बहुपद & परिमेय फलन अभ्यास क्विज़, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ
पेज के नीचे दिए गए क्विज़ से बहुपद फलनों और परिमेय फलनों में महारत पाएँ, उन सटीक कौशलों के साथ जो परीक्षाओं और होमवर्क में आते हैं: घात और अग्र गुणांक, x-अवरोध (वास्तविक शून्य / मूल) और गुणनखंड प्रमेय, गुणनता तथा ग्राफ x-अक्ष को पार करता है या स्पर्श करता है, अंतिम व्यवहार के लिए अग्र पद परीक्षण, और परिमेय फलन की ज़रूरी बातें जैसे परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध, ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी, छेद (हटाने योग्य असततताएँ), क्षैतिज अनन्तस्पर्शी और तिरछा अनन्तस्पर्शी, अवरोध, तथा अमान्य हल की जाँच के साथ परिमेय समीकरण हल करना। यदि आप पुनरावृत्ति चाहते हैं, तो हल किए गए उदाहरणों और झटपट जाँचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह बहुपद और परिमेय फलन अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ दें: पृष्ठ के नीचे दिए गए बहुपद और परिमेय फलन प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): शून्य, गुणनखंडन, अवरोध, अंतिम व्यवहार, परिभाषा-क्षेत्र, छेद और अनन्तस्पर्शी साफ उदाहरणों के साथ दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और बहुपद तथा परिमेय फलन नियम तुरंत लागू करें।
बहुपद & परिमेय फलन पाठ में आप क्या सीखेंगे
बहुपद फलन की मूल बातें
घात, अग्र पद, और अग्र गुणांक
अवरोध: y-अवरोध \(f(0)\) और x-अवरोध (वास्तविक शून्य)
अंत व्यवहार अग्र पद से (सम/विषम घात, धनात्मक/ऋणात्मक अग्र गुणांक)
शून्य, गुणनखंड & गुणनता
गुणनखंडन पैटर्न और शून्य-गुणनफल गुण
गुणनता: ग्राफ कब x-अक्ष को पार करता है और कब स्पर्श करता है
वास्तविक शून्य ज्ञात करना और बहुपदों को गुणनखंडित रूप में लिखना
उद्देश्य:बहुपद फलनों और परिमेय फलनों की स्पष्ट समझ बनाएँ ताकि आप अवरोध, शून्य / मूल, और गुणनता ज्ञात कर सकें, अग्र पद से अंतिम व्यवहार बता सकें, और परिमेय फलन के गुण जैसे परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध, छेद (हटाने योग्य असततताएँ), ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी, और क्षैतिज या तिरछा अनन्तस्पर्शी का विश्लेषण कर सकें। आप अमान्य हल जाँचते हुए परिमेय समीकरण हल करना भी अभ्यास करेंगे।
सफलता मानदंड
किसी बहुपद का घात और अग्र गुणांक पहचानें।
\(f(0)\) निकालकर y-अवरोध ज्ञात करें और उन्हें सही समझें।
गुणनखंडन और शून्य-गुणनफल गुण से बहुपदों के वास्तविक शून्य ज्ञात करें।
गुणनता से अनुमान लगाएँ कि ग्राफ x-अक्ष को पार करता है या स्पर्श करता है।
अग्र पद परीक्षण से बहुपद का अंतिम व्यवहार बताएं।
हर के शून्यों को बाहर करके परिमेय फलन का परिभाषा-क्षेत्र ज्ञात करें।
छेद (कटे हुए गुणनखंड) पहचानें और छेद का निर्देशांक निकालें।
न कटने वाले हर गुणनखंडों से ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी ज्ञात करें।
क्षैतिज अनन्तस्पर्शी निर्धारित करें (और कब घात तिरछे अनन्तस्पर्शी की अनुमति देते हैं)।
हर साफ करके और अमान्य हल जाँचकर परिमेय समीकरण हल करें।
मुख्य शब्दावली
बहुपद फलन: \(p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\), जिसमें घातांक अनऋणात्मक पूर्णांक होते हैं।
घात: सबसे बड़ा घातांक जिसका गुणांक शून्य नहीं है।
अग्र गुणांक: सबसे बड़े घात वाले पद का गुणांक।
शून्य / मूल: \(x=r\) ऐसा मान जहाँ \(p(r)=0\); वास्तविक होने पर यह x-अवरोध भी होता है।
गुणनता: कोई गुणनखंड कितनी बार दोहरता है, जैसे \((x-1)^2\) की गुणनता \(2\) है।
परिमेय फलन: \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\), जहाँ \(p,q\) बहुपद हैं और \(q(x)? 0\)।
छेद: कटे हुए गुणनखंड से बनने वाली हटाने योग्य असततता।
ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी: जहाँ कोई न कटने वाला हर शून्य होने पर \(f(x)\) पास में अनंत की ओर बढ़ता है।
क्षैतिज अनन्तस्पर्शी: रेखा \(y=L\) जो \(x\to\pm\infty\) पर अंतिम व्यवहार बताती है।
तिरछा अनन्तस्पर्शी: लंबी भाग विधि से मिलने वाली रेखीय अनन्तस्पर्शी, जब घातों का अंतर \(1\) हो।
झटपट पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: \(f(x)=2x^2-8x+3\) का y-अवरोध क्या है?
