Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Lingkaran Satuan dan Ukuran Radian - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Lingkaran Satuan & Ukuran Radian dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk melatih keterampilan lingkaran satuan dan ukuran radian: definisi radian (panjang busur dibagi jari-jari), konversi derajat ke radian dan radian ke derajat, koordinat lingkaran satuan dengan \((\cos\theta,\sin\theta)\) sebagai titik pada lingkaran, sudut istimewa dan nilai trigonometri eksak untuk \(\sin\), \(\cos\), dan \(\tan\), sudut acuan dan aturan tanda kuadran, sudut negatif dan simetri (\(\cos\) genap, \(\sin\) ganjil), serta sudut koterminal dan periodisitas (menambahkan \(2\pi\) atau \(\pi\) saat sesuai). Jika Anda ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Cara kerja latihan lingkaran satuan ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal lingkaran satuan dan ukuran radian di awal halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau ukuran radian, konversi derajat-radian, koordinat lingkaran satuan, sudut istimewa, sudut acuan, dan aturan tanda trigonometri.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan langsung terapkan penalaran lingkaran satuan.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran lingkaran satuan & ukuran radian
Ukuran radian & konversi
Ukuran radian sebagai \(\theta=\dfrac@@P2@@@@P3@@\) (panjang busur dibagi jari-jari)
Derajat ke radian: kalikan dengan \(\dfrac{\pi}@@P2@@\)
Radian ke derajat: kalikan dengan \(\dfrac@@P2@@{\pi}\)
Koordinat lingkaran satuan
Lingkaran satuan: \(x^2+y^2=1\)
Titik pada sudut \(\theta\): \((\cos\theta,\sin\theta)\)
Tanda di kuadran untuk \(\sin\), \(\cos\), dan \(\tan\)
Kesalahan umum (kuadran salah, tanda salah, mencampur sudut acuan dengan sudut asli)
Nilai trigonometri eksak & periodisitas
Sudut istimewa: \(\tfrac{\pi}@@P2@@,\tfrac{\pi}@@P3@@,\tfrac{\pi}@@P4@@\) dan sudut terkait
Nilai eksak untuk \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) menggunakan lingkaran satuan dan segitiga
Sudut koterminal dan periodisitas: \(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\), \(\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta\), \(\tan(\theta+\pi)=\tan\theta\)
Kembali ke kuis
Saat Anda siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih lingkaran satuan dan ukuran radian.
โญโญโญโญ
โญ
Lingkaran Satuan & Radian
Panduan Langkah demi Langkah
Ketuk untuk membuka ->
Memuat...
Pelajaran Lingkaran Satuan & Ukuran Radian
1 / 8
Ringkasan Pelajaran
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang ukuran radian dan lingkaran satuan sehingga Anda dapat mengonversi antara derajat dan radian, menemukan sudut acuan, menggunakan aturan tanda kuadran, dan mengevaluasi nilai eksak dari \(\sin\), \(\cos\), dan \(\tan\) pada sudut umum seperti \(\tfrac{\pi}@@P14@@\), \(\tfrac{\pi}@@P15@@\), \(\tfrac{\pi}@@P16@@\), \(\tfrac{\pi}@@P17@@\), dan seterusnya (termasuk sudut koterminal seperti \(5\pi/2\)).
Kriteria keberhasilan
Menjelaskan ukuran radian menggunakan \(\theta=\dfrac@@P32@@\(2\pi\)\) (panjang busur dibagi jari-jari).
Mengonversi derajat ke radian dan radian ke derajat dengan akurat.
Mengidentifikasi sudut koterminal dengan menambah/mengurangi kelipatan \(2\pi\) (atau \(360^\circ\)).
Menggunakan lingkaran satuan untuk membaca koordinat \((\cos\theta,\sin\theta)\).
Mengingat dan menggunakan nilai sudut istimewa untuk \(\sin\) dan \(\cos\): \(0,\tfrac{\pi}@@P34@@,\tfrac{\pi}@@P35@@,\tfrac{\pi}@@P36@@,\tfrac{\pi}@@P37@@\) dan sudut terkait.
