समाकल एवं प्रतिअवकलज अभ्यास प्रश्न, क्विज़ और चरण-दर-चरण पाठ - केंद्रित प्रश्नों और स्पष्ट स्पष्टीकरणों से अपनी गणित क्षमता सुधारें।
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\(\cosh(x)\) का समाकल क्या है?
A. \(\sinh(x) + C\)
B. \(\tanh(x) + C\)
C. \(\cosh(x) + C\)
D. \(e^x + C\)
अगला प्रश्न
व्याख्या: \(\cosh(x)\) का प्रतिअवकलज \(\sinh(x) + C\) है।
समाकल अभ्यास प्रश्नोत्तरी
ऊपर के प्रश्नोत्तरी से समाकल और प्रतिअवकलज का अभ्यास करें: घात नियम, स्थिरांक \(C\), लघुगणकीय exception, त्रिकोणमितीय समाकल, घातांकीय समाकल और प्रतिस्थापन।
यह समाकल अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी हल करें: पहले नियम पहचानें, फिर समाकल करें।2. पाठ खोलें: प्रतिअवकलज, \(C\), घात नियम और प्रतिस्थापन देखें।3. फिर प्रयास करें: नियमों को तुरंत लागू करके शुद्धता सुधारें।
समाकल पाठ में आप क्या सीखेंगे
अनिश्चित समाकल
\(\int f(x)\,dx\) ऐसे फलन को खोजता है जिसका अवकलज \(f(x)\) हो।
अनिश्चित समाकल में हमेशा स्थिरांक \(+C\) जोड़ें।
योग, अंतर और स्थिर गुणांक को अलग-अलग समाकल किया जा सकता है।
मुख्य समाकल नियम
घात नियम: \(\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\), \(n\ne -1\)।
विशेष मामला: \(\int \dfrac1x dx=\ln|x|+C\)।
\(\int e^x dx=e^x+C\)।
त्रिकोणमितीय समाकल
\(\int \sec^2 x dx=\tan x+C\) और \(\int \csc^2x dx=-\cot x+C\)।
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय forms को उनके मानक प्रतिअवकलज से जोड़ें।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पैटर्न जैसे \(\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C\) पहचानें।
प्रतिस्थापन
जब अंदर वाला फलन और उसका अवकलज मौजूद हो, तो \(u\)-प्रतिस्थापन उपयोग करें।
\(\int 2x\cos(x^2)dx\) में \(u=x^2\) लें।
Definite समाकल में सीमाएँ भी \(u\) के अनुसार बदलें या अंत में \(x\) पर लौटें।
प्रश्नोत्तरी पर वापस
समाकल में सही पैटर्न पहचानना सबसे ज़रूरी है: घात, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, घातांकीय या प्रतिस्थापन।
प्रश्नोत्तरी पर जाएं
⭐⭐⭐⭐⭐⭐
∫
समाकल
चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका
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समाकल क्यों महत्वपूर्ण हैं
उद्देश्य: प्रतिअवकलज, अनिश्चित समाकल, निश्चित समाकल और प्रतिस्थापन की मजबूत समझ बनाना।
सफलता मानदंड
अनिश्चित समाकल में \(+C\) लगाना। घात नियम और लघुगणकीय exception पहचानना। त्रिकोणमितीय और घातांकीय समाकल हल करना। \(u\)-प्रतिस्थापन से संयुक्त समाकल करना। Definite समाकल में सीमाएँ लगाना।
मुख्य शब्दावली
प्रतिअवकलज: ऐसा फलन जिसका अवकलज दिया गया फलन हो।Inनिश्चित समाकल: प्रतिअवकलजों का परिवार।स्थिरांक का समाकलन: \(+C\)।Definite समाकल: किसी अंतराल पर net संचय।प्रतिस्थापन: श्रृंखला नियम को उल्टा इस्तेमाल करना।
त्वरित पूर्व-जाँच
प्रतिअवकलज और रैखिकता
लक्ष्य: मूल प्रतिअवकलज और \(+C\) का सही उपयोग करना।
मुख्य विचार
\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\) का अर्थ है \(F^{\prime}(x)=f(x)\)।
Linearity
\(\int(f+g)dx=\int fdx+\int gdx\) \(\int cf(x)dx=c\int f(x)dx\) हर अनिश्चित समाकल में \(+C\) जोड़ें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\int (3x^2+4)\,dx\)।
पद-दर-पद समाकल करें: \(x^3+4x+C\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
समाकल अवकलज का उल्टा है। अनिश्चित समाकल में \(+C\) न भूलें।
घात नियम और \(\ln|x|\) exception
लक्ष्य: \(x^n\) को सही तरह समाकल करना।
मुख्य विचार
