चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ आइगेनमान और आइगेन-उपस्थान अभ्यास क्विज
नीचे दिए गए क्विज़ से आइगेनमान और आइगेन-उपस्थान का अभ्यास करें: \(Av=\lambda v\) पहचानना, आइगेनवेक्टर का अशून्य होना याद रखना, \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\) निकालना, \(\det(A-\lambda I)=0\) हल करना, और घात, शिफ्ट, योग, अदिश गुणन तथा प्रतिलोम से आइगेनमान कैसे बदलते हैं समझना।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह आइगेनमान अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज लें: आइगेनमान, आइगेनवेक्टर, आइगेन-उपस्थान, ट्रेस, निर्धारक और आव्यूह-शॉर्टकट प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें: परिभाषाएँ, अभिलाक्षणिक समीकरण, आइगेन-उपस्थान और क्रिया-नियम उदाहरणों के साथ दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज पर लौटें और हर प्रश्न को \(Av=\lambda v\) या \((A-\lambda I)v=0\) में बदलकर सोचें।
आइगेनमान और आइगेन-उपस्थान पाठ में आप क्या सीखेंगे
आइगेनमान समीकरण
आइगेन-युग्म: \(Av=\lambda v\), जहाँ \(v≠0\)
आइगेन-उपस्थान: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\), जिसमें शून्य सदिश भी शामिल है
शून्य सदिश हर आइगेन-उपस्थान में होता है, पर कभी आइगेनवेक्टर नहीं होता
आइगेनमान निकालना
अभिलाक्षणिक समीकरण: \(\det(A-\lambda I)=0\)
विकर्ण और त्रिभुजीय आव्यूहों के आइगेनमान विकर्ण पर होते हैं
ट्रेस आइगेनमानों का योग और निर्धारक उनका गुणनफल है, बीजीय गुणिता सहित
आइगेन-उपस्थान खोजना
हर आइगेनमान के लिए \((A-\lambda I)v=0\) हल करें
एक-विमीय आइगेन-उपस्थान आइगेनवेक्टरों की रेखा और \(0\) होता है
दोहराए गए आइगेनमानों में उपस्थान का आयाम जाँचना पड़ता है; भिन्न आइगेनमानों के आइगेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं
संरचना और भूलें
\(0\) ठीक तभी आइगेनमान है जब \(A\) अव्युत्क्रमणीय हो
यदि \(Av=\lambda v\), तो \(A^kv=\lambda^k v\) और \((A-cI)v=(\lambda-c)v\); यदि \(Bv=\mu v\), तो \((A+B)v=(\lambda+\mu)v\)
कुछ वास्तविक आव्यूहों, जैसे चौथाई-घुमाव, के वास्तविक आइगेनमान नहीं होते
उद्देश्य: आइगेनमान के प्रश्नों को \(Av=\lambda v\) और आइगेन-उपस्थान के प्रश्नों को \((A-\lambda I)v=0\) की कर्नेल-गणना के रूप में देखना सीखें।
सफलता मानदंड
\(Av=\lambda v\), \(v≠0\), से आइगेन-युग्म पहचानें।
समझाएँ कि शून्य सदिश आइगेनवेक्टर क्यों नहीं है।
छोटे आव्यूहों के लिए \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\) निकालें।
\(\det(A-\lambda I)=0\) से आइगेनमान खोजें।
विकर्ण और त्रिभुजीय आव्यूहों से आइगेनमान पढ़ें।
ट्रेस और निर्धारक से उत्तर जाँचें।
मुख्य शब्दावली
आइगेनमान: ऐसा अदिश \(\lambda\) जिसके लिए किसी अशून्य \(v\) पर \(Av=\lambda v\)।
आइगेनवेक्टर: अशून्य सदिश जिसकी दिशा \(A\) से नहीं बदलती, केवल पैमाना बदलता है।
आइगेन-उपस्थान: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\)।
अभिलाक्षणिक बहुपद: \(\det(A-\lambda I)\), जिसकी जड़ें आइगेनमान हैं।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: यदि \(Av=3v\) और \(v≠0\), तो \(v\) से जुड़ा आइगेनमान क्या है?
संकेत: समीकरण की सीधे \(Av=\lambda v\) से तुलना करें।
पूर्व-जाँच 2: क्या शून्य सदिश आइगेनवेक्टर हो सकता है?
