आव्यूह अंकगणित और व्युत्क्रम अभ्यास क्विज़, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से रैखिक बीजगणित के सबसे आवश्यक उपकरणों के साथ आव्यूह अंकगणित और आव्यूह व्युत्क्रमों का अभ्यास करें: आव्यूह संकेतन और आयाम (\(m\times n\) आव्यूह, प्रविष्टियाँ \(a_{ij}\)), आव्यूह जोड़ और अदिश गुणन, आयाम जाँचों के साथ आव्यूह गुणन (पंक्ति-दर-स्तंभ), तत्समक मैट्रिक्स \(I_n\) और गुणनों में उसका व्यवहार, परिवर्त \(A^T\) और \((AB)^T=B^TA^T\) जैसे मुख्य परिवर्त नियम, सममित आव्यूह (\(A=A^T\)) और सममिति से प्रतिलोम के बारे में क्या पता चलता है, अनुरेख \(\mathrm{tr}(A)\) (विकर्ण प्रविष्टियों का योग), \(2\times 2\) आव्यूह के लिए सारिणिक (\(\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\)) और त्रिभुजीय आव्यूह के तेज़ उपाय, तथा व्युत्क्रमणीयता परीक्षण (मैट्रिक्स ठीक तब व्युत्क्रमणीय है जब \(\det(A)? 0\))। दोहराना हो तो गुणनफल, परिवर्त, सारिणिक और \(2\times 2\) प्रतिलोम निकालने पर हल उदाहरणों और छोटी जाँचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
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यह आव्यूह अंकगणित और व्युत्क्रम अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए गए आव्यूह गुणन, परिवर्त, अनुरेख, सारिणिक और प्रतिलोम प्रश्नों का उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): आव्यूह संक्रियाएँ, तत्समक और परिवर्त नियम, सारिणिक के त्वरित उपाय, और प्रतिलोम सही तरह निकालना दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और आव्यूह नियमों तथा व्युत्क्रमणीयता परीक्षण को तुरंत लागू करें।
आव्यूह अंकगणित और व्युत्क्रम पाठ में आप क्या सीखेंगे
आव्यूह आधार और मुख्य अंकगणित
आयाम और प्रविष्टियाँ पढ़ें: \(m\times n\) आव्यूह और \(a_{ij}\)
आव्यूह जोड़ें (समान आकार) और अदिश गुणन करें
शून्य मैट्रिक्स और तत्समक मैट्रिक्स \(I_n\) पहचानें
आव्यूह गुणन और तत्समक मैट्रिक्स
पंक्ति-दर-स्तंभ आंतरिक गुणनफल से आव्यूह गुणा करें
जाँचें कि \(AB\) कब परिभाषित है (भीतर के आयाम मेल खाने चाहिए)
\(I_nA=A\) और \(AI_n=A\) उपयोग करें, और याद रखें कि सामान्यतः आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता
परिवर्त, सममिति और अनुरेख
पंक्तियों और स्तंभों को बदलकर परिवर्त \(A^T\) निकालें
\((AB)^T=B^TA^T\) और \((A^T)^T=A\) जैसे मुख्य नियम उपयोग करें
अनुरेख \(\mathrm{tr}(A)\) निकालें और सममित आव्यूह \(A=A^T\) पहचानें
सारिणिक, प्रतिलोम और व्युत्क्रमणीयता
\(2\times 2\) आव्यूह के लिए \(\det(A)\) निकालें और त्रिभुजीय छोटा तरीका (विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल) उपयोग करें
\(\det(A^T)=\det(A)\) जैसे सारिणिक गुण उपयोग करें
\(2\times 2\) प्रतिलोम निकालें और तय करें कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं (\(\det(A)? 0\))
उद्देश्य:आव्यूह अंकगणित और आव्यूह व्युत्क्रमों में भरोसेमंद कौशल बनाना ताकि आप आव्यूह जोड़ और अदिश गुणन कर सकें, पंक्ति-दर-स्तंभ नियमों (आयाम जाँचों के साथ) से आव्यूह गुणनफल निकाल सकें, तत्समक मैट्रिक्स \(I_n\) उपयोग कर सकें, परिवर्त \(A^T\) निकाल सकें और सममित आव्यूह पहचान सकें, अनुरेख \(\mathrm{tr}(A)\) निकाल सकें, सारिणिक निकाल सकें (विशेषकर \(2\times 2\) सारिणिक \(ad-bc\) और त्रिभुजीय त्वरित उपाय), \(\det(A)? 0\) से तय कर सकें कि मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है या नहीं, और सरल प्रणालियां \(Ax=b\) हल करने के लिए \(2\times 2\) प्रतिलोम निकाल सकें।
सफलता मानदंड
आव्यूह का आकार और प्रविष्टियाँ पढ़ें: \(m\times n\) और \(a_{ij}\)।
मेट्रिक्स जोड़ें और अदिश से गुणा करें (जोड़ के लिए समान आकार आवश्यक)।
पंक्ति-दर-स्तंभ आंतरिक गुणनफल से आव्यूह गुणा करें और आयाम जाँचें।
तत्समक मैट्रिक्स उपयोग करें: \(I_nA=A\) और \(AI_n=A\)।
परिवर्त \(A^T\) निकालें और \((AB)^T=B^TA^T\) उपयोग करें।
