도함수의 응용 연습문제와 단계별 학습

정답: C. \(4\ \text{단위/초}\)

해설: 지름은 \(d=2r\) 이므로 미분하면 \(\frac{dd}{dt} = 2\cdot \frac{dr}{dt} = 2\cdot2 = 4\ \text{단위/초}\)이다.

정답: B. 정사각형

해설: \(2x+2y=P\) 이고 넓이 \(A=xy\) 이므로, 대칭성(\(x=y\))에 의해 \(A\)가 최대가 되며, 따라서 이 직사각형은 정사각형이다.

정답: C. \(12\ \text{단위}^3/\text{초}\)

해설: 부피 \(V = a^3\) 이다. 미분하면 \(\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}\) 이다. \(a=2\) 이고 \(\frac{da}{dt}=1\) 일 때: \(\frac{dV}{dt} = 3\cdot2^2\cdot1 = 12\ \text{단위}^3/\text{초}\).

정답: C. \(10\ \text{단위}^2/\text{초}\)

해설: 넓이는 \(A = 5w\) 이다. 미분하면 \(\frac{dA}{dt} = 5\,\frac{dw}{dt} = 5\cdot2 = 10\ \text{단위}^2/\text{초}\).

정답: A. \(5\)와 \(5\)

해설: 수를 \(x\) 와 \(10-x\) 로 두자. 곱 \(P=x(10-x)\) 는 \(x=5\) 에서 최대가 되므로, 쌍은 \((5,5)\) 이다.

정답: D. 구

해설: 변분법에 따르면, 같은 부피에 대해 구가 겉넓이를 최소화한다.

정답: B. \(2\pi\ \text{단위/초}\)

해설: 둘레는 \(C = 2\pi r\) 이다. 미분하면 \(\frac{dC}{dt} = 2\pi\,\frac{dr}{dt} = 2\pi\cdot1 = 2\pi\ \text{단위/초}\).

정답: D. \(12\pi\ \text{단위}^2/\text{초}\)

해설: 넓이는 \(A = \pi r^2\) 이다. 미분하면 \(\frac{dA}{dt} = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}\) 이다. \(r=3\) 이고 \(\frac{dr}{dt}=2\) 일 때: \(\frac{dA}{dt} = 2\pi\cdot3\cdot2 = 12\pi\ \text{단위}^2/\text{초}\).

정답: A. \(12\ \text{단위}^2/\text{초}\)

해설: 넓이는 \(A = s^2\) 이므로, \(\frac{dA}{dt} = 2s\,\frac{ds}{dt} = 2\cdot3\cdot2 = 12\) 이다.

정답: A. \(4\ \text{단위/분}\)

해설: 둘레는 \(P = 4s\) 이므로, \(\frac{dP}{dt} = 4\,\frac{ds}{dt} = 4\cdot1 = 4\) 이다.