संकेत: परिभाषा में आइगेनवेक्टर अशून्य होना चाहिए, जबकि \(0\) हर आइगेन-उपस्थान में होता है।
आइगेनवेक्टर ऐसी दिशाएँ हैं जो केवल स्केल होती हैं
सीखने का लक्ष्य: \(Av=\lambda v\), \((A-\lambda I)v=0\), और \(E_\lambda\) के बीच अनुवाद करें।
मुख्य विचार
यदि अशून्य \(v\) के लिए \(Av=\lambda v\), तो \(A\) \(v\) वाली रेखा को उसी रेखा में भेजता है और \(\lambda\) से गुणा करता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर \[(A-\lambda I)v=0\] मिलता है, इसलिए आइगेन-उपस्थान कर्नेल हैं।
पहचान सूची
पहले जाँचें कि सदिश अशून्य है।
\(Av\) निकालें और देखें कि क्या वह \(v\) का अदिश गुणज है।
निर्धारित \(\lambda\) के लिए \((A-\lambda I)v=0\) हल करें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) के लिए तय करें कि \((1,-1)\) आइगेनवेक्टर है या नहीं।
आव्यूह निर्देशांकों को बदलता है, इसलिए \(A(1,-1)=(-1,1)=-(1,-1)\)। सदिश अशून्य है और \(-1\) से स्केल हुआ है, अतः यह \(-1\) आइगेनमान वाला आइगेनवेक्टर है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: किसी आइगेनमान \(\lambda\) से जुड़ा आइगेन-उपस्थान क्या है?
संकेत: \(Av=\lambda v\) के सभी पद बाईं ओर ले जाएँ।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(Av=0\) और \(v≠0\), तो \(A\) का एक आइगेनमान क्या है?
संकेत: यह अदिश \(0\) वाला आइगेनमान समीकरण है।
आइगेनमान \(A-\lambda I\) को सिंगुलर बनाते हैं
सीखने का लक्ष्य: \(\det(A-\lambda I)=0\) से आइगेनमान निकालें और तेज मामलों को पहचानें।
मुख्य विचार
\(\lambda\) ठीक तभी आइगेनमान है जब \((A-\lambda I)v=0\) का अशून्य हल हो। यह ठीक तब होता है जब \(A-\lambda I\) सिंगुलर हो: \[\det(A-\lambda I)=0.\]
पहचान सूची
\(A-\lambda I\) बनाएँ।
निर्धारक निकालें।
निर्धारक को \(0\) के बराबर रखें।
\(\lambda\) के मान हल करें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&5\end{pmatrix}\) के आइगेनमान निकालें।
आव्यूह त्रिभुजीय है, इसलिए अभिलाक्षणिक समीकरण \((2-\lambda)(5-\lambda)=0\) है। अतः आइगेनमान \(2\) और \(5\) हैं।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: आइगेनमानों का अभिलाक्षणिक समीकरण है:
संकेत: आइगेनमान \(A-\lambda I\) का अशून्य कर्नेल बनाते हैं।
स्वयं प्रयास 2: \(\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\) के आइगेनमान क्या हैं?
संकेत: विकर्ण आव्यूह में उत्तर विकर्ण प्रविष्टियों से आता है।
गणना से पहले तेज अपरिवर्तक उपयोग करें
सीखने का लक्ष्य: आइगेनमान पहचानने या जाँचने के लिए विकर्ण प्रविष्टियाँ, ट्रेस और निर्धारक उपयोग करें।
मुख्य विचार
विकर्ण और त्रिभुजीय आव्यूहों के आइगेनमान विकर्ण प्रविष्टियाँ होते हैं। ट्रेस आइगेनमानों का योग और निर्धारक उनका गुणनफल देता है, गुणिता सहित।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: किसी \(2\times2\) आव्यूह के आइगेनमान \(2\) और \(\lambda\) हैं और ट्रेस \(5\) है। \(\lambda\) निकालें।
ट्रेस आइगेनमानों का योग है। इसलिए \(2+\lambda=5\), अतः \(\lambda=3\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(2\times2\) आव्यूह का ट्रेस \(5\) है और आइगेनमान \(2\) तथा \(\lambda\) हैं, तो \(\lambda\) क्या है?
संकेत: ट्रेस \(2+\lambda\) है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A\) के आइगेनमान \(-1\) और \(4\) हैं, तो \(\det(A)\) क्या है?
संकेत: निर्धारक आइगेनमानों का गुणनफल है।
हर आइगेनमान के लिए एक कर्नेल हल करें
सीखने का लक्ष्य: आइगेन-उपस्थान को अलग-अलग सदिशों की जगह उपस्थान के रूप में समझें।
मुख्य विचार
\(\lambda\) ज्ञात होने पर आइगेन-उपस्थान समजात तंत्र का हल-समुच्चय है: \[E_\lambda=\ker(A-\lambda I).\] यह उपस्थान है; इसके हर अशून्य सदिश \(\lambda\) के आइगेनवेक्टर हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) के लिए \(1\) और \(-1\) के आइगेन-उपस्थान खोजें।
\(\lambda=1\) पर \(x=y\), अतः \(E_1=\operatorname{span}\{(1,1)\}\)। \(\lambda=-1\) पर \(y=-x\), अतः \(E_{-1}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) के लिए आइगेनमान \(1\) का आइगेनवेक्टर कौन सा है?
