चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ मूल और मूलांक अभ्यास प्रश्नोत्तरी
पृष्ठ के ऊपर दिए प्रश्नोत्तरी से मूल और मूलांक का अभ्यास करें: वर्ग मूल, घन मूल, और nवाँ मूल मान निकालें करना, मूलांक व्यंजक सरल करें करना, मूलांक को परिमेय घातांक के रूप में rewrite करना, और laws का घातांक (including ऋणात्मक और fractional घातांक) लागू करना। यदि आपको पुनरावृत्ति चाहिए, तो हल किया हुआ उदाहरण और त्वरित जाँचें वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
यह मूल और मूलांक अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए मूल और मूलांक प्रश्नों के उत्तर दें।
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर वाले प्रश्नोत्तरी पर लौटें और मूल, मूलांक, तथा परिमेय घातांक का अभ्यास जारी रखें।
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मूल & मूलांक
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मूल और मूलांक पाठ
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पाठ सारांश
पाठ सारांश
उद्देश्य:मूल और मूलांक की स्पष्ट समझ बनाएँ और simplifying मूलांक तथा मूलांक और परिमेय घातांक के बीच बदलने के भरोसेमंद नियम सीखें।
सफलता मानदंड
\( \sqrt[n]{a} \) में सूचकांक और विकर्ण्य पहचानें।
principal वर्ग मूल का अर्थ उपयोग करें: \( \sqrt{a} \ge 0 \) के लिए \(a\ge 0\)।
\( \sqrt{289} \), \( \sqrt[3]{8} \), और \( \sqrt[4]{81} \) जैसे पूर्ण मूल मान निकालें करें।
पूर्ण घात गुणनखंड करके मूलांक सरल करें करें (उदाहरण: \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \))।
मूलांक और परिमेय घातांक के बीच convert करें: \( a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m} \) (वास्तविक संख्याएँ: \(n\) even हो तो \(a\ge 0\) मानें)।
ऋणात्मक घातांक सहित घातांक नियम उपयोग करें: \(a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}\) के लिए \(a\ne 0\)।
\( (\sqrt{a})^2=a \) (के लिए \(a\ge 0\)) और \( \sqrt{a^2}=|a| \) में फर्क करें।
मुख्य शब्दावली
मूलांक: \( \sqrt{a} \) या \( \sqrt[n]{a} \) जैसा व्यंजक।
Index: \( \sqrt[n]{a} \) में \(n\) (वर्ग मूल के लिए default \(2\))।
Rविज्ञापनicand: मूलांक के अंदर की संख्या/व्यंजक (यानी \(a\))।
मुख्य वर्गमूल: अऋणात्मक संख्या का अऋणात्मक वर्ग मूल।
पूर्ण वर्ग / पूर्ण घन: ऐसी संख्या जो किसी integer का exact वर्ग/घन हो।
परिमेय घातांक: भिन्न के रूप में लिखा घातांक, जैसे \(m/n\)।
त्वरित पूर्व-जांच
पूर्व-जांच 1: \(49\) का principal वर्ग मूल क्या है?
संकेत: मुख्य वर्गमूल वह अऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग 49 है।
पूर्व-जांच 2: \(a>0\) के लिए \(a^{1/3}\) क्या दर्शाता है?
संकेत: Fractional घातांक सीधे nवाँ मूल से जुड़ता है।
वर्ग मूल
वर्ग मूल और principal मूल
सीखने का लक्ष्य: वर्ग मूल मान निकालें करें और समझें कि \( \sqrt{a} \) का अर्थ अऋणात्मक मूल क्यों है।
मुख्य विचार
के लिए \(a\ge 0\), व्यंजक \( \sqrt{a} \) principal वर्ग मूल है: unique संख्या \(r\ge 0\) such thपर \(r^2=a\)। पूर्ण वर्ग खासतौर पर तेज हैं क्योंकि वे पूर्ण संख्याएँ के वर्ग होते हैं।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt{289} \) मान निकालें करें।
क्योंकि \(17^2=289\), principal वर्ग मूल है: \[ \sqrt{289}=17. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \( \sqrt{225} \) क्या है?
संकेत: \(15^2=225\)।
खुद कोशिश 2: \( \sqrt{36} \) क्या है?
संकेत: मुख्य वर्गमूल अऋणात्मक होता है।
सारांश
\(\sqrt{a}\) का अर्थ वह अऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग \(a\) है।
पूर्ण वर्ग तेज मान निकालें होते हैं क्योंकि वे integers के exact वर्ग होते हैं।
घन और Fourth मूल
घन मूल, fourth मूल, और nवाँ मूल
सीखने का लक्ष्य: घन मूल और fourth मूल मान निकालें करें, और समझें कि nवाँ मूल कब वास्तविक होते हैं।
मुख्य विचार
\(a\) का nवाँ मूल \( \sqrt[n]{a} \) लिखा जाता है। odd \(n\) के लिए, \( \sqrt[n]{a} \) किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए वास्तविक होता है। even \(n\) के लिए, \( \sqrt[n]{a} \) तभी वास्तविक है जब \(a\ge 0\)।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt[4]{81} \) मान निकालें करें।
क्योंकि \(3^4=81\), हमारे पास है: \[ \sqrt[4]{81}=3. \]
\(\sqrt[3]{a}\) (घन मूल) किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए वास्तविक होता है।
even \(n\) के लिए \(\sqrt[n]{a}\) तभी वास्तविक होता है जब \(a\ge 0\)।
मूलांक सरल करें करना
मूलांक व्यंजक सरल करें करें
सीखने का लक्ष्य: पूर्ण घात गुणनखंड करके मूलांक सरल करें करें और उत्तर को simplified मूलांक रूप में लिखें।
मुख्य विचार
वर्ग मूल सरल करें करने के लिए विकर्ण्य को गुणनखंड करें ताकि पूर्ण वर्ग बाहर निकाले जा सकें: \[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\quad \text{for } a\ge 0,\; b\ge 0. \] Simplified वर्ग मूल में मूलांक के अंदर कोई पूर्ण-वर्ग गुणनखंड नहीं बचता।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt{72} \) सरल करें करें।
सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर गुणनखंड करें: \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \( \sqrt{50} \) का simplified रूप कौन सा है?