यदि \(n\ne -1\), तो \(\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\)।
यदि \(n=-1\), तो \(\int x^{-1}dx=\ln|x|+C\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\int x^4 dx\)।
घात 1 बढ़ाएँ और नई घात से भाग दें: \(\dfrac{x^5}{5}+C\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
घात 1 बढ़ाएँ और उससे भाग दें। \(x^{-1}\) के लिए \(\ln|x|\) आता है।
त्रिकोणमितीय समाकल
लक्ष्य: मूल त्रिकोणमितीय प्रतिअवकलज याद रखना।
मुख्य त्रिकोणमितीय समाकल
\(\int \cos x dx=\sin x+C\) \(\int \sin x dx=-\cos x+C\) \(\int \sec^2x dx=\tan x+C\) \(\int \csc^2x dx=-\cot x+C\)
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पैटर्न
\(\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C\) जैसे रूप पहचानें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\int \cos(2x)\,dx\)।
प्रतिस्थापन या पैटर्न से उत्तर \(\dfrac12\sin(2x)+C\) है।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
त्रिकोणमितीय समाकल अवकलज नियम के उल्टे हैं। संयुक्त त्रिकोणमितीय में प्रतिस्थापन की ज़रूरत हो सकती है।
श्रृंखला नियम को उल्टा इस्तेमाल करना
लक्ष्य: अंदर वाले फलन को \(u\) बनाकर कठिन समाकल सरल करना।
मुख्य विचार
यदि integrऔर में कोई अंदर वाला फलन और उसका अवकलज दिखाई दे, तो \(u\)-प्रतिस्थापन उपयोग करें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\int 2x\cos(x^2)dx\)।
\(u=x^2\), \(du=2x\,dx\)। इसलिए समाकल \(\int \cos u\,du=\sin u+C=\sin(x^2)+C\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
\(u\) अंदर वाला फलन चुनें। \(du\) integrऔर में मिलना चाहिए।
सीमाओं के साथ समाकल
लक्ष्य: निश्चित समाकल में प्रतिअवकलज को सीमाएँ पर मान निकालें करना।
मुख्य विचार
\(\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)\), जहाँ \(F^{\prime}=f\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\int_0^2 x\,dx\)।
प्रतिअवकलज \(\dfrac{x^2}{2}\)। इसलिए \(\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=2\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
पहले प्रतिअवकलज लें। ऊपरी सीमा पर मान घटा कर निचले सीमा का मान निकालें।
पैटर्न पहचानना
लक्ष्य: घात, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, घातांकीय और प्रतिस्थापन में सही तरीका चुनना।
मुख्य विचार
समाकल हल करने से पहले उसका पैटर्न पहचानें।
\(x^n\): घात नियम। \(1/x\): लघुगणक। \(e^x\): घातांकीय। अंदर और अवकलज साथ हों: प्रतिस्थापन।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\int x e^{x^2}dx\)।
\(u=x^2\), \(du=2x dx\), इसलिए उत्तर \(\dfrac12 e^{x^2}+C\)।
स्वयं प्रयास करें
सारांश
पैटर्न पहचानना समाकलन की गति बढ़ाता है। प्रतिस्थापन तब उपयोगी है जब अंदर का अवकलज मौजूद हो।
समाकल कहाँ उपयोग होते हैं
लक्ष्य: संचय, क्षेत्रफल और कुल परिवर्तन से समाकल को जोड़ना।
समाकल कहाँ आते हैं
वक्र के नीचे क्षेत्रफल। कुल दूरी या कुल परिवर्तन। औसत मान। भौतिकी, अर्थशास्त्र और प्रायिकता में संचय।
उदाहरण
उदाहरण: वेग \(v(t)=2t\) हो तो \(0\) से \(3\) तक displacement क्या है?
Displacement \(\int_0^3 2t\,dt=[t^2]_0^3=9\)।
स्वयं प्रयास करें
अंतिम पुनरावृत्ति
समाकल अवकलज का उल्टा है। \(+C\) अनिश्चित समाकल में ज़रूरी है। घात नियम में \(n=-1\) exception है। प्रतिस्थापन श्रृंखला नियम का उल्टा है। Definite समाकल \(F(b)-F(a)\) है।
अगला कदम: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और हर प्रश्न में पहले पैटर्न पहचानें।
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