Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Identitas dan Persamaan Trigonometri - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Identitas & Persamaan Trigonometri dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih identitas dan persamaan trigonometri dengan keterampilan berdampak tinggi: nilai lingkaran satuan dan sudut eksak, identitas Pythagoras \(\bigl(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\;1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,\;1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\bigr)\), identitas resiprokal dan identitas hasil bagi, identitas genap-ganjil (sudut negatif), periodisitas dan identitas pergeseran fase (seperti \(\theta+2\pi\) dan \(\theta+\pi\)), identitas kofungsi, rumus jumlah dan selisih untuk \(\sin\), \(\cos\), dan \(\tan\), sudut ganda dan sudut setengah, transformasi jumlah-ke-hasil kali dan hasil kali-ke-jumlah, serta menyelesaikan persamaan trigonometri pada interval standar seperti \([0,2\pi)\). Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Cara kerja latihan trigonometri ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal identitas dan persamaan trigonometri di awal halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau identitas inti, transformasi, dan strategi penyelesaian persamaan dengan contoh penyelesaian.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan langsung terapkan identitas atau langkah penyelesaian yang tepat.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran identitas & persamaan trigonometri
Dasar identitas
Interpretasi lingkaran satuan untuk \(\sin\theta\) dan \(\cos\theta\)
Identitas resiprokal dan hasil bagi: \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), \(\sec\theta=\dfrac@@P2@@{\cos\theta}\), dll.
Aturan genap-ganjil dan periodisitas untuk sudut negatif dan pergeseran seperti \(\theta+2\pi\) dan \(\theta+\pi\)
Identitas Pythagoras & pergeseran
Identitas Pythagoras dan cara menulis ulang semuanya dalam \(\sin\) dan \(\cos\)
Identitas kofungsi memakai \(\tfrac{\pi}@@P2@@\pm\theta\)
Sudut majemuk & transformasi sudut
Jumlah dan selisih sudut: \(\sin(A\pm B)\), \(\cos(A\pm B)\), \(\tan(A\pm B)\)
Sudut ganda dan sudut setengah (pilih bentuk terbaik untuk penyederhanaan)
Ide reduksi pangkat untuk menulis ulang \(\sin^2x\) dan \(\cos^2x\)
Alat jumlah-hasil kali & persamaan
Rumus jumlah-ke-hasil kali dan hasil kali-ke-jumlah untuk memfaktorkan dan mentransformasi ekspresi
Menyelesaikan persamaan trigonometri pada \([0,2\pi)\) dan menulis himpunan solusi yang rapi
Kebiasaan verifikasi: memeriksa solusi ekstraneous dan batasan domain
Kembali ke kuis
Saat Anda siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih identitas serta persamaan trigonometri.
⭐⭐⭐⭐
📐
Identitas trigonometri & Persamaan
Panduan Langkah demi Langkah
Ketuk untuk membuka ->
Memuat...
Pelajaran Identitas & Persamaan Trigonometri
1 / 8
Ringkasan Pelajaran
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang identitas dan persamaan trigonometri agar Anda dapat menyederhanakan ekspresi, memverifikasi identitas, dan menyelesaikan persamaan trigonometri secara efisien. Anda akan berlatih nilai lingkaran satuan, identitas Pythagoras/resiprokal/hasil bagi, simetri dan periodisitas, rumus jumlah dan selisih sudut, identitas sudut ganda dan sudut setengah, serta transformasi jumlah-ke-hasil kali / hasil kali-ke-jumlah.
Kriteria keberhasilan
Gunakan ide radian dan lingkaran satuan untuk menafsirkan \(\sin\theta\) dan \(\cos\theta\).
Terapkan identitas resiprokal dan hasil bagi: \(\sec\theta=\dfrac@@P42@@{\cos\theta}\), \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), dll.
Gunakan identitas Pythagoras untuk menulis ulang dan menyederhanakan: \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\), \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\).
Gunakan identitas genap-ganjil dan periodisitas: \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\), \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\tan(\theta+\pi)=\tan\theta\), \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\).
