चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ निर्देशांक ज्यामिति अभ्यास क्विज़
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से निर्देशांक ज्यामिति (जिसे विश्लेष्य ज्यामिति भी कहते हैं) का अभ्यास करें, निर्देशांक तल / कार्तीय तल पर: क्रमित युग्म पहचानना, चतुर्थांश पढ़ना, निर्देशांक जाल पर बिंदु आलेखित और व्याख्यायित करना, ढाल की गणना करना, रेखा की समीकरण लिखना (ढाल-अवरोध रूप, बिंदु-ढाल रूप, और मानक रूप), x-अवरोध और y-अवरोध निकालना, समानांतर रेखाएँ और लंबवत रेखाएँ के साथ काम करना, और रेखा खंडों के लिए दूरी सूत्र तथा मध्यबिंदु सूत्र उपयोग करना। दोहराना हो तो हल किया हुआ उदाहरण और छोटी जाँचें वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह निर्देशांक ज्यामिति अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए निर्देशांक ज्यामिति प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): निर्देशांक तल, ढाल, रेखा समीकरण, अवरोध, दूरी, मध्यबिंदु, और समानांतर/लंबवत नियम दोहराएं।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और निर्देशांक ज्यामिति सूत्र तुरंत लागू करें।
निर्देशांक ज्यामिति पाठ में आप क्या सीखेंगे
निर्देशांक तल की मूल बातें
क्रमित युग्म \((x,y)\), मूलबिंदु, और x-अक्ष / y-अक्ष
चतुर्थांश और \((x,y)\) के चिह्न पैटर्न
x-अक्ष और y-अक्ष के आर-पार परावर्तन
ढाल और रेखा दिशा
ढाल सूत्र \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) और ऊर्ध्व बदलाव/क्षैतिज बदलाव
विशेष स्थितियाँ: क्षैतिज रेखाएँ (ढाल \(0\)) और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ (ढाल अपरिभाषित)
ढाल मान से तीव्रता और दिशा पढ़ना
रेखाएँ की समीकरण और अवरोध
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+b\) और y-अवरोध \((0,b)\)
बिंदु-ढाल रूप \(y-y_1=m(x-x_1)\), बिंदु और ढाल से
मानक रूप \(Ax+By=C\) से x-अवरोध और y-अवरोध निकालना
उद्देश्य:निर्देशांक ज्यामिति (विश्लेष्य ज्यामिति) की स्पष्ट समझ बनाएँ ताकि आप निर्देशांक तल पर विश्वास से काम कर सकें: बिंदु प्लॉट करना, चतुर्थांश पढ़ना, ढाल की गणना करना, रेखा की समीकरण लिखना, अवरोध निकालना, और दूरी तथा मध्यबिंदु सूत्र उपयोग करना।
सफलता मानदंड
निर्देशांक तल पर मूलबिंदु, x-अक्ष, y-अक्ष, और चतुर्थांश पहचानें।
क्रमित युग्म \((x,y)\) सही प्लॉट करें और व्याख्या करें।
दो बिंदुओं से रेखा की ढाल निकालें।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं की ढाल पहचानें।
रेखा की समीकरण को ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+b\) और बिंदु-ढाल रूप \(y-y_1=m(x-x_1)\) में लिखें।
समीकरण से x-अवरोध और y-अवरोध निकालें।
समानांतर और लंबवत रेखाओं के लिए ढाल नियम उपयोग करें।
निर्देशांक तल पर रेखा खंडों के लिए दूरी सूत्र और मध्यबिंदु सूत्र उपयोग करें।
अक्षों के आर-पार परावर्तन उपयोग करें: x-अक्ष के आर-पार \((x,y)\to(x,-y)\) और y-अक्ष के आर-पार \((x,y)\to(-x,y)\).
मुख्य शब्दावली
निर्देशांक तल (कार्तीय तल): लंबवत संख्या रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) से बना जाल।
क्रमित युग्म: \((x,y)\), जहां \(x\) क्षैतिज निर्देशांक और \(y\) ऊर्ध्वाधर निर्देशांक है।
मूलबिंदु: बिंदु \((0,0)\), जहां अक्ष मिलते हैं।
चतुर्थांश: अक्षों से विभाजित तल के चार क्षेत्रों में से एक (I, II, III, IV)।
ढाल: \(m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), \(x\) के संदर्भ में \(y\) का परिवर्तन दर।
y-अवरोध: जहां रेखा y-अक्ष को काटती है; \(y=mx+b\) में यह \(b\) है।
समानांतर रेखाएँ: समान ढाल वाली रेखाएँ।
लंबवत रेखाएँ: \(90^\circ\) पर मिलने वाली रेखाएँ; ढालें ऋणात्मक व्युत्क्रम होती हैं (जब परिभाषित हों)।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: बिंदु \((-2,3)\) किस चतुर्थांश में है?
