चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ मूल और मूलांक अभ्यास क्विज़
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से मूल और मूलांक का अभ्यास करें: वर्ग मूल, घन मूल, और nवाँ मूल निकालना, मूलांक व्यंजक सरल करना, मूलांक को परिमेय घातांक के रूप में फिर से लिखना, और घातांक नियम (जिनमें ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक शामिल हैं) लागू करना। दोहराना हो तो हल किए हुए उदाहरण और छोटी जाँचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह मूल और मूलांक अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए मूल और मूलांक प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): मूल, मूलांक, परिमेय घातांक, और सामान्य सरलीकरण पैटर्न दोहराएं।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और मूल नियम तथा घातांक नियम तुरंत लागू करें।
मूल और मूलांक पाठ में आप क्या सीखेंगे
बुनियाद और शब्दावली
मूलांक चिह्न \( \sqrt{\phantom{x}} \), सूचकांक \(n\), और विकर्ण्य
मुख्य वर्गमूल: \( \sqrt{49}=7 \) (नहीं \( \pm 7 \))
पूर्ण वर्ग और घन (मूल का तेज मान निकालना)
मूल जल्दी निकालें
पूर्ण घातों के वर्ग मूल, घन मूल, और चौथे मूल
nवाँ मूल: \( \sqrt[n]{a} \) और परिणाम वास्तविक कब होते हैं
जाँचें करें कि उत्तर को वापस वर्ग/घन करने पर अर्थ बनता है
मूलांक व्यंजक सरल करें करें
पूर्ण घात बाहर गुणनखंड करें: \( \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2} \)
गुणनफल/भागफल नियम (सम मूलों के लिए अऋणात्मक विकर्ण्य के साथ)
समान मूलांक: पदों को केवल तब जोड़ें जब विकर्ण्य समान हों
परिमेय घातांक और घातांक नियम
रूपांतरण: \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) (वास्तविक संख्याएँ: \(n\) सम हो तो \(a\ge 0\) मानें)
ऋणात्मक घातांक: \(a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}\) के लिए \(a? 0\)
उद्देश्य:मूल और मूलांक की स्पष्ट समझ बनाएँ और मूलांकों को सरल करने तथा मूलांक और परिमेय घातांक के बीच बदलने के भरोसेमंद नियम सीखें।
सफलता मानदंड
\( \sqrt[n]{a} \) में सूचकांक और विकर्ण्य पहचानें।
मुख्य वर्गमूल का अर्थ उपयोग करें: \( \sqrt{a} \ge 0 \) जब \(a\ge 0\)।
\( \sqrt{289} \), \( \sqrt[3]{8} \), और \( \sqrt[4]{81} \) जैसे पूर्ण मूल निकालें।
पूर्ण घात गुणनखंड करके मूलांक सरल करें (उदाहरण: \( \sqrt{72}=6\sqrt{2} \))।
मूलांक और परिमेय घातांक के बीच रूपांतरण करें: \( a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m} \) (वास्तविक संख्याएँ: \(n\) सम हो तो \(a\ge 0\) मानें)।
ऋणात्मक घातांक सहित घातांक नियम उपयोग करें: \(a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}\) जब \(a? 0\)।
\( (\sqrt{a})^2=a \) (जब \(a\ge 0\)) और \( \sqrt{a^2}=|a| \) में फर्क करें।
मुख्य शब्दावली
मूलांक: \( \sqrt{a} \) या \( \sqrt[n]{a} \) जैसा व्यंजक।
सूचकांक: \( \sqrt[n]{a} \) में \(n\) (वर्ग मूल के लिए सामान्यतः \(2\))।
विकर्ण्य: मूलांक के अंदर की संख्या/व्यंजक (यानी \(a\))।
मुख्य वर्गमूल: अऋणात्मक संख्या का अऋणात्मक वर्ग मूल।
पूर्ण वर्ग / पूर्ण घन: ऐसी संख्या जो किसी पूर्णांक का ठीक-ठीक वर्ग/घन हो।
परिमेय घातांक: भिन्न के रूप में लिखा घातांक, जैसे \(m/n\)।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: \(49\) का मुख्य वर्गमूल क्या है?
संकेत: मुख्य वर्गमूल वह अऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग 49 है।
पूर्व-जाँच 2: \(a>0\) के लिए \(a^{1/3}\) क्या दर्शाता है?
