नियत बिंदु \(T(x)=x\) हल करके मिलता है

मुख्य विचार

प्रतिचित्र \(T:X\to X\) के लिए, नियत बिंदु ऐसा कोई भी \(x\in X\) है जो \(T(x)=x\) संतुष्ट करे। वास्तविक रेखा पर यह ग्राफ \(y=T(x)\) और विकर्ण \(y=x\) का प्रतिच्छेद है। ऐफ़ाइन प्रतिचित्र \(T(x)=ax+b\) के लिए समीकरण \(x=ax+b\) है, इसलिए \((1-a)x=b\) जब \(a≠1\)।

उदाहरण

• \(T(x)=x/2\) का नियत बिंदु \(0\) है।
• \(T(x)=(x+1)/2\) का नियत बिंदु \(1\) है।
• \(T(x)=2-x\) का नियत बिंदु \(1\) है, लेकिन यह सामान्य मेट्रिक में संकुचन नहीं है।
• स्थिर प्रतिचित्र \(T(x)=c\) का नियत बिंदु \(c\) होता है जब \(c\in X\), और इसका दूरी-संकुचन \(0\) है।
• \([0,1]\) पर पहचान प्रतिचित्र हर बिंदु को नियत रखता है, इसलिए केवल अस्तित्व से अद्वितीयता नहीं मिलती।

नियत बिंदु समीकरण

नियत बिंदु समीकरण आम तौर पर \(T(x)=0\) जैसा नहीं होता। कभी-कभी इसे \(F(x)=T(x)-x=0\) के रूप में लिखा जाता है, लेकिन मूल शर्त \(T(x)=x\) ही रहती है।

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संकुचन हर दूरी को \(1\) से छोटे समान गुणक से घटाता है

मुख्य विचार

मेट्रिक स्थान पर प्रतिचित्र \(T:X\to X\) संकुचन है यदि कोई संख्या \(k<1\) हो ताकि \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) हर जोड़े \(x,y\in X\) के लिए। वही \(k\) पूरे स्थान पर काम करना चाहिए। लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) होना केवल अविस्तारक है, इसलिए बानाख प्रमेय जरूरी नहीं कि लागू हो।

पहचान जांच-सूची

• दूरी-संकुचन: \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) और \(k<1\)।
• अवकलज शॉर्टकट: किसी अंतराल पर, \(\sup |T'(x)|\le k<1\) सामान्य मेट्रिक में संकुचन सिद्ध करता है।
• स्थिर प्रतिचित्र: \(d(Tx,Ty)=0\), इसलिए स्थिर स्व-प्रतिचित्र \(k=0\) के साथ संकुचन है जब \(X\) में कम से कम दो बिंदु हों।
• स्थानांतरण: \(T(x)=x+1\) दूरियां बनाए रखता है, इसलिए इसका लिप्शिट्ज स्थिरांक \(1\) है।
• परावर्तन: \(T(x)=2-x\) का नियत बिंदु है लेकिन इसका लिप्शिट्ज स्थिरांक भी \(1\) है।
• पहले स्व-प्रतिचित्र: प्रमेय लगाने से पहले जांचें कि \(T(X)\subseteq X\)।

अवकलज शॉर्टकट

यदि \(T\) किसी अंतराल पर अवकलनीय है और हर जगह \(|T'(x)|\le k<1\), तो माध्य मान प्रमेय से \(|T(x)-T(y)|\le k|x-y|\) मिलता है। एक बिंदु पर छोटा स्थानीय अवकलज पर्याप्त नहीं है; सीमा पूरे उपयोग किए गए अंतराल पर लागू होनी चाहिए।

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बानाख प्रमेय अस्तित्व, अद्वितीयता और अभिसरण देता है

मुख्य विचार

यदि \((X,d)\) पूर्ण है और \(T:X\to X\) संकुचन है, तो \(T\) का ठीक एक नियत बिंदु \(x^*\) होता है। इसके अलावा, किसी भी आरंभिक बिंदु \(x_0\in X\) से पुनरावृत्ति \(x_{n+1}=T(x_n)\), \(x^*\) तक अभिसरित होती है, और \(d(Tx,x^*)\le k\,d(x,x^*)\)।