संकेत: चतुर्थांश II में \(x<0\) और \(y>0\) होता है।
पूर्व-जाँच 2: \((1,1)\) और \((4,4)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल क्या है?
संकेत: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) उपयोग करें।
निर्देशांक तल
निर्देशांक तल और प्लॉट करना बिंदु
सीखने का लक्ष्य: क्रमित युग्म पढ़ें, चतुर्थांश पहचानें, और निर्देशांक तल पर परावर्तन नियम लागू करें।
मुख्य विचार
निर्देशांक तल, x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर) से बनता है। बिंदु क्रमित युग्म \((x,y)\) के रूप में लिखा जाता है। \(x\) और \(y\) का चिह्न चतुर्थांश बताता है। परावर्तन तेज निर्देशांक बदलाव हैं:
x-अक्ष के आर-पार: \((x,y)\to(x,-y)\)
y-अक्ष के आर-पार: \((x,y)\to(-x,y)\)
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((-2,3)\) प्लॉट करें और उसे x-अक्ष के आर-पार परावर्तित करें।
\((-2,3)\) का अर्थ 2 बाएँ और 3 ऊपर है, इसलिए यह चतुर्थांश II में है। x-अक्ष के आर-पार परावर्तन में केवल \(y\)-मान का चिह्न बदलता है: \[ (-2,3)\to(-2,-3). \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \((-2,4)\) का x-अक्ष के आर-पार परावर्तन क्या है?
संकेत: x-अक्ष के आर-पार, \(x\) समान रहता है और \(y\) का चिह्न बदलता है।
खुद कोशिश 2: \((-3,2)\) से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा की समीकरण क्या है?
संकेत: ऊर्ध्वाधर रेखा पर हर बिंदु के लिए \(x\) स्थिरांक रहता है।
सारांश
निर्देशांक क्रमित युग्म \((x,y)\) हैं: पहले \(x\) दिशा में, फिर \(y\) दिशा में चलें।
अक्षों के आर-पार परावर्तन एक निर्देशांक का चिह्न बदलते हैं।
ढाल
ढाल (ढाल) और परिवर्तन दर
सीखने का लक्ष्य: दो बिंदु से ढाल गणना करना करें और ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज रेखाएँ की विशेष ढालें पहचानें।
मुख्य विचार
\((x_1,y_1)\) और \((x_2,y_2)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल \(m\) है: \[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \] ढाल बताता है कि \(x\) में 1 इकाई परिवर्तन के लिए \(y\) कितना बदलता है (ऊर्ध्व बदलाव/क्षैतिज बदलाव)। क्षैतिज रेखा की ढाल \(0\) होती है। ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित होती है क्योंकि \(x_2-x_1=0\).
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((-2,5)\) और \((4,-1)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल क्या है?
\[ m=\frac{-1-5}{4-(-2)}=\frac{-6}{6}=-1. \] ढाल \(-1\) का अर्थ है कि \(x\) 1 से बढ़ने पर \(y\) 1 से घटता है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \((1,2)\) और \((3,6)\) से गुजरने वाली रेखा की ढाल क्या है?
संकेत: \(m=\dfrac{6-2}{3-1}\).
खुद कोशिश 2: ऊर्ध्वाधर रेखा \(x=5\) की ढाल क्या है?
संकेत: ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए \(\Delta x=0\), इसलिए \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) परिभाषित नहीं है।
सारांश
ढाल सूत्र: \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
क्षैतिज ढाल \(=0\); ऊर्ध्वाधर ढाल अपरिभाषित है।
रेखा समीकरण
रेखा की समीकरण: ढाल-अवरोध और बिंदु-ढाल
सीखने का लक्ष्य: ढाल-अवरोध रूप और बिंदु-ढाल रूप से रेखा समीकरण लिखें, और समानांतर रेखाएँ पहचानें।
मुख्य विचार
रेखा के सबसे सामान्य रूप हैं:
ढाल-अवरोध रूप: \(\;y=mx+b\), जहां \(m\) ढाल और \(b\) y-अवरोध है।
बिंदु-ढाल रूप: \(\;y-y_1=m(x-x_1)\), बिंदु \((x_1,y_1)\) और ढाल \(m\) से।
समानांतर रेखाओं की समान ढाल होती है। यदि ढाल और एक बिंदु पता हो, तो बिंदु-ढाल रूप भरोसेमंद शुरुआती बिंदु है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((-2,1)\) और \((2,3)\) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण निकालें।
पहले ढाल निकालें: \[ m=\frac{3-1}{2-(-2)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}. \] \((-2,1)\) के साथ बिंदु-ढाल रूप उपयोग करें: \[ y-1=\frac{1}{2}(x+2). \] ढाल-अवरोध रूप में सरल करें करें: \[ y=\frac{1}{2}x+2. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: ढाल \(3\) वाली और मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा की समीकरण क्या है?
संकेत: आरंभ से गुजरने का अर्थ \(y=mx+b\) में \(b=0\).
