Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Kekonvergenan Barisan dan Deret - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Konvergensi Barisan & Deret dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih konvergensi barisan dan deret dengan alat dan pola terpenting yang sering muncul di ujian: limit barisan \(\lim_{n\to\infty} a_n\) (limit rasional, limit eksponensial, dan laju pertumbuhan dasar), uji suku ke-n (divergensi) untuk deret, deret geometri dan syarat kunci \(|r|<1\), deret geometri berganti tanda dan jumlah cepat, deret teleskopik memakai pecahan parsial, uji p-deret (termasuk deret harmonik), uji perbandingan dan uji perbandingan limit, uji rasio dan uji akar (terutama untuk faktorial dan eksponensial), konvergensi mutlak vs. bersyarat, serta topik deret pangkat seperti jari-jari konvergensi dan interval konvergensi. Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Cara kerja latihan konvergensi barisan dan deret ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal konvergensi barisan dan deret di awal halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau uji konvergensi, pengenalan pola cepat, dan jumlah umum dengan contoh jelas.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan langsung terapkan aturan konvergensi.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran konvergensi barisan & deret
Limit barisan & uji divergensi
Limit barisan: fungsi rasional, derajat polinom, dan eksponensial seperti \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\)
Uji suku ke-n: jika \(\lim a_n ≠ 0\), maka \(\sum a_n\) divergen
Ide "jebakan" umum: \(\lim a_n=0\) perlu tetapi tidak cukup untuk konvergensi
Deret geometri & jumlah teleskopik
Deret geometri tak hingga: \(\sum ar^{n}\) konvergen saat \(|r|<1\)
Jumlah cepat: \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\dfrac{1}{1-r}\) dan \(\sum_{n=1}^{\infty} r^n=\dfrac{r}{1-r}\)
Deret teleskopik: tulis ulang suku agar saling membatalkan dan ambil limit jumlah parsial
p-deret, uji perbandingan, dan pertumbuhan
Uji p-deret: \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) konvergen jika \(p>1\) dan divergen jika \(p\le 1\)
Perbandingan dan perbandingan limit untuk mencocokkan deret sulit dengan patokan yang dikenal
Intuisi kunci: eksponensial mengalahkan polinom, jadi suku seperti \(\dfrac{1}{n2^n}\) biasanya konvergen
Uji rasio/akar & konvergensi deret pangkat
Uji rasio dan uji akar: ideal untuk faktorial, eksponensial, dan deret pangkat
Konvergensi mutlak vs bersyarat, terutama untuk deret berganti tanda
Deret pangkat: cari jari-jari konvergensi \(R\) (dan cek ujung interval)
Kembali ke kuis
Saat Anda siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih konvergensi barisan dan deret.
⭐⭐⭐⭐⭐
📉
Konvergensi Deret
Uji & deret pangkat
Ketuk untuk membuka ->
Memuat...
Pelajaran Konvergensi Barisan & Deret
1 / 8
Ringkasan Pelajaran
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang konvergensi barisan dan deret agar Anda dapat menghitung limit barisan, menerapkan uji suku ke-n (divergensi), mengenali dan menjumlahkan deret geometri dan teleskopik, serta memilih uji konvergensi yang tepat (p-deret, perbandingan/perbandingan limit, rasio/akar, dan uji deret berganti tanda). Anda juga akan belajar mencari jari-jari konvergensi (dan mengecek ujung interval) untuk deret pangkat.
Kriteria keberhasilan
Hitung limit barisan seperti barisan rasional dan eksponensial.
Gunakan uji suku ke-n: jika \(\lim_{n\to\infty} a_n≠ 0\), maka \(\sum a_n\) divergen.
Kenali deret geometri dan gunakan \(|r|<1\) untuk menentukan konvergensi.
Hitung jumlah geometri tak hingga dengan cepat.
Kenali deret teleskopik dan hitung jumlahnya memakai jumlah parsial.
Klasifikasikan \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) memakai uji p-deret dan kenali deret harmonik.
Gunakan perbandingan dan perbandingan limit untuk mencocokkan deret sulit dengan patokan yang dikenal.
Gunakan uji rasio dan uji akar (terutama untuk faktorial dan deret pangkat).
Tentukan konvergensi mutlak vs bersyarat untuk deret berganti tanda.