संकेत: y-अवरोध \(f(0)\) है।
पूर्व-जाँच 2: \(f(x)=\dfrac{4x+1}{2x-3}\) का क्षैतिज अनन्तस्पर्शी क्या है?
संकेत: जब घात बराबर हों, क्षैतिज अनन्तस्पर्शी अग्र गुणांकों का अनुपात होता है।
बहुपद मूल बातें
बहुपद फलन: घात, अग्र पद और अवरोध
सीखने का लक्ष्य: घात और अग्र गुणांक पहचानें, फिर अवरोध जल्दी और सही निकालें।
मुख्य विचार
बहुपद फलन ऐसा दिखता है \[ p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0, \] जहाँ घातांक पूर्ण संख्याएँ हैं और \(a_n? 0\)। घात सबसे बड़ा घातांक \(n\) है, और अग्र गुणांक \(a_n\) है।
y-अवरोध: \(p(0)\) निकालें।
x-अवरोध: \(p(x)=0\) हल करें। वास्तविक हल x-अवरोध होते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(p(x)=-2x^3+x\) के लिए घात और y-अवरोध ज्ञात करें।
सबसे बड़ा घात \(3\) है, इसलिए घात \(3\) है। y-अवरोध \(p(0)\) है: \[ p(0)=-2(0)^3+0=0. \] इसलिए y-अवरोध \((0,0)\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(p(x)=7x^4-2\) का घात और अग्र गुणांक क्या हैं?
संकेत: अग्र पद सबसे बड़े घात वाला पद होता है।
खुद कोशिश 2: \(p(x)=x^4-16\) का y-अवरोध क्या है?
संकेत: y-अवरोध \(p(0)\) है।
सारांश
घात = सबसे बड़ा घातांक; अग्र गुणांक = उस पद का गुणांक।
y-अवरोध \(f(0)\) है; x-अवरोध \(f(x)=0\) हल करने से मिलते हैं।
शून्य & गुणनता
शून्य (मूल) खोजने के लिए गुणनखंडन और गुणनता का उपयोग
सीखने का लक्ष्य: वास्तविक शून्य ज्ञात करने के लिए बहुपदों का गुणनखंडन करें, फिर प्रत्येक शून्य पर ग्राफ के व्यवहार का अनुमान लगाने के लिए गुणनता उपयोग करें।
मुख्य विचार
यदि बहुपद गुणनखंडित रूप में लिखा है, तो आप शून्य-गुणनफल गुण उपयोग कर सकते हैं: \[ (x-a)(x-b)=0 \Rightarrow x=a \text{ or } x=b. \] दोहराया गया गुणनखंड गुणनता देता है। यदि \((x-r)^m\) गुणनखंड है:
यदि \(m\) विषम है, तो ग्राफ आम तौर पर \(x=r\) पर x-अक्ष को पार करता है।
यदि \(m\) सम है, तो ग्राफ आम तौर पर \(x=r\) पर स्पर्श करके लौटता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(p(x)=x^4-16\) के वास्तविक शून्य ज्ञात करें।
वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंड करें: \[ x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4). \] गुणनखंड \(x^2+4\) के कोई वास्तविक शून्य नहीं हैं। इसलिए वास्तविक शून्य हैं: \[ x=-2,\quad x=2. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(f(x)=(x-1)^2(x+3)\) के लिए \(x=1\) पर शून्य की गुणनता क्या है?
संकेत: गुणनता गुणनखंड \((x-1)\) पर लगा घातांक है।
खुद कोशिश 2: \(p(x)=x^3-9x\) के वास्तविक शून्य क्या हैं?