\(\mathrm{tr}(A)\) को विकर्ण प्रविष्टियों के योग के रूप में निकालें।
\(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\) निकालें और त्रिभुजीय सारिणिक छोटा तरीका उपयोग करें।
व्युत्क्रमणीयता तय करें: \(A\) ठीक तब व्युत्क्रमणीय है जब \(\det(A)? 0\)।
\(2\times 2\) प्रतिलोम निकालें और जहाँ उचित हो, \(Ax=b\) हल करें।
मुख्य शब्दावली
आव्यूह: संख्याओं की आयताकार सारणी जिसका आकार (आयाम) \(m\times n\) होता है।
तत्समक मैट्रिक्स \(I_n\): \(n\times n\) मैट्रिक्स जिसमें विकर्ण पर इकाइयाँ और बाकी जगह शून्य होते हैं।
परिवर्त \(A^T\): पंक्तियाँ और स्तंभ बदलें: \((A^T)_{ij}=a_{ji}\)।
अनुरेख \(\mathrm{tr}(A)\): वर्ग मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों का योग।
सारिणिक \(\det(A)\): वर्ग मैट्रिक्स से जुड़ा एक अदिश; \(2\times 2\) के लिए \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\)।
व्युत्क्रमणीय / अव्युत्क्रमणीय: \(A\) व्युत्क्रमणीय है यदि \(A^{-1}\) मौजूद है; यदि \(\det(A)=0\), तो वह अव्युत्क्रमणीय है।
प्रतिलोम \(A^{-1}\): \(A^{-1}A=AA^{-1}=I\) संतुष्ट करता है।
संकेत: \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\)। यहाँ \(4\cdot 4-8\cdot 2=16-16=0\)।
आव्यूह आधार
आव्यूह संकेतन, आयाम, जोड़ और अदिश गुणन
सीखने का लक्ष्य: आव्यूह का आकार सही पढ़ना और सुरक्षित, सटीक आव्यूह अंकगणित करना।
मुख्य विचार
आव्यूह संख्याओं की सारणी है। इसका आयाम \(m\times n\) (पंक्तियाँ \(\times\) स्तंभ) होता है। दो आव्यूह को केवल तभी जोड़ा जा सकता है जब उनका आकार समान हो। अदिश गुणन हर प्रविष्टि को उस अदिश से गुणा करता है।
परिभाषाएँ जिन्हें आप लगातार उपयोग करेंगे
समानता: \(A=B\) यदि उनका आकार समान है और हर संबंधित प्रविष्टि मेल खाती है।
जोड़: \((A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) (समान आकार आवश्यक)।
आव्यूह जोड़ के लिए आकार समान होना चाहिए; अदिश गुणन हमेशा किया जा सकता है।
जोड़ते या स्केल करते समय प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि अंकगणित करें।
आव्यूह गुणन
आव्यूह गुणन, आयाम जाँच और तत्समक मैट्रिक्स
सीखने का लक्ष्य: आव्यूह को सही गुणा करना और तत्समक तथा अक्रमविनिमेयता नियम याद रखना।
मुख्य विचार
यदि \(A\), \(m\times n\) है और \(B\), \(n\times p\) है, तो \(AB\) परिभाषित है और \(m\times p\) होगा। \(AB\) की हर प्रविष्टि पंक्ति-दर-स्तंभ आंतरिक गुणनफल है: \[ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}. \] सामान्यतः, \(AB? BA\), भले ही दोनों गुणनफल परिभाषित हों।
तत्समक मैट्रिक्स
तत्समक मैट्रिक्स \(I_n\) में विकर्ण पर इकाइयाँ और बाकी जगह शून्य होते हैं। यह गुणन में "1" की तरह काम करता है: \[ I_nA=A,\quad AI_n=A. \]
परिवर्त पंक्तियाँ और स्तंभ बदलता है; सममिति का अर्थ \(A=A^T\) है।
अनुरेख वर्ग मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों का योग है।
सारिणिक
सारिणिक: \(2\times 2\) सूत्र, त्रिभुजीय छोटा तरीका और मुख्य गुण
सीखने का लक्ष्य: सारिणिक तेज़ निकालना और उनसे व्युत्क्रमणीयता तय करना।
\(2\times 2\) सारिणिक
\(2\times 2\) मैट्रिक्स के लिए, \[ \det\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}=ad-bc. \] वर्ग मैट्रिक्स ठीक तब व्युत्क्रमणीय है जब उसका सारिणिक शून्य नहीं है।
तेज़ छोटा तरीका: त्रिभुजीय आव्यूह
यदि मैट्रिक्स ऊपरी त्रिभुजीय या निचली त्रिभुजीय है, तो उसका सारिणिक विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल है। उदाहरण: \[ \det\begin{pmatrix}2 & 3\\0 & 4\end{pmatrix}=2\cdot 4=8. \]
दो ज़रूरी गुण
\(\det(A^T)=\det(A)\)
\(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) (जब दोनों गुणनफल अर्थपूर्ण हों और \(A,B\) समान आकार की वर्ग आव्यूह हों)
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\begin{pmatrix}7 & 3\\2 & 5\end{pmatrix}\) का सारिणिक क्या है?