संकेत: आइगेनमान \(1\) का मतलब है कि निर्देशांक बदलने पर सदिश नहीं बदलता।
स्वयं प्रयास 2: यदि आइगेन-उपस्थान का आयाम \(2\) है, तो उसमें होते हैं:
संकेत: उपस्थान का हर अशून्य सदिश आइगेनवेक्टर है।
घात, शिफ्ट, स्केलिंग, योग और प्रतिलोम
सीखने का लक्ष्य: \(A^2\), \(A-I\), \(cA\), समान आइगेनवेक्टर पर \(A+B\), और \(A^{-1}\) जैसे संबंधित आव्यूहों को एक आइगेन-युग्म से समझें।
मुख्य विचार
यदि \(Av=\lambda v\), तो \[A^kv=\lambda^k v,\qquad (A-cI)v=(\lambda-c)v,\qquad (cA)v=c\lambda v.\] यदि \(Bv=\mu v\), तो \((A+B)v=(\lambda+\mu)v\)। यदि \(A\) व्युत्क्रमणीय है, तो \(A^{-1}v=\lambda^{-1}v\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(Av=2v\) और \(A\) व्युत्क्रमणीय है, तो \(A^{-1}v\) क्या है?
\(Av=2v\) पर \(A^{-1}\) लगाएँ: \(v=2A^{-1}v\)। इसलिए \(A^{-1}v=\frac{1}{2}v\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(Av=\lambda v\), तो \(A^2v\) क्या है?
संकेत: दोनों ओर एक बार और \(A\) लगाएँ।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A\) का आइगेनमान \(\lambda\) है, तो \(A-I\) का आइगेनमान है:
संकेत: \((A-I)v=Av-v\)।
सारांश
घात \(\lambda\) को \(\lambda^k\) में बदलते हैं।
शिफ्ट \(A-cI\), \(\lambda\) को \(\lambda-c\) में बदलता है।
अदिश गुणन \(cA\), \(\lambda\) को \(c\lambda\) में बदलता है।
समान आइगेनवेक्टर पर \(A+B\), \(\lambda+\mu\) देता है।
व्युत्क्रमणीय \(A\) के लिए प्रतिलोम आइगेनमान व्युत्क्रम होते हैं।
शून्य, निलपोटेंट रूपांतरण और वास्तविक घुमाव
सीखने का लक्ष्य: सामान्य विशेष मामलों को पहचानें और अति-सामान्यीकरण से बचें।
मुख्य विचार
आइगेनमान \(0\) का अर्थ है \(Av=0\) किसी अशून्य \(v\) के लिए, इसलिए \(A\) का कर्नेल अशून्य है और \(A\) व्युत्क्रमणीय नहीं है। निलपोटेंट \(A\) के लिए सभी आइगेनमान \(0\) होते हैं। वास्तविक चौथाई-घुमाव का वास्तविक आइगेनमान नहीं होता।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(0\) आइगेनमान ठीक तभी क्यों है जब \(A\) व्युत्क्रमणीय नहीं है?
\(0\) आइगेनमान तब है जब किसी अशून्य \(v\) के लिए \(Av=0\)। इसका अर्थ है कि \(\ker A\) में अशून्य सदिश है, इसलिए आव्यूह सिंगुलर है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) के वास्तविक आइगेनमान हैं?
संकेत: अभिलाक्षणिक बहुपद \(\lambda^2+1\) है, जिसकी वास्तविक जड़ नहीं है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A\) निलपोटेंट है, तो उसका एकमात्र संभावित आइगेनमान क्या है?
संकेत: यदि \(A^k=0\), तो आइगेनवेक्टर के लिए \(A^kv=\lambda^k v\)।
आइगेनवेक्टर, आइगेन-उपस्थान और निष्कर्ष अलग रखें
सीखने का लक्ष्य: सामान्य गलत निष्कर्षों से बचें और अंतिम छोटी जाँच करें।
सामान्य भूलें
शून्य सदिश आइगेनवेक्टर नहीं है: परिभाषा उसे हटाती है।
आइगेन-उपस्थान में \(0\) होता है: वह कर्नेल है।
\(A^2v=9v\) से \(Av=3v\) जरूरी नहीं: \(Av=-3v\) भी संभव है।
दोहराया आइगेनमान आयाम तय नहीं करता: \((A-\lambda I)v=0\) हल करें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: क्या \(A^2v=9v\) से \(Av=3v\) अनिवार्य है?