Cari jari-jari konvergensi \(R\) dari deret pangkat dan cek ujung untuk interval konvergensi.
Kosakata kunci
Barisan: daftar berurutan \((a_n)\). Barisan konvergen jika \(\lim a_n\) ada dan hingga.
Deret: jumlah \(\sum a_n\). Jumlah parsial-nya adalah \(S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k\).
Konvergen / divergen: deret konvergen jika \((S_n)\) mendekati limit hingga; jika tidak, divergen.
Uji suku ke-n (divergensi): jika \(\lim a_n≠ 0\) (atau tidak ada), deret \(\sum a_n\) divergen.
Deret geometri: suku memiliki rasio tetap \(r\). Konvergen saat \(|r|<1\).
p-deret: \(\sum \dfrac{1}{n^p}\) konvergen jika \(p>1\), divergen jika \(p\le 1\).
Cek awal 1: Berapa \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{5n}{5n+1}\)?
Petunjuk: Bagi pembilang dan penyebut dengan \(n\).
Cek awal 2: Apakah deret \(\sum_{n=1}^\infty \left(\tfrac12\right)^n\) konvergen atau divergen?
Petunjuk: Ini geometri dengan rasio \(r=\tfrac12\).
Limit Barisan
Limit barisan dan uji suku ke-n (divergensi) untuk deret
Tujuan pembelajaran: Evaluasi limit barisan umum dan gunakan uji suku ke-n untuk cepat mengenali deret yang pasti divergen.
Ide utama
Barisan \((a_n)\) konvergen jika \(\lim_{n\to\infty} a_n\) ada dan hingga. Berikut pola andal yang perlu Anda ketahui:
Barisan rasional: jika derajat sama, limit adalah rasio koefisien utama. Contoh, \[ \lim_{n\to\infty}\frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}\quad (c≠ 0). \]
Pertumbuhan polinom: jika derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, limitnya \(0\). Jika lebih besar, barisan biasanya tumbuh tanpa batas.
Barisan eksponensial: untuk \(r^n\):
Jika \(|r|<1\), maka \(r^n\to 0\).
Jika \(r>1\), maka \(r^n\to \infty\).
Contoh: \(\left(\tfrac{2}{3}\right)^n\to 0\), tetapi \(\left(\tfrac{7}{4}\right)^n\to \infty\).
Untuk konvergensi deret, filter cepat pertama adalah uji suku ke-n (divergensi): \[ \text{Jika }\lim_{n\to\infty} a_n ≠ 0\text{ (atau tidak ada), maka }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ divergen.} \] Penting: \(\lim a_n = 0\) perlu untuk konvergensi, tetapi tidak menjamin konvergensi.
Contoh dikerjakan
Contoh: Evaluasi \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\). Apa implikasinya untuk \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\)?
Bagi dengan \(n\): \[ \frac{3n+5}{3n+2}=\frac{3+\frac{5}{n}}{3+\frac{2}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{3}{3}=1. \] Karena sukunya tidak menuju \(0\), deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3n+5}{3n+2}\) divergen berdasarkan uji suku ke-n.
Deret teleskopik adalah deret yang banyak sukunya saling membatalkan setelah ditulis ulang: \[ a_n = b_n - b_{n+1}\quad \Rightarrow\quad \sum_{n=1}^{N} a_n = b_1 - b_{N+1}. \] Ini sering terjadi setelah dekomposisi pecahan parsial.
Petunjuk: \(\frac{1}{n(n+3)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)\) bersifat teleskopik.
Ringkasan
Deret geometri konvergen ketika \(|r|<1\), lalu Anda dapat menjumlahkannya secara eksak.
Deret teleskopik menjadi mudah setelah suku ditulis ulang agar saling membatalkan dalam jumlah parsial.
p-deret
p-deret, deret harmonik, dan klasifikasi cepat
Tujuan pembelajaran: Kenali \(\sum \frac{1}{n^p}\) seketika dan hindari kesalahan umum p-deret.
Ide utama
Uji p-deret adalah salah satu cek konvergensi tercepat:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) konvergen jika \(p>1\).
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) divergen jika \(p\le 1\).
Deret harmonik \(\sum \frac{1}{n}\) adalah kasus \(p=1\), jadi divergen.
