練習セット
微分の応用 の練習クイズと即時スコア
下の 10 問すべてに答えると、最終スコアと間違いの見直しが表示され、何を改善すべきかがわかります。
\(s(t)=\tfrac12 t^4\) のとき、\(t=2\) における加速度は何ですか?
正解: B. \(24\)
解説: 加速度 \(d^2s/dt^2 = 6t^2\)；\(t=2\) では、\(6\cdot 4=24\) です。
正方形の1辺が \(1\) 単位/分 で増加しているとき、周長はどのくらいの速さで増加しますか？
正解: A. \(4\ \text{単位}/\text{分}\)
解説: 周長 \(P = 4s\) なので、\(dP/dt = 4\,ds/dt = 4\cdot1 = 4\) です。
\(y = \sin(x)\) で、\(x = \pi/2\) のとき \(dx/dt = 2\) なら、\(dy/dt\) はいくつですか？
正解: C. \(0\)
解説: 微分すると、\(dy/dt = \cos(x)\,dx/dt\) です。\(x=\pi/2\) では、\(\cos(\pi/2)=0\) なので、\(dy/dt=0\) です。
\(g(x) = x^2 - 6x + 5\) を最小にする \(x\) の値はどれですか?
正解: C. \(3\)
解説: \(g'(x) = 2x - 6 = 0\) からの臨界点より、\(x = 3\) です。
油漏れが広がって円を作っています。半径が \(3\) 単位/時 で増加しているとき、\(r=2\) のときの面積はどのくらいの速さで増加しますか？
正解: A. \(12\pi\ \text{平方単位}/\text{時}\)
解説: 面積 \(A=\pi r^2\) です。微分すると、\(dA/dt=2\pi r\,dr/dt=2\pi\cdot2\cdot3=12\pi\) となります。
\(s(t)=\tfrac12 t^4\) のとき、\(t=2\) における速度は何ですか?
正解: A. \(16\)
解説: 速度 \(ds/dt = 2t^3\)；\(t=2\) では、\(2\cdot 8=16\) です。
長さ 5 単位のはしごが壁をすべり落ちており、上端は \(2\) 単位/秒で下がっています。上端が \(4\) のとき、下端はどの速さで動いていますか?
正解: D. \(\frac{8}{3}\ \text{単位}/\text{秒}\)
解説: \(x^2+y^2=25\) より、両辺を微分すると \(x\,dx/dt+y\,dy/dt=0\) です。ここで \(y=4,dy/dt=-2\) なので、\(dx/dt=8/3\) と求まります。
2 つの正の数は差が \(2\) で、和が \(10\) です。その 2 数は何ですか?
正解: A. \(4\) と \(6\)
解説: 数を \(x\) と \(x+2\) とします。和より、\(2x+2=10\) なので \(x=4,\;y=6\) です。
\(R(p)=p(100-p)\) が与えられるとき、どの価格 \(p\) が収益を最大にしますか?
正解: A. \(50\)
解説: 導関数 \(dR/dp = 100 - 2p\)；これを0とおくと \(p=50\) です。
周の長さが 40 単位の長方形があります。どの寸法で面積が最大になりますか？
正解: A. \(10\) × \(10\)
解説: \(2(x+y)=40\) より、\(y=20-x\) です。面積 \(A=x(20-x)\) は、\(x=y=10\) のとき最大になります。
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