Perluas atau gabungkan sudut memakai rumus jumlah dan selisih untuk \(\sin\), \(\cos\), dan \(\tan\).
Pilih bentuk sudut ganda atau sudut setengah terbaik untuk menyederhanakan dengan cepat.
Konversi antara jumlah dan hasil kali memakai identitas jumlah-ke-hasil kali dan hasil kali-ke-jumlah.
Selesaikan persamaan trigonometri pada interval tertentu (seperti \([0,2\pi)\)) dan periksa solusi.
Kosakata kunci
Identitas: persamaan yang benar untuk semua \(\theta\) dalam domainnya (contoh: \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)).
Persamaan: kesamaan yang benar hanya untuk sudut tertentu (contoh: \(\sin x=\tfrac12\)).
Lingkaran satuan: lingkaran berjari-jari \(1\); \((\cos\theta,\sin\theta)\) adalah titik di atasnya.
Periodisitas: nilai berulang, seperti \(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\).
Sudut acuan: sudut lancip terhadap sumbu-\(x\) yang dipakai untuk mencari nilai trigonometri eksak.
Himpunan solusi: semua sudut \(x\) yang memenuhi persamaan dalam interval tertentu.
Cek awal cepat
Cek awal 1: \(\sin(-\theta)\) sama dengan apa?
Petunjuk: \(\sin\) adalah fungsi ganjil.
Cek awal 2: \(\cos(\theta+2\pi)\) sama dengan apa?
Petunjuk: \(\cos\) berperiode \(2\pi\): pergeseran \(2\pi\) mengembalikan nilai yang sama.
Dasar Identitas
Identitas trigonometri inti: simetri, periodisitas, dan struktur Pythagoras
Tujuan pembelajaran: Kenali “toolbox” identitas inti agar Anda dapat menyederhanakan dengan cepat dan menulis ulang semuanya dalam bentuk konsisten.
Ide utama
Banyak identitas berasal dari lingkaran satuan, tempat \((\cos\theta,\sin\theta)\) berada pada lingkaran berjari-jari \(1\). Ini langsung memberi identitas Pythagoras: \[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. \] Dari sini, Anda dapat menurunkan dua varian berguna dengan membagi oleh \(\cos^2\theta\) atau \(\sin^2\theta\): \[ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,\qquad 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta. \] Ingat juga: identitas resiprokal \(\sec\theta=\dfrac@@P10@@{\cos\theta}\), \(\csc\theta=\dfrac@@P11@@{\sin\theta}\), dan identitas hasil bagi \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), \(\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\).
Gunakan selisih kuadrat: \[ (\sec x+\tan x)(\sec x-\tan x)=\sec^2x-\tan^2x. \] Sekarang gunakan identitas Pythagoras \(1+\tan^2x=\sec^2x\), yang disusun ulang menjadi \(\sec^2x-\tan^2x=1\). Jadi hasil kali itu menyederhana menjadi \(1\).
Coba
Coba 1: \(\tan(-\theta)\) sama dengan apa?
Petunjuk: \(\tan\) adalah fungsi ganjil: \(\tan(-\theta)=-\tan\theta\).
Coba 2: \(\tan(\pi+\theta)\) sama dengan apa?
Petunjuk: \(\tan\) berperiode \(\pi\), jadi pergeseran \(\pi\) mempertahankan nilainya.
Ringkasan
Inti Pythagoras: \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\), \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\).
Simetri + periodisitas adalah alat cepat untuk menyederhanakan sudut negatif dan pergeseran.
Jumlah & Selisih
Rumus jumlah dan selisih sudut
Tujuan pembelajaran: Kembangkan \(\sin(A\pm B)\), \(\cos(A\pm B)\), dan \(\tan(A\pm B)\) dengan benar serta gunakan rumus ini untuk menyederhanakan ekspresi.
Ide utama
Identitas penjumlahan dan pengurangan sudut memungkinkan Anda menulis ulang fungsi trigonometri dari sudut majemuk: \[ \sin(A\pm B)=\sin A\cos B \pm \cos A\sin B, \] \[ \cos(A\pm B)=\cos A\cos B \mp \sin A\sin B, \] \[ \tan(A\pm B)=\frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}. \] Cek umum: pada identitas cosinus, tandanya berbalik (minus untuk \(+\), plus untuk \(-\)).