नहीं। यदि \(Av=-3v\), तो \(A^2v=A(-3v)=-3Av=9v\)। वर्ग करने से चिह्न की जानकारी खो जाती है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(A\) का आइगेनमान \(0\) है, तो \(A\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
संकेत: \(0\) आइगेनमान का अर्थ है कोई अशून्य सदिश \(0\) पर जाता है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A^2v=9v\), तो क्या \(Av=3v\) मजबूर है?
संकेत: \(-3\) आइगेनमान वाले सदिश के बारे में सोचें।
अंतिम सारांश
आइगेनवेक्टर अशून्य सदिश हैं जिनके लिए \(Av=\lambda v\)।
विकर्ण और त्रिभुजीय आव्यूहों में आइगेनमान विकर्ण पर दिखते हैं।
ट्रेस योग और निर्धारक गुणनफल देता है।
\(0\) आइगेनमान ठीक तब है जब \(A\) सिंगुलर है।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और क्विज फिर से करें। पहले तय करें कि प्रश्न आइगेनमान, आइगेनवेक्टर, आइगेन-उपस्थान या व्युत्क्रमणीयता जैसे संरचनात्मक परिणाम के बारे में है।
अभ्यास सेट
Eigenvalues & Eigenspaces अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
यदि \(Av=3v\) और \(v\ne0\) है, तो \(v\) से संबद्ध स्वमान क्या है?
सही उत्तर: C. \(3\)
व्याख्या: स्वसदिश \(Av=\lambda v\) को संतुष्ट करता है; यहाँ \(\lambda=3\) है।
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
क्या शून्य सदिश स्वसदिश हो सकता है?
सही उत्तर: C. नहीं, कभी नहीं
व्याख्या: नहीं। स्वसदिशों का अशून्य होना आवश्यक है।
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
\(\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\) के स्वमान क्या हैं?
सही उत्तर: A. \(2\) और \(5\)
व्याख्या: विकर्ण आव्यूह के स्वमान उसके विकर्ण अवयव होते हैं।
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
यदि \(A\) का स्वमान \(0\) है, तो \(A\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
सही उत्तर: D. \(A\) प्रतिलोम्य नहीं है
व्याख्या: स्वमान \(0\) का अर्थ है कि कोई अशून्य सदिश \(0\) पर जाता है, इसलिए \(A\) एकैकी नहीं है।
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
\(A=I_n\) के लिए, केवल स्वमान क्या है?
सही उत्तर: A. \(1\)
व्याख्या: तत्समक हर सदिश \(v\) के लिए \(Iv=v\) संतुष्ट करता है।
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
किसी स्वमान \(\lambda\) से संबद्ध स्व-उपस्थान क्या होता है?
सही उत्तर: A. \(\ker(A-\lambda I)\)
व्याख्या: यह \(A-\lambda I\) का कर्नेल है, जिसमें शून्य सदिश भी शामिल है।
प्रश्न 7उत्तर नहीं दिया
यदि किसी \(2\times2\) आव्यूह का ट्रेस \(5\) है और स्वमान \(2\) तथा \(\lambda\) हैं, तो \(\lambda\) क्या है?
सही उत्तर: B. \(3\)
व्याख्या: ट्रेस स्वमानों के योग के बराबर होता है, इसलिए \(2+\lambda=5\)।
प्रश्न 8उत्तर नहीं दिया
यदि किसी \(2\times2\) आव्यूह के स्वमान \(2\) और \(3\) हैं, तो उसका सारणिक क्या है?
सही उत्तर: D. \(6\)
व्याख्या: सारणिक स्वमानों के गुणनफल के बराबर होता है।
प्रश्न 9उत्तर नहीं दिया
\(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) के लिए, स्वमान \(1\) का स्वसदिश कौन-सा है?
सही उत्तर: A. \((1,1)\)
व्याख्या: यह आव्यूह निर्देशांकों को बदल देता है, और \((1,1)\) अपरिवर्तित रहता है।
प्रश्न 10उत्तर नहीं दिया
\(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) के लिए, स्वमान \(-1\) का स्वसदिश कौन-सा है?
सही उत्तर: D. \((1,-1)\)
व्याख्या: यह आव्यूह निर्देशांकों को बदलकर \((1,-1)\) को \((-1,1)=-(1,-1)\) पर भेजता है।