संकेत: \(x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)\) का गुणनखंडन करें।
सारांश
\(p(x)\) का गुणनखंडन करें और वास्तविक शून्य पाने के लिए हर गुणनखंड \(=0\) हल करें।
गुणनता बताती है कि ग्राफ x-अक्ष को पार करता है (विषम) करेगा या स्पर्श करता है (सम) करेगा।
अंत व्यवहार
अग्र पद परीक्षण: बहुपदों का अंतिम व्यवहार
सीखने का लक्ष्य: घात (सम/विषम) और अग्र गुणांक के चिह्न से अनुमान लगाएँ कि \(x\to\pm\infty\) पर क्या होता है।
मुख्य विचार
बड़े \(|x|\) के लिए बहुपद अपने अग्र पद \(a_nx^n\) जैसा व्यवहार करता है। यह अग्रणी पद परीक्षण है:
सम घात (\(n\) सम): दोनों छोर एक ही दिशा में जाते हैं।
विषम घात (\(n\) विषम): छोर विपरीत दिशाओं में जाते हैं।
धनात्मक अग्र गुणांक: दायाँ छोर ऊपर जाता है।
ऋणात्मक अग्र गुणांक: दायाँ छोर नीचे जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(f(x)=-2x^3+x\) का अंतिम व्यवहार क्या है?
अंत व्यवहार का अनुमान लगाने के लिए अग्र पद \(a_nx^n\) उपयोग करें।
सम घात: समान दिशा; विषम घात: विपरीत दिशा; \(a_n\) का चिह्न दाएँ छोर को तय करता है।
परिमेय मूल बातें
परिमेय फलन: परिभाषा-क्षेत्र, छेद और ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी
सीखने का लक्ष्य: गुणनखंडन और सामान्य गुणनखंड काटने से परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध ज्ञात करें और छेद को ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी से अलग करें।
मुख्य विचार
परिमेय फलन बहुपदों का भागफल है: \[ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}. \] परिभाषा-क्षेत्र उन मानों को बाहर करता है जहाँ \(q(x)=0\)। जब आप गुणनखंडन और सरल करते हैं:
यदि कोई गुणनखंड कटता है, तो मूल फलन में उस \(x\)-मान पर छेद होता है (हटाने योग्य असततता)।
यदि हर का गुणनखंड नहीं कटता, तो वह ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी बनाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}\) में छेद कहाँ है?
सामान्य गुणनखंड काटें (पर प्रतिबंध याद रखें): \[ f(x)=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1,\quad x? 2. \] इसलिए \(x=2\) पर छेद है। y-मान सरल फलन से आता है: \[ y=2+1=3. \] छेद \((2,3)\) पर है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-4}\) के ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी कहाँ हैं?
संकेत: ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी हर के उन शून्यों से आते हैं जो कटते नहीं।
खुद कोशिश 2: \(f(x)=\dfrac{1}{x-6}\) का परिभाषा-क्षेत्र क्या है?
संकेत: हर शून्य नहीं हो सकता।
सारांश
परिभाषा-क्षेत्र हर के शून्यों को बाहर करता है।
कटता हुआ गुणनखंड \(\Rightarrow\) छेद; न कटने वाला हर गुणनखंड \(\Rightarrow\) ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी।
अनन्तस्पर्शी
क्षैतिज अनन्तस्पर्शी (और तिरछा अनन्तस्पर्शी कब होते हैं)
सीखने का लक्ष्य: घातों की तुलना से क्षैतिज अनन्तस्पर्शी जल्दी निर्धारित करें और पहचानें कि लंबी भाग विधि कब चाहिए।
मुख्य विचार
\(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\) के लिए घातों की तुलना करें:
यदि \(\deg(p)<\deg(q)\), क्षैतिज अनन्तस्पर्शी \(y=0\) है।
यदि \(\deg(p)=\deg(q)\), क्षैतिज अनन्तस्पर्शी अग्र गुणांकों का अनुपात है।
यदि \(\deg(p)>\deg(q)\), कोई क्षैतिज अनन्तस्पर्शी नहीं। यदि घातों का अंतर \(1\) है, तो लंबी भाग विधि से ग्राफ में तिरछा अनन्तस्पर्शी हो सकता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(f(x)=\dfrac{5x^3+1}{x^3+4}\) का क्षैतिज अनन्तस्पर्शी क्या है?