संकेत: भिन्नात्मक घातांक सीधे nवें मूल से जुड़ता है।
वर्ग मूल
वर्ग मूल और मुख्य मूल
सीखने का लक्ष्य: वर्ग मूल मान निकालें करें और समझें कि \( \sqrt{a} \) का अर्थ अऋणात्मक मूल क्यों है।
मुख्य विचार
\(a\ge 0\) के लिए, व्यंजक \( \sqrt{a} \) मुख्य वर्गमूल है: वह अद्वितीय संख्या \(r\ge 0\) जिसके लिए \(r^2=a\)। पूर्ण वर्ग खासतौर पर तेज होते हैं क्योंकि वे पूर्ण संख्याओं के वर्ग होते हैं।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt{289} \) मान निकालें करें।
क्योंकि \(17^2=289\), मुख्य वर्गमूल है: \[ \sqrt{289}=17. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \( \sqrt{225} \) क्या है?
संकेत: \(15^2=225\)।
खुद कोशिश 2: \( \sqrt{36} \) क्या है?
संकेत: मुख्य वर्गमूल अऋणात्मक होता है।
सारांश
\(\sqrt{a}\) का अर्थ वह अऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग \(a\) है।
पूर्ण वर्गों का मान जल्दी निकलता है क्योंकि वे पूर्णांकों के ठीक-ठीक वर्ग होते हैं।
घन और चौथे मूल
घन मूल, चौथा मूल, और nवाँ मूल
सीखने का लक्ष्य: घन मूल और चौथे मूल निकालें, और समझें कि nवाँ मूल कब वास्तविक होते हैं।
मुख्य विचार
\(a\) का nवाँ मूल \( \sqrt[n]{a} \) लिखा जाता है। विषम \(n\) के लिए, \( \sqrt[n]{a} \) किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए वास्तविक होता है। सम \(n\) के लिए, \( \sqrt[n]{a} \) तभी वास्तविक है जब \(a\ge 0\)।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt[4]{81} \) मान निकालें करें।
क्योंकि \(3^4=81\), हमारे पास है: \[ \sqrt[4]{81}=3. \]
\(\sqrt[3]{a}\) (घन मूल) किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए वास्तविक होता है।
सम \(n\) के लिए \(\sqrt[n]{a}\) तभी वास्तविक होता है जब \(a\ge 0\)।
मूलांक सरल करना
मूलांक व्यंजक सरल करें करें
सीखने का लक्ष्य: पूर्ण घात गुणनखंड करके मूलांक सरल करें और उत्तर को सरल मूलांक रूप में लिखें।
मुख्य विचार
वर्ग मूल सरल करने के लिए विकर्ण्य को गुणनखंड करें ताकि पूर्ण वर्ग बाहर निकाले जा सकें: \[ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\quad \text{for } a\ge 0,\; b\ge 0. \] सरल वर्ग मूल में मूलांक के अंदर कोई पूर्ण-वर्ग गुणनखंड नहीं बचता।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt{72} \) सरल करें करें।
सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग बाहर गुणनखंड करें: \[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\sqrt{2}=6\sqrt{2}. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \( \sqrt{50} \) का सरल रूप कौन सा है?
संकेत: \(125^{4/3}=(\sqrt[3]{125})^4\) और \(\sqrt[3]{125}=5\)।
खुद कोशिश 2: \(8^{-2/3}\) क्या है?