खुद कोशिश 2: \(y=5x-2\) के समानांतर और \((0,3)\) से गुजरने वाली रेखा की समीकरण क्या है?
संकेत: समानांतर रेखाएँ की समान ढाल होती है। \((0,3)\) से \(b\) निकालें।
सारांश
जब ढाल और y-अवरोध पता हो (या मिल सकता हो), \(y=mx+b\) उपयोग करें।
जब ढाल और बिंदु पता हो, \(y-y_1=m(x-x_1)\) उपयोग करें।
समानांतर रेखाओं की ढाल समान होती है।
अवरोध
अवरोध और मानक रूप \(Ax+By=C\)
सीखने का लक्ष्य: x-अवरोध और y-अवरोध जल्दी निकालें और निर्देशांक तल पर उनकी सही व्याख्या करें।
मुख्य विचार
अवरोध निकालने के लिए ये भरोसेमंद "शून्य रखें" नियम उपयोग करें:
y-अवरोध: \(x=0\) रखें।
x-अवरोध: \(y=0\) रखें।
ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+b\) में y-अवरोध \(b\) है। मानक रूप \(Ax+By=C\) में अक्सर \(x=0\) या \(y=0\) प्रतिस्थापित करना सबसे तेज है।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: रेखा \(y=-\tfrac{3}{4}x+2\) का y-अवरोध क्या है?
\(y=mx+b\) में y-अवरोध \(b\) होता है। यहां \(b=2\), इसलिए y-अवरोध \(2\) है (बिंदु \((0,2)\)). (अतिरिक्त जाँच: \(x=0\) रखें, तो \(y=2\).)
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: रेखा \(3x+4y=12\) का x-अवरोध क्या है?
संकेत: x-अवरोध के लिए \(y=0\) रखें और \(x\) हल करें करें।
खुद कोशिश 2: रेखा \(4x+3y=12\) का y-अवरोध क्या है?
संकेत: y-अवरोध के लिए \(x=0\) रखें और \(y\) हल करें करें।
सारांश
y-अवरोध: \(x=0\) रखें। x-अवरोध: \(y=0\) रखें।
\(y=mx+b\) में y-अवरोध \(b\) है।
समानांतर और लंबवत
समानांतर और लंबवत रेखाएँ
सीखने का लक्ष्य: निर्देशांक ज्यामिति में समानांतर और लंबवत रेखाएँ पहचानने और बनाने के लिए ढाल नियम उपयोग करें।
मुख्य विचार
दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाएँ:
समानांतर होती हैं यदि उनकी समान ढाल हो।
लंबवत होती हैं यदि उनकी ढालें ऋणात्मक व्युत्क्रम हों, यानी \(m_1m_2=-1\).
विशेष स्थितियाँ: ऊर्ध्वाधर रेखा क्षैतिज रेखा के लंबवत होती है। (ऊर्ध्वाधर ढाल अपरिभाषित, क्षैतिज ढाल 0.)
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(y=\tfrac{3}{4}x+1\) के लंबवत रेखा की ढाल क्या है?
दी गई ढाल \(\tfrac{3}{4}\) है। ऋणात्मक व्युत्क्रम है: \[ -\frac{4}{3}. \] इसलिए \(y=\tfrac{3}{4}x+1\) के लंबवत किसी भी रेखा की ढाल \(-\tfrac{4}{3}\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(y=2x+1\) के लंबवत रेखा की ढाल क्या है?
संकेत: \(2\) का ऋणात्मक व्युत्क्रम लें।
खुद कोशिश 2: \((0,-2)\) से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा की समीकरण क्या है?
सीखने का लक्ष्य: निर्देशांक तल पर दूरी और मध्यबिंदु सूत्र सही उपयोग करें।
मुख्य विचार
\((x_1,y_1)\) और \((x_2,y_2)\) के बीच दूरी है: \[ d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. \] दोनों बिंदु को जोड़ने वाले खंड का मध्यबिंदु है: \[ M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right). \]
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \((0,0)\) और \((3,4)\) के बीच दूरी क्या है?
अवरोध: y-अवरोध के लिए \(x=0\); x-अवरोध के लिए \(y=0\).
समानांतर: समान ढाल. लंबवत: ऋणात्मक व्युत्क्रम ढालें (जब परिभाषित हों)।
दूरी और मध्यबिंदु: \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\) और \(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)\).
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस निर्देशांक ज्यामिति कौशल की जरूरत हो, वही पृष्ठ दोहराएं।
अभ्यास सेट
निर्देशांक ज्यामिति अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
कार्तीय समतल में मूलबिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
सही उत्तर: C. \((0,0)\)
व्याख्या: मूलबिंदु वह बिंदु है जहाँ \(x\)-अक्ष और \(y\)-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं: \((0,0)\).
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
ढाल–अवरोध रूप में \((2,3)\) और \((5,7)\) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण क्या है?
