Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Aplikasi Integral - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Aplikasi integral dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih aplikasi integral — keterampilan "pemakaian nyata" terpenting dari Kalkulus: luas di bawah kurva dan integral tentu \(\int_a^b f(x)\,dx\) sebagai akumulasi netto atau total, luas antara kurva memakai atas dikurangi bawah (atau kanan dikurangi kiri), volume benda putar dengan metode cakram dan metode cincin terhadap sumbu \(x\) atau sumbu \(y\), metode kulit tabung untuk rotasi ketika metode cincin kurang nyaman, dan luas permukaan putar memakai faktor panjang busur seperti \(\sqrt{1+(f'(x))^2}\). Anda akan belajar cara mensketsa daerah, menemukan titik potong, memilih batas yang benar, dan menulis penyusunan integral yang benar dengan jari-jari, tinggi, dan satuan yang tepat. Jika ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Cara kerja latihan aplikasi integral ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal luas, volume, dan luas permukaan di awal halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau luas di bawah kurva, luas antara kurva, metode volume cakram/cincin/kulit, dan luas permukaan putar.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan langsung susun rumus integral yang benar.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran aplikasi integral
Luas dengan integral tentu
Luas di bawah kurva ketika \(f(x)\ge 0\): \(\displaystyle A=\int_a^b f(x)\,dx\)
Luas total vs luas netto ketika fungsi memotong sumbu
Luas antara kurva: \(\displaystyle A=\int_a^b(\text@@P2@@-\text@@P3@@)\,dx\)
volume: metode cakram dan cincin
Metode cakram (daerah penuh): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx\)
Metode cincin (ada lubang): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\)
Putar terhadap sumbu \(x\) atau sumbu \(y\) dengan jari-jari dan batas yang benar
volume: kulit tabung
Metode kulit: \(\displaystyle V=2\pi\int (\text@@P2@@)(\text\(dy\))\,dx\) atau \(dy\)
Gunakan kulit saat memutar terhadap sumbu \(y\) dengan irisan \(x\) (atau ketika cincin mengharuskan menyelesaikan \(x\) terhadap \(y\))
Tetapkan jari-jari sebagai jarak ke sumbu rotasi, tinggi sebagai selisih kurva
Luas permukaan dan keterampilan penyusunan
Luas permukaan putar: \(\displaystyle S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\)
Cari titik potong dengan menyelesaikan persamaan seperti \(2x=x^2\)
Selalu periksa satuan: luas dalam satuan persegi, volume dalam satuan kubik
Kembali ke kuis
Saat siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih aplikasi integral.
โญโญโญโญโญโญ
๐
Aplikasi integral
Panduan langkah demi langkah
Ketuk untuk membuka ->
Memuat...
Pelajaran Aplikasi integral
1 / 8
Ikhtisar Pelajaran
Ikhtisar pelajaran
Tujuan: Kuasai aplikasi integral yang muncul di setiap mata kuliah Kalkulus: luas di bawah kurva, luas antara kurva, volume benda putar memakai metode cakram dan metode cincin, kulit tabung, dan luas permukaan putar. Anda akan belajar cara mensketsa daerah, memilih sumbu rotasi yang benar, menghitung jari-jari/tinggi yang benar, mencari titik potong untuk batas, dan menulis penyusunan integral yang benar dengan satuan.
Kriteria keberhasilan
Menghitung luas di bawah kurva untuk \(f(x)\ge 0\) memakai \(\displaystyle A=\int_a^b f(x)\,dx\).
Membedakan luas netto (integral bertanda) dari luas total (jumlah luas positif) ketika grafik memotong sumbu.
Menghitung luas antara kurva memakai \(\displaystyle A=\int_a^b(\text@@P38@@-\text@@P39@@)\,dx\) (atau \(\text@@P40@@-\text@@P41@@\) dengan \(dy\)).
Menyusun volume metode cakram: \(\displaystyle V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx\).
Menyusun volume metode cincin: \(\displaystyle V=\pi\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\).
Menyusun volume metode kulit: \(\displaystyle V=2\pi\int (\text@@P42@@)(\text@@P43@@)\,dx\) atau \(dy\).