संकेत: \(8^{-2/3}=(\sqrt[3]{8})^{-2}=2^{-2}\)।
सारांश
\(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) घातांक और मूलांक को जोड़ता है।
ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम दर्शाते हैं: \(a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}\) जब \(a? 0\)।
संक्रियाएँ और सरल करें
मूल जोड़ें और सावधानी से सरल करें करें
सीखने का लक्ष्य: अलग-अलग मूल मिलाने वाले व्यंजक मान निकालें और सरल करें करें, और चरण-दर-चरण काम करके परिणाम जाँचें।
मुख्य विचार
मिश्रित व्यंजक में भरोसेमंद रणनीति है: (1) पूर्ण मूल मान निकालें करें, (2) बचे हुए मूलांक सरल करें करें, फिर (3) अंकगणितीय करें। उदाहरण: \( \sqrt{81}+\sqrt{25}=9+5=14 \)।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \( \sqrt{121}-\sqrt{100} \) मान निकालें करें।
पहले पूर्ण मूल निकालें, फिर सरल करें और गणना करें।
अलग-अलग मूल प्रकारों को गड़बड़ाने से बचने के लिए चरण-दर-चरण काम करें।
सबको साथ रखना
मूल, घातांक, और आम गलतियाँ
सीखने का लक्ष्य: मूल और घातांक नियम साथ उपयोग करें और सामान्य गलती \( \sqrt{a^2}=a \) से बचें (असल में यह \( |a| \) है)।
मुख्य विचार
दो सर्वसमिकाएँ समान दिखती हैं लेकिन अर्थ अलग है: \[ (\sqrt{a})^2=a \quad (\text{for } a\ge 0), \] \[ \sqrt{a^2}=|a| \quad (\text{for any वास्तविक } a). \] निरपेक्ष मान इसलिए आता है क्योंकि मुख्य वर्गमूल हमेशा अऋणात्मक होता है।
खुद कोशिश 1: एक वर्ग का क्षेत्रफल \(144\) है। उसकी भुजा की लंबाई क्या है?
संकेत: भुजा की लंबाई \(\sqrt{\text{क्षेत्रफल}}\) है।
रोचक तथ्य (थोड़ा इतिहास)
शब्द मूल: "मूलांक" शब्द radix से जुड़ा है, जिसका लैटिन में अर्थ "मूल" है।
चिह्न: मूलांक चिह्न \( \sqrt{\phantom{x}} \) ऐतिहासिक रूप से "मूल" के लिए शैलीकृत "r" से जोड़ा जाता है।
मुख्य विचार: परिमेय घातांक और मूलांक एक ही अवधारणा हैं, बस दो अलग (और उपयोगी) तरीकों से लिखे जाते हैं।
खुद कोशिश 2: कौन सा व्यंजक वास्तविक संख्या है?
संकेत: विषम मूल (जैसे घन मूल) ऋणात्मक इनपुट ले सकते हैं और वास्तविक रहते हैं।
अंतिम सारांश
मुख्य वर्गमूल: \(a\ge 0\) के लिए, \(\sqrt{a}\ge 0\)।
nवाँ मूल: \(\sqrt[n]{a}\) विषम \(n\) और किसी भी वास्तविक \(a\) के लिए वास्तविक है; सम \(n\) के लिए \(a\ge 0\) चाहिए।
पूर्ण घात गुणनखंड करके मूलांक सरल करें: \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)।
परिमेय घातांक: \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\) (वास्तविक संख्याएँ: \(n\) सम हो तो \(a\ge 0\) मानें)।
ऋणात्मक घातांक: \(a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}\) जब \(a? 0\)।
महत्वपूर्ण सर्वसमिका: \(\sqrt{a^2}=|a|\)।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस मूल या घातांक नियम की जरूरत हो उस पृष्ठ को दोहराएं।
अभ्यास सेट
मूल एवं मूलचिह्न अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{4}\) क्या है?
सही उत्तर: B. \(2\)
व्याख्या: 4 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 4 देता है: \(2\)।
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
\(27^{2/3}\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(9\)
व्याख्या: परिमेय घातांक के नियम का उपयोग करें: \(27^{2/3} = (27^{1/3})^2 = 3^2 = 9\)।
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{1}\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(1\)
व्याख्या: 1 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 1 देता है: \(1\)।
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{9}\) क्या है?
सही उत्तर: A. \(3\)
व्याख्या: 9 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 9 देता है: \(3\)।
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{16}\) क्या है?
सही उत्तर: A. \(4\)
व्याख्या: 16 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 16 देता है: \(4\)।
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{25}\) क्या है?
सही उत्तर: B. \(5\)
व्याख्या: 25 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 25 देता है: \(5\)।
प्रश्न 7उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{36}\) क्या है?
सही उत्तर: C. \(6\)
व्याख्या: 36 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 36 देता है: \(6\)।
प्रश्न 8उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{49}\) क्या है?
सही उत्तर: B. \(7\)
व्याख्या: 49 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 49 देता है: \(7\)।
प्रश्न 9उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt{64}\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(8\)
व्याख्या: 64 का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग 64 देता है: \(8\)।
प्रश्न 10उत्तर नहीं दिया
\(\sqrt[3]{8}\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(2\)
व्याख्या: 8 का घनमूल वह संख्या है जिसका घन 8 देता है: \(2\)।
