Kuis Latihan Proyeksi Ortogonal & Kuadrat Terkecil dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih proyeksi ortogonal dan kuadrat terkecil: vektor terdekat dalam subruang, dekomposisi \(v=p+r\) dengan \(p\in S\) dan \(r\perp S\), proyeksi pada garis, matriks proyeksi dengan \(P^2=P\) dan \(P^T=P\), rumus ruang kolom seperti \(A(A^TA)^{-1}A^T\) ketika \(A\) memiliki rank kolom penuh, persamaan normal \(A^TAx=A^Tb\), ortogonalitas residual, fit konstanta terbaik, dan apa yang berubah ketika \(A^TA\) singular. Buka pelajaran untuk contoh penyelesaian ringkas dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan proyeksi dan kuadrat terkecil ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal tentang proyeksi, residual, matriks proyeksi, persamaan normal, dan fit terbaik.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan pertama-tama tentukan apakah soal meminta vektor terdekat, matriks proyeksi, kondisi residual, atau koefisien kuadrat terkecil.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran proyeksi ortogonal dan kuadrat terkecil
Geometri proyeksi ortogonal
Vektor terdekat: \(\operatorname{proj}_S(v)\) adalah titik unik di \(S\) yang paling dekat dengan \(v\)
Tujuan: Bangun alur kerja yang andal untuk proyeksi dan kuadrat terkecil: uraikan vektor menjadi bagian subruang ditambah galat ortogonal, hitung proyeksi pada garis dan ruang kolom, kenali matriks proyeksi ortogonal, selesaikan persamaan normal, dan ketahui apa yang tetap benar ketika kolom-kolom \(A\) dependen.
Kriteria keberhasilan
Nyatakan dekomposisi ortogonal \(v=p+r\), dengan \(p\in S\) dan \(r\perp S\).
Gunakan rumus garis \(\operatorname{proj}_{\operatorname{span}(u)}(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u\).
Kenali bahwa matriks proyeksi ortogonal memenuhi \(P^2=P\) dan \(P^T=P\).
Gunakan \(QQ^T\) untuk subruang dengan kolom basis ortonormal \(Q\).
Gunakan \(A(A^TA)^{-1}A^T\) ketika \(A\) memiliki rank kolom penuh.
Turunkan kuadrat terkecil dari ortogonalitas residual \(A^T(b-A\hat{x})=0\).
Pisahkan vektor hasil fit \(A\hat{x}\) dari vektor koefisien \(\hat{x}\).
Tangani kasus rank-defisien tanpa mengasumsikan \(A^TA\) dapat diinvers.
Kosakata kunci
Proyeksi: vektor terdekat dalam suatu subruang.
Residual: galat \(r=v-p\) atau \(r=b-A\hat{x}\).
Komplemen ortogonal: \(S^\perp=\{w:w\cdot s=0\text{ for all }s\in S\}\).
Matriks proyeksi: peta linear \(P\) dengan \(P^2=P\); proyeksi ortogonal juga memenuhi \(P^T=P\).
Ruang kolom: semua vektor \(Ax\), yaitu output hasil fit yang mungkin dari \(A\).
Persamaan normal: \(A^TA\hat{x}=A^Tb\), ekuivalen dengan ortogonalitas residual.
Cek awal cepat
Cek awal: Jika \(p=\operatorname{proj}_S(v)\), apa yang benar tentang \(v-p\)?
Petunjuk: Kondisi titik terdekat ekuivalen dengan galat yang tegak lurus terhadap setiap arah di subruang.
Proyeksi berarti bagian subruang ditambah galat tegak lurus
Tujuan pembelajaran: Kenali geometri di balik setiap perhitungan proyeksi dan kuadrat terkecil.
Ide utama
Untuk subruang \(S\) dari ruang hasil kali dalam, setiap vektor \(v\) dapat dipecah sebagai \[v=p+r,\qquad p\in S,\quad r\in S^\perp.\] Vektor \(p\) adalah \(\operatorname{proj}_S(v)\), dan \(r\) adalah residual. Teorema Pythagoras memberi \(\|v-s\|^2=\|r\|^2+\|p-s\|^2\) untuk setiap \(s\in S\), sehingga \(p\) adalah vektor terdekat dalam \(S\).
Daftar cek pengenalan
Identifikasi subruang target \(S\).
Temukan kandidat \(p\in S\).
Periksa \(v-p\perp S\), biasanya dengan dot product terhadap basis \(S\).
Jika kedua kondisi berlaku, \(p\) adalah proyeksinya.
Contoh dikerjakan
Contoh: Proyeksikan \(v=(1,0)\) pada garis \(S=\operatorname{span}((1,1))\).