Contoh dikerjakan
Contoh: Tulis \(\cos(\alpha-\beta)\) dalam \(\sin\alpha,\cos\alpha,\sin\beta,\cos\beta\).
Gunakan rumus selisih cosinus: \[ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \] Identitas ini sangat berguna untuk menyederhanakan ekspresi dan untuk pembuktian.
Coba
Coba 1: Apa rumus untuk \(\tan(A-B)\)?
Petunjuk: Untuk \(\tan(A-B)\), penyebut memakai \(1+\tan A\tan B\).
Coba 2: \(\cos(\alpha-\beta)\) sama dengan apa?
Petunjuk: \(\cos(A-B)\) memakai tanda plus di antara suku \(\sin A\sin B\).
Ringkasan
Rumus jumlah/selisih mengembangkan sudut majemuk menjadi hasil kali fungsi trigonometri yang lebih sederhana.
Rumus ini penting untuk nilai eksak, penyederhanaan, dan pembuktian identitas.
Sudut Ganda & Setengah
Sudut ganda, sudut setengah, dan penulisan ulang cerdas
Tujuan pembelajaran: Gunakan identitas sudut ganda dan sudut setengah untuk menulis ulang ekspresi dalam bentuk yang paling membantu.
Ide utama
Identitas sudut ganda berasal dari rumus jumlah dengan \(A=B\): \[ \sin(2x)=2\sin x\cos x, \] \[ \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1, \] \[ \tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}. \] Pilihan bentuk terbaik untuk \(\cos(2x)\) bergantung pada apa yang ingin dihilangkan: gunakan \(1-2\sin^2x\) jika Anda hanya ingin \(\sin x\), atau \(2\cos^2x-1\) jika Anda hanya ingin \(\cos x\).
\(\tan\left(\dfrac@@P12@@@@P13@@\right)=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\) (ketika penyebut tak nol)
Contoh dikerjakan
Contoh: Tulis ulang \(\cos(2x)\) hanya memakai \(\sin x\).
Mulai dari \(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\). Dengan \(\cos^2x=1-\sin^2x\), kita dapatkan: \[ \cos(2x)=(1-\sin^2x)-\sin^2x=1-2\sin^2x. \] Jadi \(\cos(2x)\) dapat ditulis sebagai \(1-2\sin^2x\).
Coba
Coba 1: Apa identitas sudut ganda untuk \(\cos(2x)\)?
Petunjuk: \(\cos(2x)\) memiliki beberapa bentuk ekuivalen; salah satu bentuk klasik adalah \(\cos^2x-\sin^2x\).
Coba 2: \(\sin(2\theta)\) sama dengan apa dalam \(\tan(\theta)\)?
Petunjuk: \(\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta\), lalu ubah memakai \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) dan \(\sec^2\theta=1+\tan^2\theta\).
Ringkasan
Identitas sudut ganda sangat berguna untuk penyederhanaan dan penyelesaian persamaan.
Rumus sudut setengah membantu mengubah kuadrat menjadi ekspresi trigonometri linear.
Alat Jumlah/Hasil Kali
Identitas jumlah-ke-hasil kali dan hasil kali-ke-jumlah
Tujuan pembelajaran: Ubah jumlah menjadi hasil kali (untuk memfaktorkan) dan hasil kali menjadi jumlah (umum dalam kalkulus dan sinyal).
Ide utama
Transformasi ini sangat berguna saat Anda ingin memfaktorkan atau menggabungkan suku trigonometri. Dua rumus jumlah-ke-hasil kali utama adalah: \[ \sin A+\sin B=2\sin\left(\frac{A+B}@@P6@@\right)\cos\left(\frac@@P7@@@@P8@@\right), \] \[ \sin A-\sin B=2\cos\left(\frac{A+B}@@P9@@\right)\sin\left(\frac@@P10@@@@P11@@\right). \] (Ada rumus serupa untuk \(\cos A\pm \cos B\), dan rumus hasil kali-ke-jumlah untuk \(\sin A\sin B\), \(\cos A\cos B\), dll.)