प्रमेय क्या देता है

• अस्तित्व: पुनरावृत्ति एक कौशी अनुक्रम बनाती है, और पूर्णता उसकी सीमा \(X\) के भीतर देती है।
• अद्वितीयता: यदि \(p,q\) नियत हैं, तो \(d(p,q)=d(Tp,Tq)\le k d(p,q)\), जिससे \(p=q\) होना मजबूर होता है।
• अभिसरण: \(x_n\to x^*\) हर आरंभिक बिंदु \(x_0\in X\) के लिए।
• त्रुटि-संकुचन: \(d(Tx,x^*)\le k\,d(x,x^*)\), इसलिए हर कदम नियत बिंदु से दूरी को अधिकतम गुणक \(k\) तक रखता है।
• सततता: संकुचन लिप्शिट्ज होता है, इसलिए सतत होता है; यदि \(x_{n+1}=T(x_n)\to L\), तो सततता \(T(L)=L\) देती है।

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सीमा उसी स्थान में रहनी चाहिए जहां प्रमेय लगाया गया है

मुख्य विचार

बानाख प्रमाण पुनरावृत्ति से कौशी अनुक्रम बनाता है। पूर्णता ही उस कौशी अनुक्रम को \(X\) के किसी बिंदु में बदलती है। स्व-प्रतिचित्र शर्त \(T:X\to X\) सभी पुनरावृत्त बिंदुओं को उसी स्थान में रखती है। इनमें से कोई भी शर्त विफल हो, तो नियत बिंदु स्थान के बाहर हो सकता है या पुनरावृत्ति क्षेत्र से बाहर जा सकती है।

महत्वपूर्ण परिकल्पनाएं

• अपूर्ण स्थान में ऐसे कौशी अनुक्रम हो सकते हैं जिनकी सीमाएं गायब हों।
• अपूर्ण स्थान पर संकुचन का उस स्थान में कोई नियत बिंदु नहीं भी हो सकता।
• जो प्रतिचित्र स्व-प्रतिचित्र नहीं है, उसे अतिरिक्त काम के बिना \(X\) के भीतर पुनरावृत्त नहीं किया जा सकता।
• पूर्णता, संहतता से अलग है; बानाख प्रमेय को संहतता की जरूरत नहीं होती।

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संहत उत्तल समुच्चयों पर सततता अस्तित्व देती है, अद्वितीयता नहीं

मुख्य विचार

एक आयाम में, हर सतत प्रतिचित्र \(f:[a,b]\to[a,b]\) का एक नियत बिंदु होता है। \(g(x)=f(x)-x\) लें। चूंकि \(f(a)\ge a\) और \(f(b)\le b\), मध्य मान प्रमेय कोई \(c\) देता है जिसके लिए \(g(c)=0\), इसलिए \(f(c)=c\)। \(\mathbb{R}^n\) में, ब्राउवर प्रमेय कहता है कि संहत उत्तल समुच्चय के सतत स्व-प्रतिचित्र का कम से कम एक नियत बिंदु होता है।

व्यावहारिक जांचें

• सततता: ब्राउवर-शैली के अस्तित्व के लिए आवश्यक।
• स्व-प्रतिचित्र: समुच्चय को अपने ही भीतर प्रतिचित्रित होना चाहिए।
• संहत उत्तल समुच्चय: ब्राउवर प्रमेय का मानक सीमित-आयामी संदर्भ।
• केवल अस्तित्व: अद्वितीयता के लिए संकुचन जैसी मजबूत मान्यताओं की जरूरत होती है।
• पुनरावृत्ति का वादा नहीं: केवल ब्राउवर यह नहीं कहता कि बार-बार की पुनरावृत्ति अभिसरित होगी।

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बानाख या ब्राउवर चुनने से पहले परिकल्पनाएं पढ़ें