Vektor pada garis berbentuk \(p=t(1,1)\). Galat \(v-p=(1-t,-t)\) harus ortogonal terhadap \((1,1)\), sehingga \((1-t)+(-t)=0\). Jadi \(1-2t=0\), maka \(t=\tfrac12\) dan \(p=(\tfrac12,\tfrac12)\).
Coba
Coba: Apa proyeksi dari \((1,0)\) pada \(\operatorname{span}((1,1))\)?
Petunjuk: Koefisiennya adalah \(\dfrac{(1,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=\dfrac12\).
Gunakan satu koefisien dot product
Tujuan pembelajaran: Hitung proyeksi garis dengan cepat tanpa keliru menganggap vektor arah memiliki panjang satuan.
Ide utama
Jika \(u≠0\), proyeksi \(v\) pada \(\operatorname{span}(u)\) adalah \[\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{v\cdot u}{u\cdot u}u.\] Jika \(u\) adalah vektor satuan, ini menyederhana menjadi \((v\cdot u)u\).
Catatan rumus
Penyebutnya adalah \(u\cdot u=\|u\|^2\), bukan hanya \(\|u\|\).
Jika \(v\) sudah berada pada garis, proyeksinya adalah \(v\).
Jika \(v\perp u\), proyeksinya adalah \(0\).
Residual \(v-\operatorname{proj}_u(v)\) tegak lurus terhadap \(u\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Proyeksikan \(v=(2,0)\) pada \(\operatorname{span}((1,1))\).
Koefisiennya adalah \(\dfrac{(2,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=\dfrac{2}{2}=1\). Maka proyeksinya adalah \(1(1,1)=(1,1)\).
Coba
Coba: Apa proyeksi \((2,0)\) pada garis yang direntang oleh \((1,1)\)?
Petunjuk: Dot product dengan \((1,1)\) adalah \(2\), dan \((1,1)\cdot(1,1)=2\).
Matriks proyeksi ortogonal bersifat idempoten dan simetris
Tujuan pembelajaran: Kenali matriks proyeksi dari uji aljabar dan baca range, kernel, rank, serta jejak-nya.
Ide utama
Suatu proyeksi memenuhi \(P^2=P\): setelah vektor diproyeksikan, memproyeksikannya lagi tidak mengubah apa pun. Proyeksi itu adalah proyeksi ortogonal tepat ketika residual tegak lurus terhadap range; dalam koordinat standar ini berarti \(P^T=P\).
Uji matriks
\(P^2=P\): proyeksi atau peta idempoten.
\(P^T=P\): proyeksi ortogonal di ruang Euklides.
\(\operatorname{Range}(P)\) adalah subruang target.
\(\ker P\) adalah komplemen ortogonal untuk proyeksi ortogonal.
Nilai eigen hanya \(0\) dan \(1\), sehingga \(\operatorname{tr}P=\operatorname{rank}P\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Proyeksi pada sumbu \(x\) mengirim \((x,y)\) ke \((x,0)\). Sifat apa yang dimiliki matriksnya?
Matriksnya adalah \(\operatorname{diag}(1,0)\). Menerapkannya dua kali memberi matriks yang sama, jadi \(P^2=P\). Matriks itu sama dengan transposenya, jadi \(P^T=P\). Range-nya adalah sumbu \(x\) dan kernelnya adalah sumbu \(y\).
Coba
Coba: Identitas mana yang berlaku untuk setiap matriks proyeksi ortogonal \(P\)?
Petunjuk: Memproyeksikan dua kali tidak mengubah apa pun, dan matriks proyeksi ortogonal bersifat simetris.
Memproyeksikan pada \(\operatorname{Col}(A)\)
Tujuan pembelajaran: Pilih rumus proyeksi yang benar dari kolom-kolom yang Anda miliki.
Ide utama
Jika \(Q\) memiliki kolom ortonormal yang merentang \(S\), maka matriks proyeksi pada \(S\) adalah \(P=QQ^T\). Jika \(A\) memiliki rank kolom penuh tetapi kolomnya tidak harus ortonormal, maka \[P=A(A^TA)^{-1}A^T.\] Kedua rumus menghasilkan vektor terdekat di \(\operatorname{Col}(A)\).
Langkah ruang kolom
Jika kolom-kolomnya ortonormal, gunakan \(QQ^T\).
Jika kolom-kolomnya independen tetapi tidak ortonormal, gunakan \(A(A^TA)^{-1}A^T\).
Jika kolom-kolomnya dependen, reduksi ke basis independen atau gunakan pseudoinverse.
Selalu periksa bahwa output berada di ruang kolom dan residualnya ortogonal terhadap ruang kolom.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(Q\) memiliki satu kolom satuan \(q=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)\). Apa yang dilakukan \(QQ^T\)?