Menghitung luas permukaan putar: \(\displaystyle S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\) (terhadap sumbu \(x\) saat \(f(x)\ge 0\)).
Mencari batas yang benar dengan menyelesaikan titik potong seperti \(2x=x^2\) dan memeriksa daerahnya.
Memeriksa satuan: luas dalam satuan persegi, volume dalam satuan kubik, luas permukaan dalam satuan persegi.
Kosakata kunci
integral tentu: \(\int_a^b f(x)\,dx\), mewakili luas bertanda netto atau akumulasi pada \([a,b]\).
Luas antara kurva: \(\int_a^b(\text@@P24@@-\text@@P25@@)\,dx\) saat memakai irisan vertikal.
Metode cakram/cincin: volume dari memutar penampang yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi.
Metode kulit: volume dari memutar kulit tabung (sering nyaman untuk rotasi terhadap sumbu \(y\) dengan \(dx\)).
Sumbu rotasi: garis tempat Anda memutar (misalnya sumbu \(x\), sumbu \(y\), \(y=c\), \(x=c\)).
Jari-jari / tinggi: jarak yang menentukan setiap cakram/cincin/kulit pada \(x\) atau \(y\) tertentu.
Cek awal cepat
Cek awal 1: Jika \(f(x)\ge 0\) pada \([a,b]\), apa makna \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\)?
Petunjuk: Ketika \(f(x)\ge 0\), integral tentu sama dengan luas geometri di bawah kurva.
Cek awal 2: Apa penyusunan metode cakram untuk memutar \(y=f(x)\ge 0\) terhadap sumbu \(x\) dari \(x=a\) ke \(x=b\)?
Petunjuk: Penampangnya cakram dengan jari-jari \(R=f(x)\), jadi luasnya \(\pi R^2\).
Luas Di Bawah Kurva
Luas di bawah kurva dan makna integral tentu
Tujuan pembelajaran: Gunakan integral tentu untuk menghitung luas di bawah \(y=f(x)\) dan kenali kapan integral mewakili luas netto (bertanda).
Ide utama
integral tentu \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) mengukur akumulasi netto pada \([a,b]\). Secara geometri, ini adalah luas bertanda antara grafik \(y=f(x)\) dan sumbu \(x\):
Luas di atas sumbu \(x\) dihitung positif.
Luas di bawah sumbu \(x\) dihitung negatif.
Jika \(f(x)\ge 0\) pada \([a,b]\), maka integral sama dengan luas biasa (positif): \[ A=\int_a^b f(x)\,dx. \] Jika grafik memotong sumbu dan Anda ingin luas total, pecah interval pada nol dari \(f\) dan jumlahkan luas absolutnya.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari luas di bawah \(y=x^3\) dari \(x=0\) sampai \(x=2\).
Karena \(x^3\ge 0\) pada \([0,2]\), luasnya adalah: \[ A=\int_@@P0@@^@@P1@@ x^3\,dx=\left[\frac{x^4}@@P2@@\right]_@@P3@@^@@P4@@=\frac@@P5@@@@P6@@-0=4. \]
\(\int_a^b f(x)\,dx\) adalah luas/akumulasi netto (bertanda) pada \([a,b]\).
Jika \(f(x)\ge 0\), integral itu sama dengan luas geometri di bawah kurva.
Luas Antara Kurva
Luas antara kurva: atas dikurangi bawah, dengan batas yang benar
Tujuan pembelajaran: Cari titik potong dan hitung luas antara dua grafik memakai \(\text@@P2@@-\text\(\text@@P4@@-\text@@P5@@\)\) (atau \(\text@@P4@@-\text@@P5@@\)).
Ide utama
Untuk mencari luas daerah tertutup antara dua kurva \(y=f(x)\) dan \(y=g(x)\) pada \([a,b]\), sketsa atau bandingkan nilai untuk menentukan mana yang di atas. Lalu gunakan: \[ A=\int_a^b \bigl(\text@@P0@@ - \text@@P1@@\bigr)\,dx. \] Bagian tersulit biasanya memilih batas \(a\) dan \(b\) yang benar. Biasanya batas ditemukan dengan menyelesaikan \(f(x)=g(x)\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari luas antara \(y=2x\) dan \(y=x^2\) dari \(x=0\) sampai \(x=2\).