Menghitung \(\tan\theta\) menggunakan \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) dan mengenali kapan \(\tan\theta\) tak terdefinisi.
Menemukan sudut acuan dan menerapkan aturan tanda kuadran untuk \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).
Menggunakan identitas simetri: \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\), \(\tan(-\theta)=-\tan\theta\), dan periodisitas seperti \(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\).
Kosakata kunci
Radian: satuan sudut dengan \(\theta=\dfrac@@P32@@\(x^2+y^2=1\)\).
Lingkaran satuan: lingkaran \(x^2+y^2=1\) (jari-jari \(1\)), berpusat di titik asal.
Posisi standar: sudut diukur dari sumbu-\(x\) positif, berlawanan arah jarum jam.
Sisi terminal: sinar yang mengakhiri sudut dalam posisi standar.
Sudut koterminal: sudut yang berbagi sisi terminal yang sama (berbeda sebesar \(2k\pi\)).
Sudut acuan: sudut lancip antara sisi terminal dan sumbu-\(x\).
Sudut kuadrantal: sudut yang sisi terminalnya berada pada sumbu (misalnya \(\tfrac{\pi}@@P34@@\), \(\pi\)).
Periodisitas: nilai berulang, seperti \(\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta\) dan \(\tan(\theta+\pi)=\tan\theta\).
Pra-cek cepat
Pra-cek 1: Berapa ukuran radian dari sudut \(60^\circ\)?
Petunjuk: \(180^\circ=\pi\) radian, jadi kalikan derajat dengan \(\dfrac{\pi}@@P0@@\).
Pra-cek 2: Pada lingkaran satuan, berapa \((\cos(\pi/2),\sin(\pi/2))\)?
Petunjuk: \(\pi/2\) berada di puncak lingkaran satuan (sumbu-\(y\) positif).
Ukuran Radian
Ukuran radian dan konversi derajat-radian
Tujuan pembelajaran: Konversi antara derajat dan radian serta tafsirkan radian sebagai ukuran nyata pada lingkaran.
Ide kunci
Ukuran radian menghubungkan sudut dengan lingkaran melalui panjang busur. Jika sudut \(\theta\) membentang busur sepanjang \(s\) pada lingkaran berjari-jari \(r\), maka: \[ \theta=\frac@@P8@@@@P9@@. \] Pada lingkaran satuan (\(r=1\)), ukuran radian sama dengan panjang busur: \(\theta=s\).
Ukuran radian: \(\theta=\dfrac@@P4@@\(\rightarrow\)\) (panjang busur dibagi jari-jari).
Konversi derajat \(\rightarrow\) radian: kalikan dengan \(\dfrac{\pi}@@P6@@\). Konversi radian \(\rightarrow\) derajat: kalikan dengan \(\dfrac@@P7@@{\pi}\).
Lingkaran Satuan
Lingkaran satuan dan \((\cos\theta,\sin\theta)\)
Tujuan pembelajaran: Gunakan lingkaran satuan untuk membaca \(\cos\theta\) dan \(\sin\theta\) sebagai koordinat.
Ide kunci
Lingkaran satuan adalah lingkaran \(x^2+y^2=1\) (jari-jari \(1\)). Jika sudut \(\theta\) berada dalam posisi standar, titik tempat sisi terminalnya memotong lingkaran satuan adalah: \[ (\cos\theta,\;\sin\theta). \]
\(\cos\theta\) adalah koordinat-\(x\)
\(\sin\theta\) adalah koordinat-\(y\)
Titik kuadrantal penting: \[ 0:(1,0),\quad \frac{\pi}@@P18@@:(0,1),\quad \pi:(-1,0),\quad \frac{3\pi}@@P19@@:(0,-1),\quad 2\pi:(1,0). \]
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa \(\cos(\pi/3)\) dan \(\sin(\pi/3)\)?