Anda juga akan memakai p-deret sebagai patokan dalam uji perbandingan. Jika suku Anda berperilaku seperti \(\frac{1}{n^p}\) untuk \(n\) besar, uji p-deret sering memberi tahu apa yang terjadi.
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{0.9}}\) konvergen atau divergen?
Ini p-deret dengan \(p=0.9\). Karena \(p\le 1\), deretnya divergen.
Coba
Coba 1: Apakah deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}}\) konvergen atau divergen?
Petunjuk: \(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergen hanya ketika \(p>1\).
Coba 2: Apakah deret \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}\) konvergen atau divergen?
Petunjuk: Untuk p-deret, \(p>1\Rightarrow\) konvergen.
Ringkasan
\(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergen jika \(p>1\), divergen jika \(p\le 1\).
Uji perbandingan dan “eksponensial mengalahkan polinom”
Tujuan pembelajaran: Gunakan perbandingan dan perbandingan limit secara efektif, serta hitung jumlah konvergen umum seperti \(\sum n r^n\).
Ide utama
Uji perbandingan adalah strategi cepat ketika suku-sukunya positif:
Jika \(0\le a_n \le b_n\) dan \(\sum b_n\) konvergen, maka \(\sum a_n\) konvergen.
Jika \(0\le b_n \le a_n\) dan \(\sum b_n\) divergen, maka \(\sum a_n\) divergen.
Intuisi kuat: eksponensial mengalahkan polinom. Itulah sebabnya suku seperti \(\dfrac{1}{n2^n}\) sering konvergen: \(2^n\) di penyebut membuat suku mengecil sangat cepat.
Selain itu, identitas ini sangat berguna untuk jumlah: \[ \sum_{n=1}^{\infty} n r^n=\frac{r}{(1-r)^2}\quad (|r|<1). \] (Anda dapat menurunkannya dengan mendiferensialkan deret geometri.)
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n2^n}\) konvergen atau divergen?
Untuk \(n\ge 1\), kita punya \(n\ge 1\), jadi \(\dfrac{1}{n2^n}\le \dfrac{1}{2^n}\). Deret \(\sum \dfrac{1}{2^n}\) adalah geometri dengan rasio \(\tfrac12\), jadi konvergen. Karena itu, \(\sum \dfrac{1}{n2^n}\) konvergen berdasarkan perbandingan.
Coba
Coba 1: Apakah deret \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n2^n}\) konvergen atau divergen?
Petunjuk: Bandingkan dengan \(\sum \frac{1}{2^n}\).
Petunjuk: Gunakan \(\sum_{n=1}^{\infty} n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2}\) dengan \(r=\tfrac15\).
Ringkasan
Perbandingan paling efektif saat Anda dapat mengapit deret dengan deret patokan sederhana.
Ketahui \(\sum n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2}\) untuk \(|r|<1\) agar dapat menghitung jumlah konvergen umum dengan cepat.
Uji Rasio & Akar
Uji rasio, uji akar, dan deret faktorial/eksponensial
Tujuan pembelajaran: Gunakan uji rasio dan uji akar dengan percaya diri, terutama untuk faktorial, eksponensial, dan suku bergaya deret pangkat.
Ide utama
Uji rasio melihat \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. \] Lalu:
Jika \(L<1\), deret \(\sum a_n\) konvergen mutlak.
Jika \(L>1\) (atau \(L=\infty\)), deret divergen.
Jika \(L=1\), uji tidak menyimpulkan.
Uji akar memakai \[ L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. \] Aturan kesimpulannya sama seperti uji rasio dan sangat nyaman untuk suku seperti \((\text{sesuatu})^n\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah deret \(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\) konvergen atau divergen?
Misalkan \(a_n=\dfrac{1}{n!}\). Maka \[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{}0. \] Jadi \(L=0<1\), dan deret konvergen mutlak (bahkan jumlahnya \(e\)).
Coba
Coba 1: Berapa \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) untuk \(a_n=\left(\tfrac14\right)^n\)?
Uji rasio/akar sangat cocok untuk faktorial dan suku eksponensial/deret pangkat.
Untuk barisan geometri, \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) adalah rasio tetap \(r\).
