मानक वह लंबाई है जो सदिश संरचना से मेल खाती है

मुख्य विचार

किसी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि \(V\) पर मानक \(\|x\|\ge0\), \(\|x\|=0\) ठीक तभी जब \(x=0\), \(\|ax\|=|a|\|x\|\), और \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\) को संतुष्ट करता है। इसलिए \(x≠0\) से \(\|x\|>0\) मिलता है, और सामान्यीकृत सदिश \(\frac{x}{\|x\|}\) का मानक \(1\) होता है। अदिश का परम मान जरूरी है: ऋणात्मक अदिश लंबाई को ऋणात्मक नहीं बना सकते।

पहचान सूची

• शून्य जाँच: यदि कोई प्रस्तावित मानक किसी अशून्य सदिश को \(0\) देता है, तो वह असफल है।
• अदिश जाँच: \(\|ax\|=|a|\|x\|\) जाँचें, खासकर \(a=-1\) के लिए।
• त्रिभुज जाँच: \(\|x+y\|\le\|x\|+\|y\|\) जाँचें; उदाहरण के लिए \(\|x\|,\|y\|\le1\) से \(\|x+y\|\le2\) मिलता है।
• प्रतिलोम त्रिभुज: \(|\|x\|-\|y\||\le\|x-y\|\) त्रिभुज असमानता से निकलता है।

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तीन निर्देशांक मानक जिन्हें तुरंत पहचानना चाहिए

मुख्य विचार

• \(\|(x_1,\ldots,x_n)\|_1=|x_1|+\cdots+|x_n|\)।
• \(\|(x_1,\ldots,x_n)\|_2=\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}\)।
• \(\|(x_1,\ldots,x_n)\|_\infty=\max_i |x_i|\)।
• \(\mathbb{R}^2\) में \(\ell^1\) एकक गेंद हीरे जैसी, यूक्लिडीय एकक गेंद चकती जैसी, और \(\ell^\infty\) एकक गेंद वर्गाकार होती है।

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मानक सदिशों को मेट्रिक समष्टि में बदलता है

मुख्य विचार

मानक \(d(x,y)=\|x-y\|\) परिभाषित करता है, इसलिए \(\|x-y\|\) छोटा होने का अर्थ है कि \(x\) और \(y\) पास हैं। फिर \(x_n\to x\) का अर्थ है \(\|x_n-x\|\to0\)। सीमाएँ सदिश क्रियाओं के साथ स्वाभाविक रूप से चलती हैं: यदि \(x_n\to x\), \(y_n\to y\), और \(a\) नियत है, तो \(x_n+y_n\to x+y\) और \(ax_n\to ax\)। केंद्र \(a\) और त्रिज्या \(r\) वाली खुली गेंद \(B(a,r)=\{x:\|x-a\|\lt r\}\) है; बंद गेंद में \(\le r\) आता है; एकक गोले में \(=1\) आता है।

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पूर्णता का अर्थ है कि कोशी अनुक्रमों की सीमाएँ भीतर ही हों

मुख्य विचार

हर अभिसारी अनुक्रम कोशी होता है, लेकिन कोई कोशी अनुक्रम समष्टि के भीतर अभिसरित होने में असफल हो सकता है। नॉर्मित सदिश समष्टि पूर्ण तब कहलाती है जब हर कोशी अनुक्रम की सीमा उसी समष्टि में हो। पूर्ण नॉर्मित सदिश समष्टि को बनाख समष्टि कहते हैं।

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परिमित आयाम सभी मानकों को टोपोलॉजी की दृष्टि से समान बना देता है

मुख्य विचार

दो मानक \(\|\cdot\|_a\) और \(\|\cdot\|_b\) समतुल्य होते हैं यदि ऐसे नियतांक \(m,M>0\) हों कि \(m\|x\|_a\le\|x\|_b\le M\|x\|_a\) सभी \(x\) के लिए। परिमित आयाम में सभी मानक समतुल्य होते हैं, इसलिए वे वही खुले समुच्चय और वही अभिसारी अनुक्रम देते हैं।

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संचालक मानक रैखिक प्रतिचित्रण का आकार मापता है

मुख्य विचार

रैखिक प्रतिचित्रण \(T:V\to W\) के लिए परिबद्धता का अर्थ है कि \(\|Tx\|\le C\|x\|\) किसी \(C\) के लिए। रैखिक प्रतिचित्रणों के लिए यह सततता के समतुल्य है। संचालक मानक \(\|T\|=\sup_{\|x\|\le1}\|Tx\|\) है। परिमित-आयामी नॉर्मित समष्टियों के बीच हर रैखिक प्रतिचित्रण अपने-आप सतत और समान रूप से सतत होता है।

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नॉर्मित समष्टियों की आम उलझनों से बचें

सामान्य भूलें

• मानक सामान्यतः रैखिक नहीं होता: \(\|x+y\|\) आम तौर पर \(\|x\|+\|y\|\) नहीं होता।
• समघातता में परम मान चाहिए: \(\|-x\|=\|x\|\), न कि \(-\|x\|\)।
• खुली गेंद बनाम गोला: \(\lt r\) गेंद है, \(=r\) गोला है।
• समष्टि पूर्ण न हो तो कोशी और अभिसारी एक ही बात नहीं हैं।
• परिमित-आयामी मानक समतुल्यता अपने-आप अनंत-आयामी समष्टियों पर लागू नहीं होती।
• संचालक मानक एकक गेंद पर सुप्रीमम लेता है, किसी एक सुविधाजनक सदिश पर मान नहीं।

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अंतिम सारांश

• मानक में धनात्मकता, \(|a|\) के साथ समघातता और त्रिभुज असमानता होती है।
• हर मानक \(d(x,y)=\|x-y\|\) द्वारा मेट्रिक देता है।
• मानक अभिसरण \(\|x_n-x\|\to0\) है, और यह योग, नियत अदिश गुणन तथा मानक फलन के साथ संगत है।
• यदि \(x≠0\), तो \(\|x\|>0\) और \(\left\|\frac{x}{\|x\|}\right\|=1\)।
• बनाख समष्टि पूर्ण नॉर्मित सदिश समष्टि होती है।
• परिमित-आयामी सदिश समष्टि पर सभी मानक समतुल्य होते हैं और वही टोपोलॉजी देते हैं।
• परिमित-आयामी नॉर्मित समष्टियों के बीच रैखिक प्रतिचित्रण अपने-आप सतत होते हैं।
• शून्य प्रतिचित्रण का संचालक मानक \(0\) है, और अशून्य नॉर्मित समष्टि पर सर्वसमिका प्रतिचित्रण का संचालक मानक \(1\) है।