練習セット
積分と原始関数 の練習クイズと即時スコア
下の 10 問すべてに答えると、最終スコアと間違いの見直しが表示され、何を改善すべきかがわかります。
\(x^4\,dx\) の積分は何ですか？
正解: C. \(\tfrac{x^5}{5} + C\)
解説: べき乗則: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\)。ここでは \(n=4\) なので、\(x^5/5 + C\) です。
\(\sin(3x)\,dx\) の積分は何ですか?
正解: B. \(-\tfrac{1}{3}\cos(3x) + C\)
解説: 逆連鎖律：\(3\) で割り、\(\sin(u)\) を積分して \(-\cos(u)\) を得ると、\(-1/3\cos(3x) + C\) になります。
\(5\,dx\) の積分は何ですか？
\(3x^2\,dx\) の積分は何ですか？
\((x+1)^{-1/2}\,dx\) の積分は何ですか？
正解: A. \(2(x+1)^{1/2}+C\)
解説: べき乗則: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\)。ここでは \(n=-1/2\) なので、\((x+1)^{1/2}/(1/2)+C = 2(x+1)^{1/2}+C\) です。
\(\csc(x)\cot(x)\,dx\) の積分は何ですか？
正解: C. \(-\csc(x) + C\)
解説: \(-\csc x\) の導関数が \(\csc x\cot x\) であることに気づくと、\(\int\csc x\cot x\,dx=-\csc x + C\) です。
\(2e^{-5x}\,dx\) の積分は何ですか？
正解: D. \(-\tfrac{2}{5}e^{-5x}+C\)
解説: 逆連鎖律: \(\int e^{ax}dx=\tfrac{1}{a}e^{ax}+C\) です。ここでは \(a=-5\) で、定数 2 があるので、\(2\times\tfrac{1}{-5}e^{-5x}+C = -\tfrac{2}{5}e^{-5x}+C\) です。
\(\ln(x)\,dx\) の積分は何ですか？
正解: D. \(x\ln(x)-x+C\)
解説: 部分積分を使います。\(u=\ln x\)、\(dv=dx\) とおくと、\(du=dx/x\)、\(v=x\) です。したがって \(\int \ln x dx = x\ln x - \int 1 dx = x\ln x - x + C\) です。
\(\frac{2x}{x^2+1}\,dx\) の積分は何ですか？
正解: A. \(\ln(x^2+1)+C\)
解説: 置換: \(u=x^2+1\) とおくと、\(du=2x\,dx\) なので、\(\int2x/(x^2+1)dx=\int du/u=\ln|u|+C=\ln(x^2+1)+C\) です。
\(e^x\,dx\) の積分は何ですか？
正解: A. \(e^x + C\)
解説: \(e^x\) の原始関数はそれ自身です: \(\int e^x dx = e^x + C\) です。
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