घात बराबर हैं (\(3\) और \(3\)), इसलिए क्षैतिज अनन्तस्पर्शी अग्र गुणांकों का अनुपात है: \[ y=\frac{5}{1}=5. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(f(x)=\dfrac{7x^4-2}{2x^4+3}\) का क्षैतिज अनन्तस्पर्शी क्या है?
संकेत: घात बराबर हैं, इसलिए अग्र गुणांकों का अनुपात उपयोग करें।
खुद कोशिश 2: \(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\) का क्षैतिज अनन्तस्पर्शी क्या है?
संकेत: ऊपर का घात नीचे के घात से कम है, इसलिए \(y=0\)।
\(\deg(\text{अंश})=\deg(\text{हर}) \Rightarrow y=\dfrac{\text{अंश का अग्र गुणांक}}{\text{हर का अग्र गुणांक}}\)।
\(\deg(\text{अंश})>\deg(\text{हर}) \Rightarrow\) कोई क्षैतिज अनन्तस्पर्शी नहीं; अंतर \(1\) होने पर तिरछे अनन्तस्पर्शी के लिए लंबी भाग विधि देखें।
परिमेय समीकरण
परिमेय समीकरण हल करें (और अमान्य हल से बचें)
सीखने का लक्ष्य: सबसे छोटे समान हर से हर साफ करें, हल करें, फिर प्रतिबंध जाँचें ताकि अमान्य उत्तर न रहें।
मुख्य विचार
परिमेय समीकरण हल करने के लिए:
चरण 1: परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध लिखें (वे मान जो हर को शून्य बनाते हैं)।
चरण 2: भिन्न हटाने के लिए दोनों पक्षों को सबसे छोटे समान हर से गुणा करें।
चरण 3: प्राप्त समीकरण हल करें।
चरण 4:अमान्य हल हटाने के लिए हलों को मूल समीकरण में जाँचें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\dfrac{x-1}{x+2}=2\) हल करें।
प्रतिबंध: \(x? -2\)। दोनों पक्षों को \(x+2\) से गुणा करें: \[ x-1=2(x+2). \] \[ x-1=2x+4 \Rightarrow -5=x \Rightarrow x=-5. \] जाँच: \((-5)+2=-3? 0\), इसलिए \(x=-5\) मान्य है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\dfrac{x+1}{x-2}=3\) हल करें।
संकेत: प्रतिबंध \(x? 2\)। गुणा करें: \(x+1=3(x-2)\), फिर हल करें।
खुद कोशिश 2: \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\) का ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी कहाँ है?
संकेत: ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी वहाँ होते हैं जहाँ हर शून्य हो (और कटे नहीं)।
सारांश
सबसे छोटे समान हर से हर साफ करें, हल करें, फिर अमान्य हल हटाने के लिए प्रतिबंध जाँचें।
अंतिम उत्तर में कभी भी हर को शून्य न होने दें।
बड़ा चित्र
बहुपद & परिमेय फलनों के लिए तेज़ जाँच-सूची
सीखने का लक्ष्य: कौशलों को भरोसेमंद जाँच-सूची में मिलाएँ, फिर अंतिम जाँच के साथ समाप्त करें।
ग्राफ बनाना जाँच-सूची (उच्च-मूल्य चरण)
1) फलन प्रकार पहचानें: बहुपद या परिमेय।
2) अवरोध: y-अवरोध के लिए \(f(0)\) निकालें; x-अवरोध के लिए \(f(x)=0\) हल करें।
3) बहुपदों के लिए: संभव हो तो गुणनखंडन करें, गुणनता सहित शून्य लिखें, और अग्र पद से अंतिम व्यवहार उपयोग करें।
4) परिमेय फलनों के लिए: अंश/हर का गुणनखंडन करें, परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध नोट करें, सामान्य गुणनखंड काटें (छेद), न कटने वाले हर गुणनखंड रखें (ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी)।
5) अंत व्यवहार: घात तुलना (या लंबी भाग विधि) से क्षैतिज या तिरछा अनन्तस्पर्शी ज्ञात करें।
6) अंतिम जाँच: सुनिश्चित करें कि हर प्रतिबंध माना गया है (कोई हर \(=0\) नहीं)।
हल किया हुआ उदाहरण: सामान्य छेद पैटर्न
उदाहरण: \(f(x)=\dfrac{(x-4)(x+1)}{x-4}\) में छेद कहाँ है?