Pada \([0,2]\), kita punya \(2x \ge x^2\) (keduanya bertemu di \(x=0\) dan \(x=2\)). Jadi atas adalah \(2x\) dan bawah adalah \(x^2\): \[ A=\int_@@P0@@^@@P1@@ (2x-x^2)\,dx =\left[x^2-\frac{x^3}@@P2@@\right]_@@P3@@^@@P4@@ =4-\frac@@P5@@@@P6@@=\frac@@P7@@@@P8@@. \]
Coba
Coba 1: Berapa luas antara \(y=3\) dan \(y=x\) dari \(x=0\) sampai \(x=2\)?
Petunjuk: \(A=\int_0^2 (3-x)\,dx\).
Coba 2: Berapa luas antara \(y=3x\) dan sumbu \(x\) dari \(x=0\) sampai \(x=2\)?
Petunjuk: Luas adalah \(\int_0^2 3x\,dx = \left[\frac{3x^2}@@P0@@\right]_0^2\).
Ringkasan
Luas antara kurva memakai \(\int(\text@@P4@@-\text@@P5@@)\,dx\) pada batas titik potong yang benar.
Sketsa (meskipun cepat) membantu memilih atas/bawah dan menghindari kesalahan tanda.
volume dengan Cakram & Cincin
volume benda putar: metode cakram dan metode cincin
Tujuan pembelajaran: Susun dan hitung volume benda putar memakai cakram dan cincin dengan jari-jari yang benar.
Ide utama
Ketika suatu daerah diputar terhadap sumbu, penampang yang tegak lurus terhadap sumbu itu berbentuk lingkaran. Jika Anda memutar daerah terhadap sumbu \(x\), jari-jari adalah jarak vertikal dari kurva ke sumbu:
Metode cakram (tanpa lubang): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx\)
Metode cincin (ada lubang): \(\displaystyle V=\pi\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\)
Daftar cek yang andal:
Sketsa daerah dan sumbu rotasi.
Tulis \(R(x)\) (jari-jari luar) dan \(r(x)\) (jari-jari dalam) sebagai jarak ke sumbu.
Kuadratkan jari-jari, kurangkan jika perlu, kalikan dengan \(\pi\), lalu integralkan pada batas yang benar.
Contoh dikerjakan
Contoh: Dengan metode cakram, cari volume yang diperoleh dengan memutar daerah di bawah \(y=\sqrt@@P2@@\) dari \(x=0\) sampai \(x=9\) terhadap sumbu \(x\).
Di sini \(R(x)=\sqrt@@P0@@\). Metode cakram: \[ V=\pi\int_@@P1@@^@@P2@@ [\sqrt@@P3@@]^2\,dx =\pi\int_0^9 x\,dx =\pi\left[\frac{x^2}@@P4@@\right]_0^9 =\pi\cdot\frac@@P5@@@@P6@@ =\frac{81\pi}@@P7@@. \]
Coba
Coba 1: Berapa volume yang diperoleh dengan memutar \(y=x\) dari \(x=0\) sampai \(x=1\) terhadap sumbu \(x\)?
Petunjuk: Metode cakram: \(V=\pi\int_0^1 x^2\,dx\).
Coba 2: Berapa volume yang diperoleh dengan memutar \(y=2\) dari \(x=0\) sampai \(x=2\) terhadap sumbu \(x\)?
Petunjuk: Jari-jari adalah \(R=2\). volume adalah \(\pi\int_0^2 2^2\,dx = 4\pi(2)\).
Selalu definisikan jari-jari sebagai jarak ke sumbu rotasi.
Metode Kulit
volume dengan kulit tabung: \(2\pi\int (\text@@P0@@)(\text@@P1@@)\)
Tujuan pembelajaran: Kenali kapan kulit lebih mudah daripada cincin dan susun \(\text@@P2@@\cdot\text@@P3@@\) dengan benar.