Contoh dikerjakan
Contoh: Faktorkan \(\sin x+\sin(3x)\) memakai identitas jumlah-ke-hasil kali.
Gunakan \(\sin A+\sin B=2\sin\left(\dfrac{A+B}@@P2@@\right)\cos\left(\dfrac\(A=x\)\(B=3x\)\right)\) dengan \(A=x\), \(B=3x\): \[ \sin x+\sin(3x)=2\sin\left(\frac{x+3x}@@P5@@\right)\cos\left(\frac@@P6@@@@P7@@\right)=2\sin(2x)\cos(-x). \] Karena \(\cos(-x)=\cos x\), ini menjadi \(2\sin(2x)\cos x\).
Coba
Coba 1: Identitas mana yang mengubah \(\sin A+\sin B\) menjadi hasil kali?
Petunjuk: “Jumlah-ke-hasil kali” mengubah jumlah menjadi hasil kali dengan sudut setengah-jumlah dan setengah-selisih.
Coba 2: Apa identitas untuk \(\sin x-\sin y\)?
Petunjuk: Untuk \(\sin x-\sin y\), gunakan \(2\cos\left(\dfrac{x+y}@@P0@@\right)\sin\left(\dfrac@@P1@@@@P2@@\right)\).
Ringkasan
Jumlah-ke-hasil kali membantu memfaktorkan dan menyelesaikan persamaan.
Hasil kali-ke-jumlah sering muncul dalam integrasi dan penyederhanaan hasil kali.
Menyelesaikan Persamaan
Menyelesaikan persamaan trigonometri pada \([0,2\pi)\)
Tujuan pembelajaran: Selesaikan persamaan trigonometri secara sistematis memakai identitas, pemfaktoran, dan lingkaran satuan, lalu laporkan solusi dalam interval yang diminta.
Strategi inti
1) Sederhanakan dulu: gunakan identitas untuk menulis ulang semuanya dalam bentuk konsisten (sering dalam \(\sin\) dan \(\cos\)).
2) Isolasi fungsi trigonometri: arahkan ke \(\sin x=c\), \(\cos x=c\), atau \(\tan x=c\).
3) Gunakan lingkaran satuan: cari semua sudut dalam interval yang cocok dengan nilai.
4) Periksa masalah domain: hindari langkah tidak valid seperti membagi dengan sesuatu yang bisa \(0\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Selesaikan untuk \(x\) dalam \([0,2\pi)\): \(\sin(2x)=\cos(2x)\).
Pindahkan semuanya ke satu sisi: \[ \sin(2x)-\cos(2x)=0. \] Jika \cos(2x)≠ 0, bagi dengan \(\cos(2x)\) untuk mendapat: \[ \tan(2x)=1. \] Jadi \[ 2x=\frac{\pi}@@P0@@+k\pi \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}@@P1@@+k\frac{\pi}@@P2@@. \] Sekarang daftar solusi dalam \([0,2\pi)\): \[ x\in\left\{\frac{\pi}@@P3@@,\frac{5\pi}@@P4@@,\frac{9\pi}@@P5@@,\frac{13\pi}@@P6@@\right\}. \] (Anda juga bisa menyelesaikan tanpa membagi dengan menulis ulang sebagai \(\sin(2x)=\cos(2x)=\frac{\sqrt2}\[ 2x=\frac{\pi}@@P0@@+k\pi \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}@@P1@@+k\frac{\pi}@@P2@@. \]\) dikali faktor umum, tetapi \(\tan(2x)=1\) adalah jalur tercepat.)
Coba
Coba 1: Selesaikan untuk \(x\) dalam \([0,2\pi)\): \(\sin x=\tfrac{\sqrt2}@@P2@@\).
Petunjuk: \(\sin x=\tfrac{\sqrt2}@@P0@@\) terjadi pada sudut acuan \(\pi/4\) di Kuadran I dan II.