सामान्य गुणनखंड काटें (पर प्रतिबंध \(x? 4\) रखें): \[ f(x)=x+1,\quad x? 4. \] छेद \(x=4\) पर है और y-मान \(4+1=5\) है। इसलिए छेद \((4,5)\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(f(x)=\dfrac{(x-4)(x+1)}{x-4}\) में छेद कहाँ है?
संकेत: सामान्य गुणनखंड काटें और सरल फलन को बाहर किए गए x-मान पर मान निकालें करें।
खुद कोशिश 2: \(y=\dfrac{5x^3-x+1}{2x^3+4}\) का क्षैतिज अनन्तस्पर्शी निर्धारित करें।
संकेत: घात बराबर हैं, इसलिए अग्र गुणांकों का अनुपात उपयोग करें।
अंतिम सारांश
बहुपद: घात + अग्र गुणांक, अवरोध, गुणनखंडन से शून्य, गुणनता, और अग्र पद से अंतिम व्यवहार।
परिमेय फलन: परिभाषा-क्षेत्र प्रतिबंध, छेद (कटे गुणनखंड), ऊर्ध्वाधर अनन्तस्पर्शी (न कटने वाले हर गुणनखंड), और क्षैतिज/तिरछे अनन्तस्पर्शी से अंतिम व्यवहार।
परिमेय समीकरण: सबसे छोटे समान हर से हर साफ करें, हल करें, फिर अमान्य हल जाँचें।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से हल करें। यदि कोई प्रश्न छूटे, तो पुस्तक फिर से खोलें और उस पेज को दोहराएँ जो आपकी ज़रूरत वाली बहुपद या परिमेय फलन कौशल से मेल खाता है।
अभ्यास सेट
बहुपद एवं परिमेय फलन अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
\(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\) को सरल कीजिए।
सही उत्तर: B. \(x+2\)
व्याख्या: अंश का गुणनखंड कीजिए: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), फिर \(x-2\) को काटकर \(x+2\) प्राप्त करें।
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
\(f(x)=\frac{4x+1}{2x-3}\) का क्षैतिज असिम्प्टोट क्या है?
सही उत्तर: D. \(y = 2\)
व्याख्या: अग्र गुणांकों का अनुपात: \(4/2=2\), इसलिए \(y=2\) है।
\(f(x)=\frac{5x^3 - x + 1}{2x^3 + 4}\) का क्षैतिज असिम्प्टोट क्या है?
सही उत्तर: B. \(y=\tfrac{5}{2}\)
व्याख्या: अग्र गुणांकों की तुलना करें: \(5/2\), इसलिए \(y=\tfrac{5}{2}\) है।
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
\(f(x)=\frac{(x+3)^2}{x+3}\) में छेद कहाँ है?
सही उत्तर: A. \(x = -3\)
व्याख्या: एक \((x+3)\) काटें → \(x=-3\) पर छेद है।
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
\(f(x)=\tfrac{1}{x^2}\) का क्षैतिज आसमयप्टोट क्या है?
सही उत्तर: B. \(y = 0\)
व्याख्या: हर की घात अंश की घात से बड़ी है, इसलिए \(y=0\) है।
प्रश्न 7उत्तर नहीं दिया
क्या \(f(x)=\tfrac{1}{x^2}\) सम है, विषम है, या न तो सम न विषम?
सही उत्तर: A. सम
व्याख्या: \(x^2\) सम है → \(f(-x)=f(x)\), इसलिए यह सम है।
प्रश्न 8उत्तर नहीं दिया
क्या \(f(x)=\tfrac{1}{x}\) सम है, विषम है, या न तो सम न विषम?
सही उत्तर: A. विषम
व्याख्या: \(f(-x)=-f(x)\), इसलिए यह विषम है।
प्रश्न 9उत्तर नहीं दिया
\(f(x)=\tfrac{x-2}{(x-2)^2}\) का ऊर्ध्वाधर आसमयप्टोट कहाँ है?
सही उत्तर: B. \(x = 2\)
व्याख्या: गुणनखंड कीजिए: \(\frac{x-2}{(x-2)^2} = \frac{1}{x-2}\)।
क्योंकि हर में \((x-2)\) का एक गुणनखंड बचा रहता है, इसलिए \(x=2\) पर फलन अनंत की ओर बढ़ता है; अतः वहाँ ऊर्ध्वाधर आसमयप्टोट है (छेद नहीं)।