Matriks itu memproyeksikan setiap vektor \((a,b)\) pada garis \(y=x\), menghasilkan \(\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)\). Misalnya, \((2,0)\) dikirim ke \((1,1)\).
Coba
Coba: Jika \(Q\) memiliki kolom ortonormal, apa matriks proyeksi pada \(\operatorname{Col}(Q)\)?
Petunjuk: Kolom ortonormal membuat \(Q^TQ=I\), sehingga rumus lengkap menyederhana.
Kuadrat terkecil adalah proyeksi pada ruang kolom
Tujuan pembelajaran: Terjemahkan sistem tak konsisten \(Ax\approx b\) menjadi masalah proyeksi.
Ide utama
Solusi kuadrat terkecil meminimalkan \(\|b-Ax\|\). Vektor hasil fit \(A\hat{x}\) adalah proyeksi \(b\) pada \(\operatorname{Col}(A)\), sehingga residual \(r=b-A\hat{x}\) ortogonal terhadap setiap kolom \(A\). Ini persis \(A^Tr=0\), atau \(A^TA\hat{x}=A^Tb\).
Fakta persamaan normal
Persamaan normal adalah \(A^TA\hat{x}=A^Tb\).
Jika \(A\) memiliki rank kolom penuh, \(A^TA\) dapat diinvers.
Vektor hasil fit \(A\hat{x}\) adalah proyeksi \(b\) pada \(\operatorname{Col}(A)\).
Residual tegak lurus terhadap setiap kolom \(A\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari fit konstanta terbaik untuk data \(1,3,5\).
Mem-fit konstanta \(c\) berarti memproyeksikan \((1,3,5)\) pada garis yang direntang oleh \((1,1,1)\). Koefisiennya adalah rata-rata \(c=(1+3+5)/3=3\). Residualnya \((-2,0,2)\), yang entri-entrinya berjumlah \(0\), sehingga residual itu ortogonal terhadap arah konstanta.
Coba
Coba: Dalam kuadrat terkecil, residual \(b-A\hat{x}\) ortogonal terhadap ruang mana?
Petunjuk: Persamaan normal menyatakan \(A^T(b-A\hat{x})=0\), sehingga setiap kolom memiliki dot product nol dengan residual.
Ketika koefisien tidak unik, vektor hasil fit tetap unik
Tujuan pembelajaran: Hindari penggunaan rumus invers secara berlebihan ketika kolom-kolom \(A\) dependen.
Ide utama
Jika \(A\) tidak memiliki rank kolom penuh, maka \(A^TA\) singular. Bisa ada banyak vektor koefisien kuadrat terkecil \(\hat{x}\), karena koefisien berbeda dapat memberi vektor hasil fit yang sama. Geometrinya tetap memiliki satu vektor terdekat unik \(p\in\operatorname{Col}(A)\), sehingga \(A\hat{x}=p\) unik.
Fakta rank-defisien
\(A^TA\) dapat diinvers tepat ketika kolom-kolom \(A\) independen.
Persamaan normal tetap mengkarakterisasi peminimum kuadrat terkecil, tetapi bisa memiliki banyak solusi.
Proyeksi \(p=A\hat{x}\) unik.
Pseudoinverse \(A^+b\) memberi solusi kuadrat terkecil dengan norma koefisien terkecil.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan kedua kolom \(A\) adalah \((1,0)\), dan \(b=(2,1)\). Apa yang terjadi?
Ruang kolomnya adalah sumbu \(x\), sehingga vektor hasil fit adalah proyeksi \(p=(2,0)\). Koefisien apa pun dengan \(x_1+x_2=2\) memberi vektor hasil fit yang sama, jadi koefisiennya tidak unik. Residualnya adalah \(b-p=(0,1)\), tegak lurus terhadap sumbu \(x\).
Coba
Coba: Jika \(A\) rank-defisien, apa yang tetap bisa benar untuk kuadrat terkecil?
Petunjuk: Titik terdekat dalam subruang itu unik bahkan ketika beberapa vektor koefisien menghasilkannya.
Sebagian besar kesalahan mencampur vektor koefisien dengan proyeksi
Tujuan pembelajaran: Akhiri dengan daftar cek ringkas untuk kesalahan umum pada proyeksi dan kuadrat terkecil.
Kesalahan umum
Arah bukan satuan: bagi dengan \(u\cdot u\) saat memproyeksikan pada \(\operatorname{span}(u)\).
Proyeksi vs residual: \(p\in S\), sedangkan \(v-p\in S^\perp\).
Matriks proyeksi: \(P^2=P\) saja belum cukup untuk proyeksi ortogonal; periksa juga simetri.
Rumus rank penuh: \(A(A^TA)^{-1}A^T\) memerlukan kolom independen.
Kuadrat terkecil: \(A\hat{x}\) adalah proyeksi dari \(b\), belum tentu \(b\) itu sendiri.