Coba 2: Selesaikan untuk \(x\) dalam \([0,2\pi)\): \(2\sin x-1=0\).
Petunjuk: Selesaikan \(2\sin x-1=0\Rightarrow \sin x=\tfrac12\), lalu gunakan lingkaran satuan dalam \([0,2\pi)\).
Ringkasan
Selalu hormati interval dan daftar setiap solusi di dalamnya.
Gunakan identitas untuk menyederhanakan dulu; lalu gunakan pola lingkaran satuan untuk menyelesaikan cepat.
Verifikasi & Sederhanakan
Memverifikasi identitas dan menyederhanakan ekspresi
Tujuan pembelajaran: Sederhanakan dengan percaya diri dan verifikasi identitas tanpa memperkenalkan langkah tidak valid.
daftar periksa praktik terbaik
Kerjakan dari satu sisi: mulai dari sisi yang lebih rumit dan tulis ulang sampai cocok dengan sisi lain.
Ubah ke \(\sin\) dan \(\cos\) saat buntu: banyak identitas menjadi langsung setelah \(\tan\), \(\sec\), dll. ditulis ulang.
Gunakan identitas Pythagoras secara strategis: ganti \(\sin^2\) dengan \(1-\cos^2\) atau \(\sec^2\) dengan \(1+\tan^2\).
Hindari membagi dengan ekspresi yang bisa nol: jika Anda membagi dengan \(\sin x\), Anda secara implisit menganggap \sin x≠ 0.
Petunjuk: Ini selisih kuadrat: \(\sec^2x-\tan^2x\), lalu gunakan \(\sec^2x-\tan^2x=1\).
Coba 2: Apa \(\tan^2(\theta)\) dalam \(\sec^2(\theta)\)?
Petunjuk: Susun ulang \(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\).
Ringkasan
Pekerjaan identitas adalah penulisan ulang yang rapi, bukan menebak jawaban.
Hubungan Pythagoras adalah tulang punggung banyak penyederhanaan.
Aplikasi & Gambaran Besar
Mengapa identitas dan persamaan trigonometri penting
Tujuan pembelajaran: Hubungkan toolkit identitas dengan pemecahan masalah nyata, lalu akhiri dengan cek final.
Di mana keterampilan ini muncul
Kalkulus: menyederhanakan ekspresi sebelum mendiferensialkan/mengintegralkan; memakai hasil kali-ke-jumlah dalam integral.
Fisika & teknik: menguraikan gaya, osilasi, model gelombang, dan pergeseran fase.
Geometri: hubungan segitiga, rotasi, dan gerak periodik.
Sinyal: menggabungkan gelombang sinusoidal memakai identitas jumlah-ke-hasil kali.
Contoh dikerjakan: penyederhanaan pergeseran cepat
Contoh: Sederhanakan \(\cos(x+\pi)\) dan jelaskan maknanya.
Pergeseran \(\pi\) membalik tanda cosinus: \[ \cos(x+\pi)=-\cos x. \] Interpretasi: menambahkan \(\pi\) radian adalah setengah putaran pada lingkaran satuan, mengirim \((\cos x,\sin x)\) ke \((-\cos x,-\sin x)\).
Coba
Coba 1: \(\csc\!\left(\tfrac{\pi}@@P2@@+\theta\right)\) sama dengan apa?
Petunjuk: \(\sin\!\left(\tfrac{\pi}@@P0@@+\theta\right)=\cos\theta\), jadi \(\csc\!\left(\tfrac{\pi}@@P1@@+\theta\right)=\dfrac@@P2@@{\cos\theta}=\sec\theta\).
Coba 2: Apa identitas untuk \(\cos(x+\pi)\)?
Petunjuk: Menambahkan \(\pi\) radian adalah setengah putaran pada lingkaran satuan, yang membalik koordinat \(x\) (cosinus).
Rekap akhir
Fondasi: identitas resiprokal/hasil bagi + identitas Pythagoras (\(\sin^2+\cos^2=1\), \(1+\tan^2=\sec^2\)).
Sudut majemuk: rumus jumlah/selisih untuk \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan identitas atau persamaan yang Anda butuhkan.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+