Ide utama
Metode kulit memakai kulit tabung alih-alih cakram. penyusunan umum (memutar terhadap sumbu \(y\) dengan irisan vertikal) adalah: \[ V=2\pi\int_a^b (\text@@P2@@)(\text@@P3@@)\,dx. \] Untuk kulit terhadap sumbu \(y\):
jari-jari \(=x\) (jarak dari irisan di \(x\) ke sumbu \(y\)),
tinggi \(=\text@@P8@@-\text@@P9@@\) (panjang vertikal daerah pada \(x\) itu).
Kulit sering paling baik saat memutar terhadap sumbu \(y\) tetapi fungsi Anda ditulis sebagai \(y=f(x)\), karena cincin dapat mengharuskan menulis ulang \(x\) sebagai fungsi dari \(y\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari volume yang diperoleh dengan memutar daerah di bawah \(y=x^2\) dari \(x=0\) sampai \(x=1\) terhadap sumbu \(y\) memakai kulit.
Memakai kulit (irisan vertikal): \[ V=2\pi\int_@@P0@@^@@P1@@ (\text@@P2@@)(\text@@P3@@)\,dx =2\pi\int_@@P4@@^@@P5@@ x\cdot x^2\,dx =2\pi\int_@@P6@@^@@P7@@ x^3\,dx =2\pi\left[\frac{x^4}@@P8@@\right]_@@P9@@^@@P10@@ =\frac{\pi}@@P11@@. \]
Coba
Coba 1: Apa penyusunan metode kulit untuk memutar daerah di bawah \(y=\sqrt@@P2@@\) dari \(x=0\) sampai \(x=4\) terhadap sumbu \(y\)?
Petunjuk: Untuk kulit terhadap sumbu \(y\): jari-jari \(=x\), tinggi \(=\sqrt@@P0@@\).
Coba 2: Daerah antara \(y=x\) dan \(y=2\) untuk \(0\le x\le 1\) diputar terhadap sumbu \(x\). Integran metode cincin mana yang benar?
Petunjuk: Jari-jari luar \(R=2\), jari-jari dalam \(r=x\), jadi \(\pi(R^2-r^2)\).
Ringkasan
Kulit: \(V=2\pi\int (\text@@P4@@)(\text\(x\))\).
Pilih kulit ketika itu memungkinkan Anda tetap memakai \(x\) (atau \(y\)) tanpa menyelesaikan variabel lain.
Luas Permukaan
Luas permukaan dari permukaan putar
Tujuan pembelajaran: Gunakan rumus luas permukaan dan kenali peran \(\sqrt{1+(f'(x))^2}\).
Ide utama
Saat Anda memutar kurva \(y=f(x)\) terhadap sumbu \(x\), terbentuk permukaan. Luas permukaan diperoleh dengan menggabungkan keliling \(2\pi f(x)\) dengan faktor panjang busur: \[ S=2\pi\int_@@P0@@^@@P1@@ f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] (dengan asumsi \(f(x)\ge 0\) pada \([a,b]\)).
Untuk rotasi terhadap sumbu \(y\), bentuk umum adalah: \[ S=2\pi\int_@@P0@@^@@P1@@ x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] saat memutar \(y=f(x)\) terhadap sumbu \(y\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Dengan integrasi, cari luas permukaan selimut tabung siku-siku berjari-jari \(2\) dan tinggi \(3\).
Pikirkan ruas garis \(y=2\) dari \(x=0\) sampai \(x=3\) diputar terhadap sumbu \(x\). Di sini \(f(x)=2\), sehingga \(f'(x)=0\), dan \(\sqrt{1+(f'(x))^2}=\sqrt@@P0@@=1\). \[ S=2\pi\int_@@P1@@^@@P2@@ 2\cdot 1\,dx =4\pi\int_@@P3@@^@@P4@@ 1\,dx =4\pi(3)=12\pi. \] Ini cocok dengan rumus yang dikenal \(S=2\pi r h = 2\pi(2)(3)=12\pi\).
Coba
Coba 1: Jika \(f(x)=2\) pada \([0,4]\), berapa luas permukaan saat diputar terhadap sumbu \(x\)?
Petunjuk: \(S=2\pi\int_0^4 2\,dx=4\pi(4)\).