संकेत: त्रिभुजीय आव्यूह के लिए विकर्ण प्रविष्टियों को गुणा करें।
सारांश
\(2\times 2\) के लिए, \(\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc\)।
त्रिभुजीय सारिणिक = विकर्ण का गुणनफल।
व्युत्क्रमणीय \(\Leftrightarrow \det(A)? 0\)।
व्युत्क्रम
आव्यूह व्युत्क्रम: \(2\times 2\) प्रतिलोम सूत्र और \(Ax=b\) हल करना
सीखने का लक्ष्य: प्रतिलोम सही निकालना और प्रतिलोम क्या करता है, यह समझना।
मुख्य विचार
वर्ग मैट्रिक्स \(A\) व्युत्क्रमणीय है यदि ऐसा \(A^{-1}\) मौजूद हो कि \[ A^{-1}A=AA^{-1}=I. \] \(2\times 2\) मैट्रिक्स \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) के लिए, यदि \(\det(A)=ad-bc? 0\), तो \[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. \]
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\) का प्रतिलोम निकालें और \(b=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) के साथ \(Ax=b\) हल करने में उपयोग करें।
पहले सारिणिक निकालें: \[ \det\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1-1\cdot 1=1. \] इसलिए प्रतिलोम है \[ \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1\\-1 & 2\end{pmatrix}. \] अब दोनों पक्षों को \(A^{-1}\) से गुणा करके \(Ax=b\) हल करें: \[ x=A^{-1}b= \begin{pmatrix}1 & -1\\-1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}. \]
सारिणिक निकालें: \[ \det\begin{pmatrix}4 & 8\\2 & 4\end{pmatrix}=4\cdot 4-8\cdot 2=16-16=0. \] क्योंकि सारिणिक \(0\) है, मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय नहीं है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\det(A^T)\), \(\det(A)\) से कैसे संबंधित है?
संकेत: परिवर्त करने से सारिणिक नहीं बदलता।
खुद कोशिश 2: यदि \(A\) सममित और व्युत्क्रमणीय है, तो कौन सा गुण सही है?
संकेत: यदि \(A=A^T\), तो \((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}\)।
सारांश
\(\det(A)? 0\) सबसे तेज़ व्युत्क्रमणीयता जाँच है (विशेषकर \(2\times 2\) के लिए)।
उल्टे-क्रम का नियम याद रखें: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)।
सममित + व्युत्क्रमणीय \(\Rightarrow\) प्रतिलोम सममित है।
अनुप्रयोग और बड़ी तस्वीर
आव्यूह अंकगणित और प्रतिलोम क्यों मायने रखते हैं
सीखने का लक्ष्य: आव्यूह संक्रियाओं को प्रणालियाँ हल करने और रूपांतरणों से जोड़ना, फिर अंतिम जाँच पूरी करना।
ये कौशल कहाँ दिखाई देते हैं
प्रणालियाँ हल करना: \(Ax=b\) में आव्यूह गुणन, सारणिक और प्रतिलोम उपयोग होते हैं।
रैखिक रूपांतरण: आव्यूह स्केलिंग, घूर्णन, कतरन और परावर्तन दर्शाते हैं।
ज्यामिति और क्षेत्रफल स्केलिंग: सारणिक बताते हैं कि रूपांतरण के तहत क्षेत्रफल (या आयतन) कैसे स्केल होता है।
डेटा और संगणना: दक्ष आव्यूह संक्रियाएँ ग्राफिक्स, अनुकूलन और मशीन लर्निंग को शक्ति देती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण: विकर्ण सारिणिक
उदाहरण: \(\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 5\end{pmatrix}\) का सारिणिक क्या है?
यह मैट्रिक्स विकर्ण (और त्रिभुजीय) है, इसलिए विकर्ण प्रविष्टियाँ गुणा करें: \[ \det\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 5\end{pmatrix}=3\cdot 5=15. \]
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से आज़माएँ। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक दोबारा खोलें और जिस आव्यूह कौशल की ज़रूरत हो, वह पृष्ठ दोहराएँ (गुणा, परिवर्त/अनुरेख, सारिणिक, या प्रतिलोम)।
अभ्यास सेट
आव्यूह अंकगणित एवं व्युत्क्रम अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
मैट्रिसों \(\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\) और \(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) का योग क्या है?
सही उत्तर: C. \(\begin{pmatrix}1 & 3 \\ 4 & 4\end{pmatrix}\)
व्याख्या: संबंधित प्रविष्टियों को जोड़ें: \(1+0=1\), \(2+1=3\), \(3+1=4\), \(4+0=4\).
सही उत्तर: C. \(\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\)
व्याख्या: निर्धारक \(2\cdot1 - 1\cdot1 = 1\) है। विकर्ण प्रविष्टियों को अदल-बदलें और ऑफ-डायगोनल प्रविष्टियों के चिह्न बदलें, जिससे \(\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\) मिलता है।
