Konvergensi seragam berarti satu batas galat untuk seluruh domain

Ide utama

Barisan \(f_n:E\to\mathbb{R}\) konvergen seragam ke \(f\) jika untuk setiap \(\varepsilon>0\), ada \(N\) sehingga \(n\ge N\) mengakibatkan \(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\) untuk setiap \(x\in E\). Secara ekuivalen, \(\|f_n-f\|_\infty\to0\).

Daftar cek pengenalan

• Pertama tentukan limit titik demi titik \(f\).
• Hitung atau batasi galat \(|f_n(x)-f(x)|\).
• Ambil supremum pada seluruh domain.
• Jika supremum menuju \(0\), konvergensinya seragam.
• Jika supremum tetap jauh dari \(0\), atau tak hingga, konvergensinya tidak seragam.

Contoh dikerjakan

Coba

Domain sering menentukan apakah konvergensi bersifat seragam

Ide utama

Konvergensi seragam bersifat global. Suatu barisan dapat konvergen seragam pada interval yang lebih kecil tetapi gagal pada interval yang lebih besar karena galat terburuk bergerak menuju titik ujung atau lepas ke tak hingga.

Contoh standar

• \(x/n\to0\) seragam pada \([0,1]\), karena galat terbesarnya \(1/n\).
• \(x/n\) tidak konvergen seragam ke \(0\) pada \([0,\infty)\), karena galatnya tak terbatas untuk \(n\) tetap.
• \(x^n\to0\) seragam pada \([0,a]\) untuk \(0<a<1\), karena galat terbesarnya \(a^n\).
• \(x^n\) tidak konvergen seragam ke limit titik demi titiknya pada \([0,1]\), karena fungsi kontinu akan memiliki limit seragam yang kontinu.

Contoh dikerjakan

Coba

Konvergensi seragam dapat diuji tanpa mengetahui limitnya terlebih dahulu

Ide utama

Barisan \(f_n\) bersifat Cauchy seragam pada \(E\) jika untuk setiap \(\varepsilon>0\), ada \(N\) sehingga \(m,n\ge N\) mengakibatkan \(\sup_{x\in E}|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\). Untuk fungsi bernilai real, ini ekuivalen dengan konvergensi seragam setiap kali limit titik demi titiknya ada.

Daftar cek pengenalan

• Estimasi \(|f_n(x)-f_m(x)|\) tanpa memilih \(x\) khusus.
• Ambil supremum pada \(E\).
• Paksa supremum itu berada di bawah \(\varepsilon\) untuk semua \(m,n\) yang cukup besar.
• Untuk deret fungsi, terapkan ide yang sama pada ekor jumlah parsial.

Contoh dikerjakan

Coba

Konvergensi seragam deret berasal dari kendali ekor yang seragam

Ide utama

Untuk deret \(\sum u_n(x)\), konvergensi seragam berarti jumlah parsialnya konvergen seragam. Uji M Weierstrass mengatakan: jika \(|u_n(x)|\le M_n\) untuk setiap \(x\) dan \(\sum M_n\) konvergen, maka \(\sum u_n\) konvergen seragam dan absolut.

Langkah uji M

• Cari batas \(|u_n(x)|\le M_n\) yang tidak bergantung pada \(x\).
• Periksa bahwa \(\sum M_n\) konvergen sebagai deret numerik.
• Simpulkan konvergensi absolut seragam dari \(\sum u_n(x)\).
• Gunakan estimasi ekor \(\sum_{n>N}M_n\) ketika Anda membutuhkan batas galat eksplisit.

Contoh dikerjakan

Coba

Limit seragam mempertahankan struktur yang mungkin hilang pada limit titik demi titik

Ide utama

Konvergensi seragam membuat satu batas galat berlaku di dekat setiap titik, sehingga cukup kuat untuk mempertahankan kekontinuan. Konvergensi ini juga berperilaku baik terhadap penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dengan fungsi terbatas.

Sifat yang dipertahankan

• Jika setiap \(f_n\) kontinu dan \(f_n\to f\) seragam, maka \(f\) kontinu.
• Jika \(f_n\to f\) dan \(g_n\to g\) seragam, maka \(f_n-g_n\to f-g\) seragam.
• Jika \(g\) terbatas dan \(f_n\to f\) seragam, maka \(g f_n\to g f\) seragam.
• Jika setiap \(f_n\ge0\), maka limit titik demi titik \(f\ge0\).
• Limit seragam dari fungsi terbatas adalah terbatas jika satu \(f_n\) yang cukup akhir terbatas.

Contoh dikerjakan

Coba

Limit lebih mudah dipertukarkan dengan integral daripada dengan turunan

Ide utama

Jika \(f_n\to f\) seragam pada \([a,b]\), maka \(\int_a^b f_n\to\int_a^b f\) karena integral galat paling besar adalah \((b-a)\|f_n-f\|_\infty\). Turunan lebih ketat: konvergensi seragam \(f_n\) saja tidak mengimplikasikan \(f_n^\prime\to f^\prime\).

Pola teorema

• Aturan integral: konvergensi seragam pada interval terbatas memungkinkan \(\lim_n\int_a^b f_n=\int_a^b f\).
• Aturan turunan: jika \(f_n^\prime\to g\) seragam dan \(f_n(x_0)\) konvergen di satu titik, maka \(f_n\) konvergen seragam ke \(f\) yang terdiferensialkan dengan \(f^\prime=g\).
• Peringatan: mendiferensiasikan limit titik demi titik atau limit yang hanya seragam suku demi suku membutuhkan lebih dari konvergensi seragam fungsi-fungsinya.

Contoh dikerjakan

Coba

Hindari jebakan umum konvergensi seragam

Jebakan umum

• Titik demi titik tidak mengimplikasikan seragam: \(x^n\) pada \([0,1]\) adalah peringatan standar.
• Seragam bergantung pada domain: \(x/n\) baik pada \([0,1]\), tetapi gagal pada \([0,\infty)\).
• Pelestarian kekontinuan hanya berlaku untuk limit seragam: limit titik demi titik dapat diskontinu.
• Uji M cukup, bukan perlu: gagal menemukan \(M_n\) tidak otomatis membuktikan konvergensi tak seragam.
• Pertukaran turunan membutuhkan kendali turunan: konvergensi seragam \(f_n\) saja tidak cukup.
• Suku deret harus lenyap seragam: jika \(\sum u_n\) konvergen seragam, maka \(u_n\to0\) seragam.

Contoh dikerjakan

Coba

Rekap akhir

• Konvergensi seragam berarti \(\sup_x|f_n-f|\to0\).
• Konvergensi seragam selalu mengimplikasikan konvergensi titik demi titik, tetapi tidak sebaliknya.
• Rumus yang sama dapat seragam pada satu domain dan gagal pada domain yang lebih besar.
• Kriteria Cauchy seragam mengendalikan \(\sup_x|f_n-f_m|\).
• Uji M membuktikan konvergensi absolut seragam deret fungsi.
• Limit seragam dari fungsi kontinu adalah kontinu.
• Konvergensi seragam pada \([a,b]\) memungkinkan limit melewati integral tentu.
• Melewatkan limit melalui turunan membutuhkan konvergensi seragam turunan ditambah konvergensi di satu titik.