Rank-defisien: \(\hat{x}\) mungkin tidak unik, tetapi \(A\hat{x}\) unik.
Contoh dikerjakan
Contoh: Jika \(v=(2,2)\) sudah berada pada garis \(y=x\), apa proyeksinya pada garis itu?
Proyeksinya adalah \(v\) sendiri: \((2,2)\). Vektor yang sudah berada dalam subruang memiliki residual nol, dan nol ortogonal terhadap setiap subruang.
Coba
Coba: Apa fit kuadrat terkecil konstanta terbaik untuk data \(1,3,5\)?
Petunjuk: Fit konstanta terbaik adalah rata-rata nilai data.
Rekap akhir
Proyeksi berarti \(v=p+r\) dengan \(p\in S\) dan \(r\perp S\).
Untuk garis, gunakan \(\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u\).
Matriks proyeksi ortogonal memenuhi \(P^2=P\) dan \(P^T=P\).
Untuk kolom ortonormal \(Q\), matriks proyeksinya adalah \(QQ^T\).
Untuk \(A\) dengan rank kolom penuh, matriks proyeksi ruang kolom adalah \(A(A^TA)^{-1}A^T\).
Kuadrat terkecil membuat \(b-A\hat{x}\) ortogonal terhadap \(\operatorname{Col}(A)\).
Persamaan normal adalah \(A^TA\hat{x}=A^Tb\).
Rank-defisiensi dapat membuat \(\hat{x}\) tidak unik, sedangkan \(A\hat{x}\) tetap proyeksi unik.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Untuk setiap soal, pertama identifikasi subruang target, lalu tentukan apakah Anda memerlukan proyeksi vektor, matriks proyeksi, atau kondisi residual kuadrat terkecil.
Set latihan
Soal latihan Orthogonal Projections & Least Squares dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Apa proyeksi ortogonal dari \((1,2)\) ke sumbu \(x\)?
Jawaban benar: A. \((1,0)\)
Penjelasan: Proyeksi ke sumbu \(x\) mempertahankan koordinat pertama dan membuat koordinat kedua menjadi nol.
Soal 2Belum dijawab
Jika \(u\) adalah vektor satuan, proyeksi \(v\) ke \(\operatorname{span}(u)\) adalah:
Jawaban benar: A. \((v\cdot u)u\)
Penjelasan: Untuk vektor satuan, komponen skalarnya adalah \(v\cdot u\).
Soal 3Belum dijawab
Apa proyeksi dari \((1,0)\) ke garis yang direntang oleh \((1,1)\)?
Jawaban benar: C. \((1/2,1/2)\)
Penjelasan: Koefisien proyeksinya adalah \(\frac{(1,0)\cdot(1,1)}{(1,1)\cdot(1,1)}=1/2\).
Soal 4Belum dijawab
Untuk proyeksi ortogonal \(P\), identitas apa yang selalu berlaku?
Jawaban benar: C. \(P^2=P\)
Penjelasan: Memproyeksikan dua kali sama dengan memproyeksikan sekali.
Soal 5Belum dijawab
Untuk matriks proyeksi ortogonal \(P\), sifat simetri mana yang berlaku?
Jawaban benar: D. \(P^T=P\)
Penjelasan: Matriks proyeksi ortogonal bersifat simetris.
Soal 6Belum dijawab
Solusi kuadrat terkecil untuk \(Ax\approx b\) memenuhi:
Jawaban benar: C. \(A^TAx=A^Tb\)
Penjelasan: Persamaan normalnya adalah \(A^TAx=A^Tb\).
Soal 7Belum dijawab
Dalam kuadrat terkecil, residual \(b-Ax\) ortogonal terhadap:
Jawaban benar: C. Ruang kolom dari \(A\)
Penjelasan: Persamaan normal berarti residual ortogonal terhadap ruang kolom \(A\).
Soal 8Belum dijawab
Vektor terdekat dalam subruang \(S\) ke vektor \(v\) adalah:
Jawaban benar: D. Proyeksi ortogonal dari \(v\) ke \(S\)
Penjelasan: Proyeksi ortogonal adalah hampiran terbaik dari subruang.
Soal 9Belum dijawab
Apa proyeksi dari \((2,2)\) ke garis \(y=x\)?
Jawaban benar: A. \((2,2)\)
Penjelasan: Vektor itu sudah berada pada garis \(y=x\), sehingga proyeksinya adalah dirinya sendiri.
Soal 10Belum dijawab
Jika \(v=p+r\), dengan \(p\in S\) dan \(r\perp S\), apakah \(p\)?
Jawaban benar: D. Proyeksi dari \(v\) ke \(S\)
Penjelasan: Ini adalah dekomposisi ortogonal, jadi \(p\) adalah proyeksi ke \(S\).