Deret Berganti Tanda
Uji deret berganti tanda dan konvergensi mutlak vs bersyarat
Tujuan pembelajaran: Tentukan konvergensi deret berganti tanda dan identifikasi kapan deret konvergen mutlak atau bersyarat.
Ide utama
Deret berganti tanda sering berbentuk \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_n \quad \text{atau} \quad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} b_n, \] dengan \(b_n \ge 0\). Uji deret berganti tanda mengatakan deret konvergen jika:
\(b_n\) akhirnya menurun, dan
\(\lim_{n\to\infty} b_n=0\).
Deret konvergen mutlak jika \(\sum |a_n|\) konvergen. Jika \(\sum a_n\) konvergen tetapi \(\sum |a_n|\) divergen, maka \(\sum a_n\) konvergen bersyarat.
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n^{0.9}}\) konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen?
Misalkan \(b_n=\dfrac{1}{n^{0.9}}\). Maka \(b_n\) menurun dan \(b_n\to 0\). Jadi \(\sum (-1)^{n+1} b_n\) konvergen berdasarkan uji deret berganti tanda. Namun \(\sum |(-1)^{n+1}b_n|=\sum \dfrac{1}{n^{0.9}}\) adalah p-deret dengan \(p=0.9\le 1\), sehingga divergen. Karena itu deret berganti tanda tersebut konvergen bersyarat.
Konvergensi mutlak berarti \(\sum |a_n|\) konvergen; bersyarat berarti \(\sum a_n\) konvergen tetapi \(\sum |a_n|\) divergen.
Deret Pangkat
Konvergensi deret pangkat: jari-jari dan interval konvergensi
Tujuan pembelajaran: Cari jari-jari konvergensi \(R\) memakai uji rasio/akar dan ingat untuk mengecek ujung interval untuk interval konvergensi.
Ide utama
Deret pangkat yang berpusat di \(a\) berbentuk \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n. \] Biasanya, ada jari-jari \(R\) sehingga:
Deret konvergen untuk \(|x-a|<R\).
Deret divergen untuk \(|x-a|>R\).
Pada \(|x-a|=R\), Anda harus menguji titik ujung secara terpisah.
Uji rasio sering menghasilkan syarat seperti \(|x-a|<R\), lalu \(R\) adalah jari-jari konvergensi.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari jari-jari konvergensi dari \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt{n}}\).
Gunakan uji akar (atau uji rasio): \[ \sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{\sqrt{n}}\right|} = |x|\cdot \sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}. \] Namun \(\sqrt[n]{\frac{1}{\sqrt{n}}}=n^{-1/(2n)}\to 1\). Jadi limitnya \(|x|\). Deret konvergen saat \(|x|<1\) dan divergen saat \(|x|>1\). Maka jari-jari konvergensi adalah \(R=1\).
Coba
Coba 1: Berapa jari-jari konvergensi dari \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt n}\)?
Petunjuk: Uji akar/rasio mengarah ke \(|x|<1\).
Coba 2: Berapa jari-jari konvergensi dari \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\)?
Petunjuk: \(\sum x^n\) adalah geometri dengan rasio \(x\). Deret konvergen saat \(|x|<1\).
Rekap akhir
Uji suku ke-n: jika \(\lim a_n≠ 0\), maka \(\sum a_n\) divergen.
Deret geometri: konvergen saat \(|r|<1\), jumlah dengan \(\frac{1}{1-r}\) (atau \(\frac{r}{1-r}\) saat mulai dari \(n=1\)).
Teleskopik: tulis ulang agar saling membatalkan dalam jumlah parsial; ambil limit.
p-deret: \(\sum \frac{1}{n^p}\) konvergen jika \(p>1\), divergen jika \(p\le 1\).
Perbandingan/perbandingan limit: cocokkan dengan deret patokan yang dikenal.
Uji rasio/akar: terbaik untuk faktorial, eksponensial, dan deret pangkat.
Deret berganti tanda: \(b_n\) menurun dan \(b_n\to 0\) mengimplikasikan konvergensi; tentukan mutlak vs bersyarat dengan mengecek \(\sum |a_n|\).
Deret pangkat: cari jari-jari \(R\), lalu uji ujung untuk mendapatkan interval konvergensi.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan ide konvergensi yang Anda butuhkan.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+