संकेत: पहले सरल करें करें: \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) और \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)।
सारांश
मूलांक सरल करें करने के लिए पूर्ण घात बाहर गुणनखंड करें।
समान मूलांक को सरल करें करने के बाद ही जोड़ें: \(a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}\)।
परिमेय घातांक
मूलांक as परिमेय घातांक
सीखने का लक्ष्य: मूलांक को परिमेय घातांक से rewrite करें और fractional तथा ऋणात्मक घातांक वाले व्यंजक मान निकालें करें।
मुख्य विचार
परिमेय घातांक मूल लिखने का दूसरा तरीका हैं: \[ a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}. \] वास्तविक संख्याएँ के लिए, \(n\) even हो तो \(a\ge 0\) मानें। ऋणात्मक घातांक reciprocals दर्शाते हैं: \[ a^{-k}=\frac{1}{a^k}\quad (a\ne 0). \]
संकेत: \(125^{4/3}=(\sqrt[3]{125})^4\) और \(\sqrt[3]{125}=5\)।
खुद कोशिश 2: \(8^{-2/3}\) क्या है?
संकेत: \(8^{-2/3}=(\sqrt[3]{8})^{-2}=2^{-2}\)।
सारांश
\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) घातांक और मूलांक को जोड़ता है।
ऋणात्मक घातांक reciprocals दर्शाते हैं: \(a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}\) के लिए \(a\ne 0\)।
संक्रियाएँ और सरल करें
मूल जोड़ें और सावधानी से सरल करें करें
सीखने का लक्ष्य: अलग-अलग मूल मिलाने वाले व्यंजक मान निकालें और सरल करें करें, और चरण-दर-चरण काम करके परिणाम जांचें।
मुख्य विचार
मिश्रित व्यंजक में भरोसेमंद रणनीति है: (1) पूर्ण मूल मान निकालें करें, (2) बचे हुए मूलांक सरल करें करें, फिर (3) अंकगणितीय करें। उदाहरण: \( \sqrt{81}+\sqrt{25}=9+5=14 \)।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt{121}-\sqrt{100} \) मान निकालें करें।
पहले पूर्ण मूल मान निकालें करें, फिर सरल करें और गणना करें करें।
अलग-अलग मूल का प्रकारs मिलाने से बचने के लिए चरण-दर-चरण काम करें।
सबको साथ रखना
मूल, घातांक, और आम pitfalls
सीखने का लक्ष्य: मूल और घातांक नियम साथ उपयोग करें और सामान्य mistake \( \sqrt{a^2}=a \) से बचें (असल में यह \( |a| \) है)।
मुख्य विचार
दो सर्वसमिकाएँ समान दिखती हैं लेकिन अर्थ अलग है: \[ (\sqrt{a})^2=a \quad (\text{for } a\ge 0), \] \[ \sqrt{a^2}=|a| \quad (\text{for any वास्तविक } a). \] निरपेक्ष मान इसलिए आता है क्योंकि principal वर्ग मूल हमेशा अऋणात्मक होता है।
खुद कोशिश 1: एक वर्ग का क्षेत्रफल \(144\) है। उसकी side लंबाई क्या है?
संकेत: Side लंबाई \(\sqrt{\text{क्षेत्रफल}}\) है।
रोचक तथ्य (थोड़ा इतिहास)
शब्द मूलबिंदु: "मूलांक" शब्द मूल से आया है, लैटिन में जिसका अर्थ "मूल" है।
चिह्न: मूलांक चिह्न \( \sqrt{\phantom{x}} \) ऐतिहासिक रूप से "मूल" के stylized "r" से जुड़ा है।
Big idea: परिमेय घातांक और मूलांक वही concept हैं, बस दो अलग (और उपयोगी) तरीकों से लिखे गए।
खुद कोशिश 2: कौन सा व्यंजक वास्तविक संख्या है?
संकेत: Odd मूल (जैसे घन मूल) ऋणात्मक inputs ले सकते हैं और वास्तविक रहते हैं।
अंतिम सारांश
मुख्य वर्गमूल: के लिए \(a\ge 0\), \(\sqrt{a}\ge 0\)।
nवाँ मूल: \(\sqrt[n]{a}\) odd \(n\) और किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए वास्तविक है; even \(n\) के लिए \(a\ge 0\) चाहिए।
पूर्ण घात गुणनखंड करके मूलांक सरल करें करें: \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)।
परिमेय घातांक: \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) (वास्तविक संख्याएँ: \(n\) even हो तो \(a\ge 0\) मानें)।
ऋणात्मक घातांक: \(a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}\) के लिए \(a\ne 0\)।
Important तत्समक: \(\sqrt{a^2}=|a|\)।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस मूल या घातांक नियम की जरूरत हो उस पृष्ठ को दोहराएं।
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