微分の応用 の練習問題とステップ別レッスン

正解: C. \(4\) 単位/秒

解説: 直径 \(d=2r\) なので、微分すると \(dd/dt = 2\cdot dr/dt = 2\cdot2 = 4\) 単位/秒 となります。

正解: B. 正方形

解説: \(2x+2y=P\) かつ面積 \(A=xy\) なので、対称性（\(x=y\)）により \(A\) が最大になります。したがって、その長方形は正方形です。

正解: C. \(12\ \text{単位}^3/\text{秒}\)

解説: 体積 \(V = a^3\) です。微分すると、\(\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}\) となります。\(a=2\) かつ \(\frac{da}{dt}=1\) のとき、\(\frac{dV}{dt} = 3\cdot2^2\cdot1 = 12\ \text{単位}^3/\text{秒}\) です。

正解: C. \(10\ \text{単位}^2/\text{秒}\)

解説: 面積 \(A = 5w\) です。微分すると、\(\frac{dA}{dt} = 5\,\frac{dw}{dt} = 5\cdot2 = 10\ \text{単位}^2/\text{秒}\) となります。

正解: A. \(5\) と \(5\)

解説: 数を \(x\) と \(10-x\) とします。積 \(P=x(10-x)\) は \(x=5\) で最大になるので、組は \((5,5)\) です。

正解: D. 球

解説: 変分法によれば、与えられた体積に対して表面積を最小にするのは球です。

正解: B. \(2\pi\ \text{単位}/\text{秒}\)

解説: 円周 \(C = 2\pi r\) です。微分すると、\(\frac{dC}{dt} = 2\pi\,\frac{dr}{dt} = 2\pi\cdot1 = 2\pi\ \text{単位}/\text{秒}\) となります。

正解: D. \(12\pi\ \text{単位}^2/\text{秒}\)

解説: 面積 \(A = \pi r^2\) です。微分すると、\(\frac{dA}{dt} = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}\) となります。\(r=3\) かつ \(\frac{dr}{dt}=2\) のとき、\(\frac{dA}{dt} = 2\pi\cdot3\cdot2 = 12\pi\ \text{単位}^2/\text{秒}\) です。

正解: A. \(12\ \text{単位}^2/\text{秒}\)

解説: 面積 \(A = s^2\) なので、\(\frac{dA}{dt} = 2s\,\frac{ds}{dt} = 2\cdot3\cdot2 = 12\) です。

正解: A. \(4\ \text{単位}/\text{分}\)

解説: 周長 \(P = 4s\) なので、\(dP/dt = 4\,ds/dt = 4\cdot1 = 4\) です。