सममित और हर्मिशियन मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रल आँकड़े वास्तविक होते हैं

मुख्य विचार

वास्तविक आंतरिक-गुणनफल स्थान में मुख्य शर्त \(A^T=A\) है। सम्मिश्र आंतरिक-गुणनफल स्थान में मिलती-जुलती शर्त \(A^*=A\) है, जहाँ \(A^*\) संयुग्म ट्रांसपोज है। ये स्व-सहलग्न शर्तें स्वमानों को वास्तविक बनाती हैं और संचालक को लंब दिशाओं में खिंचाव जैसा व्यवहार देती हैं।

पहचान जाँच-सूची

• पहले जाँचें कि मैट्रिक्स वर्ग है।
• वास्तविक स्थिति: विकर्ण के आर-पार प्रविष्टियाँ मिलाएँ, यानी \(a_{ij}=a_{ji}\)।
• सम्मिश्र स्थिति: \(a_{ij}\) की तुलना \(\overline{a_{ji}}\) से करें।
• यदि शर्त पूरी हो, तो सामान्य आधार-परिवर्तन मैट्रिक्स के बजाय परस्पर लंब एकक स्वसदिश-आधार खोजें।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएँ

भिन्न स्वमान लंब स्वस्थान देते हैं

मुख्य विचार

यदि \(Au=\lambda u\) और \(Av=\mu v\), तो सममिति से \(\langle Au,v\rangle=\langle u,Av\rangle\) मिलता है। इसलिए \(\lambda\langle u,v\rangle=\mu\langle u,v\rangle\)। जब \(\lambda≠\mu\), तो इससे \(\langle u,v\rangle=0\) बाध्य होता है।

दोहराए गए स्वमान

• भिन्न स्वस्थान अपने-आप लंब होते हैं।
• एक ही दोहराए गए स्वमान के स्वस्थान के भीतर सदिश अपने-आप लंब नहीं होते।
• दोहराए गए स्वस्थान के भीतर परस्पर लंब एकक आधार चुनने के लिए ग्राम-श्मिट का उपयोग करें।
• सभी स्वस्थानों में ऐसे आधारों को मिलाने से प्रमेय द्वारा दिया गया परस्पर लंब एकक स्वसदिश-आधार मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएँ

स्वसदिशों को \(Q\) में और स्वमानों को \(D\) में रखें

मुख्य विचार

वास्तविक सममित मैट्रिक्स के लिए परस्पर लंब एकक स्वसदिश \(q_1,\dots,q_n\) चुनें। \(Q\) के स्तंभ ये सदिश हों और \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) हो। तब \(AQ=QD\), इसलिए \(A=QDQ^T\)। सम्मिश्र हर्मिशियन स्थिति में रूप \(A=UDU^*\) है।

सूत्र संबंधी टिप्पणियाँ

• \(D\) की विकर्ण प्रविष्टियाँ स्वमान हैं, बहुलता सहित।
• \(Q\) के स्तंभ उनसे मेल खाते एकक स्वसदिश हैं।
• लंबकोणीय का अर्थ \(Q^TQ=I\) है, इसलिए \(Q^{-1}=Q^T\)।
• स्वसदिशों का क्रम बदलने से विकर्ण प्रविष्टियों का क्रम बदल सकता है, पर संचालक नहीं बदलता।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएँ

सममित मैट्रिक्स लंबकोणीय प्रक्षेपणों का भारित योग है

मुख्य विचार

\(A=QDQ^T\) में स्तंभ \(q_i\) हों, तो गुणनफल फैलाने से \[A=\sum_i \lambda_i q_iq_i^T.\] मिलता है। हर \(q_iq_i^T\) एक एकक स्वरैखा पर प्रक्षेप करता है, और \(\lambda_i\) बताता है कि \(A\) उस दिशा को कितना खींचता है।

स्पेक्ट्रल आँकड़े

• \(\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i\)।
• \(\det A=\prod_i\lambda_i\)।
• \(\operatorname{rank}A\) अशून्य स्वमानों की संख्या है।
• \(A^k=QD^kQ^T\), इसलिए \(A^k\) के स्वमान \(\lambda_i^k\) हैं।
• यदि सभी \(\lambda_i≠0\), तो \(A^{-1}=QD^{-1}Q^T\)।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएँ

स्वमानों के चिह्न \(x^TAx\) का वर्गीकरण करते हैं

मुख्य विचार

यदि \(A=QDQ^T\) और \(y=Q^Tx\), तो \[x^TAx=y^TDy=\sum_i\lambda_i y_i^2.\] क्योंकि \(Q\) लंबाइयाँ बचाए रखता है, स्वमानों के चिह्न तय करते हैं कि द्विघात रूप धनात्मक, ऋणात्मक, अर्ध-निश्चित या अनिश्चित है।

निश्चितता परीक्षण

• सभी स्वमान धनात्मक: धनात्मक निश्चित।
• सभी स्वमान अनऋणात्मक और कम-से-कम एक शून्य: धनात्मक अर्ध-निश्चित, पर निश्चित नहीं।
• सभी स्वमान ऋणात्मक: ऋणात्मक निश्चित।
• सभी स्वमान अधनात्मक और कम-से-कम एक शून्य: ऋणात्मक अर्ध-निश्चित, पर निश्चित नहीं।
• कम-से-कम एक धनात्मक और कम-से-कम एक ऋणात्मक स्वमान: अनिश्चित।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएँ

प्रक्षेपण और रेली भागफल स्पेक्ट्रल उदाहरण हैं

मुख्य विचार

सममित प्रक्षेपण \(P\), \(P^2=P\) और \(P^T=P\) संतुष्ट करता है। यदि \(Pv=\lambda v\), तो \(P^2v=Pv\) से \(\lambda^2=\lambda\) मिलता है, इसलिए \(\lambda\) या तो \(0\) है या \(1\)। स्पेक्ट्रल प्रमेय कहता है कि स्थान प्रक्षेपण के परास और नाभिक में लंब रूप से विभाजित होता है।

संचालक दृष्टि

• सममित प्रक्षेपणों का विकर्ण रूप होता है जिसमें विकर्ण पर केवल \(0\) और \(1\) होते हैं।
• सममित प्रक्षेपण का अनुरेख उसकी रैंक के बराबर होता है।
• सममित \(A\) का रेली भागफल सबसे छोटे और सबसे बड़े स्वमान के बीच रहता है।
• सममित \(A\) का संचालक मानक \(\max_i|\lambda_i|\) है।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएँ

अधिकांश गलतियाँ परिकल्पनाओं या आधार को अनदेखा करती हैं

सामान्य भूलें

• विकर्णनीय होना पर्याप्त नहीं: प्रमेय को परस्पर लंब एकक स्वसदिश-आधार के लिए स्व-सहलग्न संरचना चाहिए।
• सममित बनाम विषम-सममित: \(A^T=A\), न कि \(A^T=-A\)।
• दोहराए गए स्वमान: आपको एक स्वस्थान के भीतर लंब-प्रसामान्यीकरण करना पड़ सकता है।
• क्रम का मिलान: \(D\) की हर विकर्ण प्रविष्टि \(Q\) के संबंधित स्तंभ से मेल खानी चाहिए।
• निश्चितता: शून्य स्वमान अर्ध-निश्चितता देते हैं, निश्चितता नहीं।
• प्रक्षेपण मैट्रिक्स: \(P^2=P\) प्रक्षेपण देता है; \(P^T=P\) यूक्लिडीय स्थान में लंबकोणीय प्रक्षेपण देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

स्वयं आजमाएँ

अंतिम सार

• वास्तविक सममित का अर्थ \(A^T=A\) है; हर्मिशियन का अर्थ \(A^*=A\) है।
• स्व-सहलग्न मैट्रिक्स के स्वमान वास्तविक होते हैं।
• भिन्न स्वस्थान लंब होते हैं।
• दोहराए गए स्वस्थानों में परस्पर लंब एकक आधार चुने जा सकते हैं।
• वास्तविक सममित मैट्रिक्स \(A=QDQ^T\) संतुष्ट करते हैं, जहाँ \(Q\) लंबकोणीय है।
• स्पेक्ट्रल अपघटन \(A=\sum_i\lambda_i q_iq_i^T\) है।
• अनुरेख, निर्धारक, रैंक, घातें और व्युत्क्रमणीयता स्वमानों से पढ़ी जाती हैं।
• एकक स्वसदिश \(q\) के लिए रेली भागफल \(q^TAq=\lambda\) देता है।
• द्विघात रूप की निश्चितता स्वमानों के चिह्नों से नियंत्रित होती है।
• सममित प्रक्षेपणों के स्वमान \(0\) और \(1\) होते हैं।