मुख्य विचार

बानाख प्रमेय मेट्रिक और मात्रात्मक है: इसे पूर्ण मेट्रिक स्थान पर संकुचन चाहिए और यह अद्वितीय नियत बिंदु तथा पुनरावृत्ति का अभिसरण देता है। ब्राउवर प्रमेय टोपोलॉजिकल और सीमित-आयामी है: इसे संहत उत्तल समुच्चय का सतत स्व-प्रतिचित्र चाहिए और यह कम से कम एक नियत बिंदु देता है।

महत्वपूर्ण परिकल्पनाएं

• बानाख का उपयोग करें जब आप वैश्विक संकुचन गुणक \(k<1\) सिद्ध कर सकें।
• ब्राउवर का उपयोग करें जब आपके पास सततता, संहतता, उत्तलता और स्व-प्रतिचित्र हो, पर संकुचन न हो।
• अंतराल समस्याएं अक्सर मध्य मान प्रमेय तक घट जाती हैं।
• अद्वितीयता आम तौर पर संकुचन या एकतानता तर्क से आती है, केवल ब्राउवर से नहीं।
• पुनरावृत्ति अभिसरण बानाख का निष्कर्ष है, ब्राउवर का निष्कर्ष नहीं।

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अधिकतर गलतियां सही प्रमेय को किसी गायब परिकल्पना के साथ लगा देती हैं

सामान्य जाल

• नियत बिंदु बनाम शून्य: \(T(x)=x\) हल करें, अपने आप \(T(x)=0\) नहीं।
• नियत बिंदु बनाम संकुचन: किसी प्रतिचित्र का नियत बिंदु हो सकता है और फिर भी वह संकुचन न हो।
• लिप्शिट्ज \(1\): अविस्तारक होना संकुचन होने जैसा नहीं है।
• कई नियत बिंदु: \([0,1]\) पर पहचान प्रतिचित्र अनंत रूप से कई बिंदु नियत रखता है, इसलिए अद्वितीयता के लिए मजबूत तर्क चाहिए।
• पूर्णता: अपूर्ण स्थानों में संकुचन नियत बिंदु से चूक सकते हैं।
• स्व-प्रतिचित्र: प्रमेय लगाने से पहले \(T(X)\subseteq X\) जांचें।
• ब्राउवर: अस्तित्व से अद्वितीयता नहीं निकलती।
• पुनरावृत्ति: \(x_{n+1}=T(x_n)\) के अभिसरण की गारंटी बानाख परिकल्पनाओं से मिलती है, हर नियत बिंदु प्रमेय से नहीं।

हल किया हुआ उदाहरण

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अंतिम सार

• नियत बिंदु \(T(x)=x\) हल करता है।
• संकुचन के लिए \(d(Tx,Ty)\le k d(x,y)\) होता है, किसी एक \(k<1\) के साथ।
• अविस्तारक का अर्थ है लिप्शिट्ज स्थिरांक अधिकतम \(1\); बानाख को \(1\) से कड़ाई से छोटा चाहिए।
• स्थिर प्रतिचित्र सभी दूरियों को \(0\) तक घटाते हैं, जबकि पहचान प्रतिचित्रों के कई नियत बिंदु हो सकते हैं।
• बानाख प्रमेय को पूर्ण मेट्रिक स्थान और संकुचन स्व-प्रतिचित्र चाहिए।
• बानाख प्रमेय अस्तित्व, अद्वितीयता और पिकार्ड पुनरावृत्ति का अभिसरण देता है।
• एक-कदम त्रुटि \(d(Tx,x^*)\le k\,d(x,x^*)\) संतुष्ट करती है।
• अद्वितीयता प्रमाण दो नियत बिंदुओं की तुलना करता है और उनकी दूरी को \(0\) होने पर मजबूर करता है।
• पूर्णता कौशी सीमा को स्थान के भीतर रखती है।
• सतत प्रतिचित्र \([a,b]\to[a,b]\) का एक नियत बिंदु होता है।
• ब्राउवर प्रमेय \(\mathbb{R}^n\) के संहत उत्तल उपसमुच्चयों के सतत स्व-प्रतिचित्रों के लिए अस्तित्व देता है।
• ब्राउवर प्रमेय अपने आप अद्वितीयता या पुनरावृत्ति अभिसरण नहीं देता।