積分と原始関数 の練習問題とステップ別レッスン

正解: D. \(e^{x^2}+C\)

解説: 逆連鎖律: \(u=x^2\) とおくと、\(du=2x\,dx\) なので、\(\int2x e^{x^2}dx=\int e^u du=e^u+C=e^{x^2}+C\) です。

正解: D. \(\tfrac{x^2}{2} + C\)

解説: べき乗則: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\)；ここでは \(n=1\) なので、\(\int x dx = x^2/2 + C\) です。

正解: A. \(\tfrac{x^3}{3} + C\)

解説: べき乗則: \(\int x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C\)；ここでは \(n=2\) なので、\(\int x^2 dx = x^3/3 + C\) です。

正解: A. \(e^x + C\)

解説: \(e^x\) の原始関数はそれ自身です: \(\int e^x dx = e^x + C\) です。

正解: D. \(3e^x + C\)

解説: 定数倍の法則: \(\int3e^x dx = 3\int e^x dx = 3e^x + C\) です。

正解: C. \(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\)

解説: 逆連鎖律: \(\int e^{ax}dx=\tfrac{1}{a}e^{ax}+C\)；ここでは \(a=2\) なので、\(\tfrac{1}{2}e^{2x}+C\) です。

正解: D. \(-\cos(x)+C\)

解説: \(\sin x\) の原始関数は \(-\cos x\) なので、\(\int \sin x\,dx=-\cos x+C\) です。

正解: D. \(\sin(x)+C\)

解説: \(\cos x\) の原始関数は \(\sin x\) なので、\(\int \cos x\,dx=\sin x+C\) です。

正解: A. \(\tan(x)+C\)

解説: \(\sec^2 x\) の原始関数は \(\tan x\) なので、\(\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\) です。

正解: A. \(\ln|x|+C\)

解説: \(1/x\) の原始関数は \(\ln|x|\) なので、\(\int \tfrac1x dx=\ln|x|+C\) です。