\(\pi/3\) adalah \(60^\circ\). Pada lingkaran satuan: \[ (\cos(\pi/3),\sin(\pi/3))=\left(\frac@@P0@@@@P1@@,\frac{\sqrt@@P2@@}@@P3@@\right). \] Jadi \(\cos(\pi/3)=\frac\[ (\cos(\pi/3),\sin(\pi/3))=\left(\frac@@P0@@@@P1@@,\frac{\sqrt@@P2@@}@@P3@@\right). \]@@P5@@\) dan \(\sin(\pi/3)=\frac{\sqrt@@P6@@}@@P7@@\).
Coba
Coba 1: Berapa \(\sin(0)\)?
Petunjuk: Saat \(\theta=0\), titik lingkaran satuan adalah \((1,0)\), jadi \(\sin(0)\) adalah koordinat-\(y\).
Pada lingkaran satuan, \((\cos\theta,\sin\theta)\) memberi titik pada sudut \(\theta\).
Sudut kuadrantal memberi nilai eksak cepat (seperti \(\sin(\pi/2)=1\), \(\cos(\pi)= -1\)).
Sudut Istimewa
Sudut istimewa dan nilai trigonometri eksak
Tujuan pembelajaran: Ingat nilai eksak \(\sin\), \(\cos\), dan \(\tan\) untuk \(\tfrac{\pi}@@P2@@\), \(\tfrac{\pi}@@P3@@\), \(\tfrac{\pi}@@P4@@\) (dan sudut terkait).
Ide kunci
Sudut istimewa berasal dari segitiga siku-siku istimewa:
Petunjuk: Gunakan \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) dan nilai segitiga istimewa pada \(30^\circ\).
Ringkasan
Sudut istimewa memberi nilai eksak untuk \(\sin\) dan \(\cos\), lalu \(\tan=\dfrac{\sin}{\cos}\).
Hafalkan atau bangun kembali nilai untuk \(\tfrac{\pi}@@P4@@,\tfrac{\pi}@@P5@@,\tfrac{\pi}@@P6@@\) menggunakan segitiga atau tabel lingkaran satuan.
Sudut Acuan
Sudut acuan dan aturan tanda kuadran
Tujuan pembelajaran: Temukan sudut acuan dan pilih tanda yang benar untuk \(\sin\), \(\cos\), dan \(\tan\) berdasarkan kuadran.
Ide kunci
Sudut acuan adalah sudut lancip antara sisi terminal \(\theta\) dan sumbu-\(x\). Ini membantu Anda menggunakan nilai sudut istimewa yang sudah dikenal lalu menerapkan tanda yang benar berdasarkan kuadran.
Untuk sudut \(\theta\) dalam \([0,2\pi)\):
Kuadran I: \(\alpha=\theta\)
Kuadran II: \(\alpha=\pi-\theta\)
Kuadran III: \(\alpha=\theta-\pi\)
Kuadran IV: \(\alpha=2\pi-\theta\)
Aturan tanda:
QI: \(\sin,+\;\cos,+\;\tan,+\)
QII: \(\sin,+\;\cos,-\;\tan,-\)
QIII: \(\sin,-\;\cos,-\;\tan,+\)
QIV: \(\sin,-\;\cos,+\;\tan,-\)
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa sudut acuan untuk \(5\pi/4\) radian?
\(5\pi/4=225^\circ\), yang berada di Kuadran III. Sudut acuan di QIII adalah: \[ \alpha=\theta-\pi=\frac{5\pi}@@P0@@-\pi=\frac{5\pi}@@P1@@-\frac{4\pi}@@P2@@=\frac{\pi}@@P3@@. \]
Coba
Coba 1: Apa tanda dari \(\sin\!\left(\tfrac{2\pi}@@P2@@\right)\)?
Petunjuk: \(2\pi/3=120^\circ\) berada di Kuadran II, tempat \(\sin\) bernilai positif.
Petunjuk: \(2\pi/3\) memiliki sudut acuan \(\pi/3\), dan \(\tan\) bernilai negatif di Kuadran II.
Ringkasan
Sudut acuan memberi ukuran “sudut istimewa”; kuadran memberi tanda.
Selalu identifikasi kuadran sebelum memberi tanda \(+\) atau \(-\) pada \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).
Simetri
Sudut negatif dan identitas genap/ganjil
Tujuan pembelajaran: Gunakan simetri untuk mengevaluasi fungsi trigonometri pada sudut negatif dengan cepat dan benar.