Coba 2: Dalam rumus luas permukaan \(S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\), apa makna \(\sqrt{1+(f'(x))^2}\)?
Petunjuk: Diferensial panjang busur adalah \(ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).
Ringkasan
Luas permukaan memakai keliling \(\times\) panjang busur: \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).
Faktor akar berasal dari mengubah \(dx\) menjadi panjang kurva kecil \(ds\).
Kesalahan penyusunan Umum
Kesalahan umum: batas salah, "atas" salah, dan jari-jari salah
Tujuan pembelajaran: Hindari kesalahan paling sering dalam aplikasi integral dengan daftar periksa penyusunan yang konsisten.
Ide utama
Sebagian besar kesalahan dalam aplikasi integral bukan kesalahan aljabar — melainkan kesalahan penyusunan. Gunakan daftar periksa ini sebelum mengintegralkan:
Buat sketsa cepat. Identifikasi daerah dan sumbu rotasi.
Cari batas. Gunakan interval yang diberikan, atau selesaikan titik potong seperti \(f(x)=g(x)\).
Pilih metode. Cakram/cincin untuk irisan tegak lurus; kulit untuk irisan sejajar.
Tulis jari-jari/tinggi sebagai jarak. Jika memutar terhadap \(y=c\), jari-jari adalah \(|f(x)-c|\).
Periksa satuan. Luas \(\to\) satuan persegi, volume \(\to\) satuan kubik.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari volume yang diperoleh dengan memutar \(y=x\) dari \(x=1\) sampai \(x=2\) terhadap sumbu \(x\).
Ini soal metode cakram (daerah di bawah \(y=x\) di atas sumbu \(x\)). Jari-jari \(R(x)=x\). Maka: \[ V=\pi\int_@@P0@@^@@P1@@ x^2\,dx =\pi\left[\frac{x^3}@@P2@@\right]_@@P3@@^@@P4@@ =\pi\left(\frac@@P5@@@@P6@@-\frac@@P7@@@@P8@@\right) =\frac{7\pi}@@P9@@. \]
Coba
Coba 1: Memutar \(y=x+1\) dari \(x=0\) sampai \(x=1\) terhadap sumbu \(x\) (metode cakram). Berapa volume yang benar?
Sebagian besar kesalahan adalah kesalahan penyusunan: batas, atas/bawah, dan definisi jari-jari.
Gunakan sketsa + jari-jari/tinggi berbasis jarak agar integral Anda benar.
Aplikasi & Gambaran Besar
Mengapa aplikasi integral penting
Tujuan pembelajaran: Hubungkan luas/volume/luas permukaan dengan pemodelan dan akhiri dengan cek akhir.
Di mana aplikasi integral muncul
Geometri: luas, volume, dan luas permukaan eksak yang sulit diperoleh hanya dengan rumus.
Fisika: usaha, tekanan fluida, massa dengan kerapatan berubah, dan pusat massa.
Teknik: volume dan luas permukaan untuk desain dan penggunaan material.
Ekonomi: perubahan terakumulasi dan nilai total dari fungsi marginal.
Contoh dikerjakan: "pola" bersih yang dapat Anda gunakan ulang
Contoh: Cari volume yang diperoleh dengan memutar \(y=x^2\) dari \(x=0\) sampai \(x=1\) terhadap sumbu \(x\).
Ini penyusunan metode cakram dengan jari-jari \(R(x)=x^2\): \[ V=\pi\int_@@P0@@^@@P1@@ (x^2)^2\,dx =\pi\int_@@P2@@^@@P3@@ x^4\,dx =\pi\left[\frac{x^5}@@P4@@\right]_@@P5@@^@@P6@@ =\frac{\pi}@@P7@@. \]
Coba
Coba 1: Berapa volume yang diperoleh dengan memutar \(y=\sqrt@@P2@@\) dari \(x=0\) sampai \(x=4\) terhadap sumbu \(x\)?
Luas permukaan: \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\) (terhadap sumbu \(x\)).
penyusunan dulu: sketsa, batas, jarak, lalu integralkan.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan luas/volume/luas permukaan yang Anda butuhkan.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+