समुच्चयों का मनमाना संघ जरूरी नहीं कि संहत हो।

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सतत फलन संहतता को सुरक्षित रखते हैं

मुख्य विचार

यदि \(f:X\to Y\) सतत है और \(K\subset X\) संहत है, तो \(f(K)\) \(Y\) में संहत है। वास्तविक-मूल्यी फलनों के लिए \(f(K)\subset\mathbb{R}\) की संहतता का अर्थ है कि फलन परिबद्ध है और अधिकतम तथा न्यूनतम दोनों प्राप्त करता है। हाइने-कैंटर संहतता का एक और परिणाम देता है: संहत मीट्रिक स्थान पर सतत फलन एकसमान सतत होता है।

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संबद्धता का अर्थ है दो भागों में साफ पृथक्करण न होना

मुख्य विचार

कोई समुच्चय संबद्ध है यदि उसका कोई पृथक्करण नहीं है। \(\mathbb{R}\) में संबद्ध समुच्चय ठीक अंतराल और एक-बिंदु समुच्चय होते हैं। वास्तविक अंतराल के भीतर छूटा हुआ बिंदु अक्सर दो अलग भाग बना देता है।

सामान्य उदाहरण

• \([0,1]\), \((0,1)\), \([0,\infty)\), \(\mathbb{R}\), और एक-बिंदु समुच्चय संबद्ध हैं।
• \(\{0,1\}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)\), और \([0,1]\cup[2,3]\) असंबद्ध हैं।
• \((0,1)\cup\{1\}\cup(1,2)=(0,2)\), इसलिए छूटा हुआ बिंदु जोड़ने से दोनों अंतराल फिर जुड़ जाते हैं।

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सतत प्रतिबिंब और मिलते हुए संघ संबद्धता बनाए रखते हैं

मुख्य विचार

सततता संबद्धता को सुरक्षित रखती है: यदि \(C\) संबद्ध है, तो \(f(C)\) संबद्ध है। साथ ही, यदि \(A\) और \(B\) संबद्ध हैं और \(A\cap B≠\emptyset\), तो \(A\cup B\) संबद्ध है। \(\mathbb{R}\) में संबद्ध प्रतिबिंब एक अंतराल होता है।

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वास्तविक रेखा में संहत और संबद्ध का अर्थ है बंद अंतराल या बिंदु

मुख्य विचार

\(\mathbb{R}\) का संहत संबद्ध उपसमुच्चय कोई बंद अंतराल \([a,b]\) या एक बिंदु होता है। इसलिए यदि \(K\) संहत और संबद्ध है और \(f:K\to\mathbb{R}\) सतत है, तो \(f(K)\) \(\mathbb{R}\) में संहत और संबद्ध है, इसलिए वह बंद अंतराल या बिंदु है।

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संहतता और संबद्धता की सामान्य गड़बड़ियों से बचें

सामान्य भूलें

• संहत होने से संबद्ध होना जरूरी नहीं: \(\{0,1\}\) संहत है लेकिन असंबद्ध है।
• संबद्ध होने से संहत होना जरूरी नहीं: \((0,1)\) \(\mathbb{R}\) में संबद्ध है लेकिन संहत नहीं।
• बंद और परिबद्ध यूक्लिडीय कसौटी है: \(\mathbb{R}^n\) के बाहर यह सार्वभौमिक संहतता कसौटी नहीं है।
• अनंत संघ संहतता खो सकते हैं: \(\bigcup_{n\ge1}[0,n]=[0,\infty)\)।
• संबद्ध समुच्चयों का प्रतिच्छेद सामान्यतः संबद्ध होना जरूरी नहीं, लेकिन \(\mathbb{R}\) के अंतरालों का प्रतिच्छेद अंतराल या रिक्त समुच्चय होता है।
• हाउसडॉर्फ शर्त महत्वपूर्ण है: हाउसडॉर्फ स्थानों में संहत उपसमुच्चय बंद होते हैं।

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अंतिम सारांश

• संहत का अर्थ है कि हर खुला आवरण एक परिमित उप-आवरण रखता है।
• \(\mathbb{R}^n\) में संहत का अर्थ बंद और परिबद्ध है।
• मीट्रिक स्थानों में संहतता अनुक्रमिक संहतता के समतुल्य है।
• संहत स्थानों के बंद उपसमुच्चय और संहत समुच्चयों के परिमित संघ संहत होते हैं।
• संहत समुच्चयों के सतत प्रतिबिंब संहत होते हैं, और संहत मीट्रिक स्थानों पर सतत फलन एकसमान सतत होते हैं।
• संबद्ध का अर्थ है कोई पृथक्करण नहीं; \(\mathbb{R}\) में अंतराल संबद्ध होते हैं।
• संबद्ध समुच्चयों के सतत प्रतिबिंब संबद्ध होते हैं।
• \(\mathbb{R}\) का संहत संबद्ध उपसमुच्चय बंद अंतराल या बिंदु होता है।