Ide kunci
Lingkaran satuan bersifat simetris, yang menghasilkan identitas kuat:
Cosinus genap: \(\cos(-\theta)=\cos(\theta)\)
Sinus ganjil: \(\sin(-\theta)=-\sin(\theta)\)
Tangen ganjil: \(\tan(-\theta)=-\tan(\theta)\)
Ini memungkinkan Anda mengubah sudut negatif menjadi sudut positif yang sudah dikenal.
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa \(\cos(-\pi)\)?
Cosinus genap, jadi \(\cos(-\pi)=\cos(\pi)\). Pada lingkaran satuan, \(\pi\) sesuai dengan titik \((-1,0)\), jadi: \[ \cos(\pi)=-1 \quad\Rightarrow\quad \cos(-\pi)=-1. \]
Coba
Coba 1: Berapa \(\cos(-\pi/3)\)?
Petunjuk: \(\cos\) genap, jadi \(\cos(-\pi/3)=\cos(\pi/3)\).
Coba 2: Berapa \(\sin(-\pi/2)\)?
Petunjuk: \(\sin\) ganjil, jadi \(\sin(-\pi/2)=-\sin(\pi/2)\).
Ringkasan
\(\cos\) genap; \(\sin\) dan \(\tan\) ganjil.
Gunakan simetri untuk mengubah sudut negatif menjadi sudut positif yang familier.
Periodisitas
Sudut koterminal dan fungsi trigonometri periodik
Tujuan pembelajaran: Sederhanakan sudut menggunakan periodisitas dan evaluasi fungsi trigonometri pada sudut di luar \(2\pi\).
Ide kunci
Sudut disebut koterminal jika berbeda sebesar satu putaran penuh: \[ \theta \text{ and } \theta + 2k\pi \quad (k\in\mathbb@@P4@@). \] Fungsi trigonometri berulang: \[ \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta,\quad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta,\quad \tan(\theta+\pi)=\tan\theta. \] Ini memungkinkan Anda menyederhanakan sudut seperti \(5\pi/2\), \(11\pi/6\), \(9\pi/4\), dan lainnya.
\(\tfrac{3\pi}@@P0@@=135^\circ\) berada di Kuadran II. Sudut acuannya \(\pi/4\), dan \(\tan(\pi/4)=1\). Tangen bernilai negatif di Kuadran II, jadi: \[ \tan\left(\frac{3\pi}@@P1@@\right)=-1. \]
Coba
Coba 1: Berapa \(\sin\!\left(\pi/2\right)\)?
Petunjuk: \(\pi/2\) berada di puncak lingkaran satuan pada \((0,1)\).
Coba 2: Berapa \(\sin\!\left(3\pi/4\right)\)?
Petunjuk: \(3\pi/4\) berada di Kuadran II dengan sudut acuan \(\pi/4\). Sinus bernilai positif di QII.
Rekap akhir
Radian mengukur sudut dengan panjang busur: \(\theta=\dfrac@@P10@@\(\leftrightarrow\)\). Konversi derajat \(\leftrightarrow\) radian menggunakan \(\dfrac{\pi}@@P12@@\) dan \(\dfrac@@P13@@{\pi}\).
Koordinat lingkaran satuan: \((\cos\theta,\sin\theta)\). Cosinus adalah \(x\); sinus adalah \(y\).
Sudut istimewa (\(\tfrac{\pi}@@P14@@,\tfrac{\pi}@@P15@@,\tfrac{\pi}@@P16@@\)) memberi nilai eksak; \(\tan=\dfrac{\sin}{\cos}\).
Sudut acuan + tanda kuadran menjaga jawaban benar untuk sudut apa pun.
Simetri: \(\cos(-\theta)=\cos\theta\), \(\sin(-\theta)=-\sin\theta\). Periodisitas: \(\sin,\cos\) berulang setiap \(2\pi\); \(\tan\) berulang setiap \(\pi\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan lingkaran satuan yang Anda butuhkan (konversi, sudut istimewa, sudut acuan, simetri, atau periodisitas).
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+