Questionário de Prática de Posto-Nulidade e Argumentos de Dimensão com Aula Interativa Passo a Passo
Use a série de perguntas mais abaixo na página para praticar posto-nulidade e argumentos de dimensão: calcular \(\dim\ker T\) e \(\dim\operatorname{Im}T\), usar \(\dim V=\operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T\), lembrar que o posto é no máximo \(\min(\dim V,\dim W)\), decidir quando aplicações podem ser injetivas ou sobrejetivas, ler aplicações matriciais pela dimensão do domínio e pelo posto, e provar afirmações de impossibilidade antes de fazer álgebra. Se quiser revisar, abra a aula para exemplos e verificações rápidas.
Responda à série de perguntas e revise seus erros no final.
Como esta prática de posto-nulidade funciona
1. Faça a série de prática: responda às perguntas sobre posto, nulidade, injetividade, sobrejetividade e dimensões de matrizes mais abaixo na página.
2. Abra a aula: revise o teorema, limites de posto, equivalências para aplicações entre espaços de mesma dimensão e erros comuns com exemplos resolvidos.
3. Tente novamente: volte à série de perguntas e conte dimensões antes de resolver sistemas.
O que você vai aprender na aula de posto-nulidade e argumentos de dimensão
Objetivo: Usar posto-nulidade como uma ferramenta de contagem de dimensões. A meta é passar rapidamente entre uma aplicação linear \(T:V\to W\), seu núcleo, sua imagem e afirmações como injetiva, sobrejetiva, posto completo, posto deficiente e invertível.
Critérios de sucesso
Enunciar posto-nulidade na forma \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\).
Lembrar que a dimensão do domínio, não a dimensão do contradomínio, fica à esquerda.
Calcular valores faltantes de posto ou nulidade a partir de dados simples.
Usar \(\operatorname{rank}T\le \min(\dim V,\dim W)\) para rejeitar afirmações impossíveis.
Reconhecer injetividade como nulidade \(0\), e sobrejetividade como posto \(\dim W\).
Usar dimensões finitas iguais para transformar injetiva em sobrejetiva e sobrejetiva em injetiva.
Para uma matriz \(m\times n\), usar \(n\) como dimensão do domínio.
Construir argumentos curtos de dimensão antes de fazer cálculos coordenados.
Vocabulário-chave
Núcleo: \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\).
Imagem: \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\).
Posto: \(\dim\operatorname{Im}T\).
Nulidade: \(\dim\ker T\).
Posto completo por colunas: o posto é igual ao número de colunas, então a aplicação matricial é injetiva.
Posto completo por linhas: o posto é igual ao número de linhas, então a aplicação matricial é sobrejetiva sobre o contradomínio.
Pré-verificação rápida
Pré-verificação 1: Se \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2\) tem posto \(2\), quanto é \(\dim\ker T\)?
Dica: Use \(4=2+\dim\ker T\).
Pré-verificação 2: Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) pode ser sobrejetiva?
Dica: A dimensão da imagem não pode exceder a dimensão do domínio.
Posto-nulidade conta dimensões do domínio
Objetivo de aprendizagem: Usar posto-nulidade para encontrar uma dimensão faltante sem resolver todo o sistema linear.
Ideia-chave
Para uma aplicação linear \(T:V\to W\) com domínio de dimensão finita, \[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T.\] A dimensão da imagem é o posto, e a dimensão do núcleo é a nulidade. O teorema divide o domínio em direções que colapsam para \(0\) e direções que produzem saídas independentes.
Lista de reconhecimento
Identifique o domínio \(V\).
Encontre a dimensão do domínio \(\dim V\).
Traduza a dimensão da imagem em posto.
Traduza a dimensão do núcleo em nulidade.
Resolva a equação de um passo \(\dim V=\operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T\).
Exemplo resolvido
Exemplo: Se \(T:\mathbb{R}^7\to\mathbb{R}^3\) é sobrejetiva, quanto é \(\dim\ker T\)?
Sobrejetiva significa \(\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3\), então \(\operatorname{rank}T=3\). Posto-nulidade dá \[7=\dim\ker T+3,\] portanto \(\dim\ker T=4\).
Pratique
Pratique 1: Se \(T:\mathbb{R}^6\to\mathbb{R}^4\) tem posto \(4\), qual é sua nulidade?
Dica: Posto e nulidade somam a dimensão do domínio \(6\).
Pratique 2: Uma aplicação linear a partir de um espaço de dimensão \(9\) tem posto \(4\). Qual é sua nulidade?
Dica: Use \(9=4+\operatorname{nullity}T\).
O posto não pode exceder nenhum dos lados
Objetivo de aprendizagem: Usar limites de dimensão para decidir se um posto, uma injeção ou uma sobrejeção propostos são possíveis.
Ideia-chave
Para \(T:V\to W\), a imagem é criada a partir de vetores em \(V\), mas vive dentro de \(W\). Portanto \[\operatorname{rank}T\le \dim V,\qquad \operatorname{rank}T\le \dim W,\] logo \(\operatorname{rank}T\le \min(\dim V,\dim W)\).
Exemplo resolvido
Exemplo: Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3\) pode ter posto \(4\)?
Não. A imagem é um subespaço de \(\mathbb{R}^3\), então sua dimensão é no máximo \(3\). Posto \(4\) é impossível antes mesmo de conhecer qualquer fórmula para \(T\).
Pratique
Pratique 1: O posto de uma aplicação linear \(V\to W\) é no máximo o quê?
Dica: A imagem não pode ter mais direções independentes do que o domínio fornece ou do que o contradomínio pode conter.
Pratique 2: Se \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^7\) é injetiva, qual é sua nulidade?
Dica: Injetiva significa que nenhum vetor não nulo é enviado para \(0\).
Resumo
O posto nunca é maior que a dimensão do domínio.
O posto nunca é maior que a dimensão do contradomínio.
Domínio pequeno para contradomínio grande pode ser injetivo, mas não sobrejetivo.
Domínio grande para contradomínio pequeno pode ser sobrejetivo, mas não injetivo.
Use posto e nulidade para testar aplicações
Objetivo de aprendizagem: Traduzir injetiva e sobrejetiva para a linguagem de posto-nulidade.
Ideia-chave
Uma aplicação linear \(T:V\to W\) é injetiva exatamente quando \(\ker T=\{0\}\), então a nulidade é \(0\) e o posto é \(\dim V\). Ela é sobrejetiva exatamente quando \(\operatorname{Im}T=W\), então o posto é \(\dim W\). Esses requisitos são diferentes, a menos que \(\dim V=\dim W\).
Exemplo resolvido
Exemplo: Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2\) pode ser injetiva?
Não. A injetividade exigiria nulidade \(0\), então posto \(4\). Mas o posto é no máximo a dimensão do contradomínio \(2\). Portanto algum vetor não nulo deve estar no núcleo.
Pratique
Pratique 1: Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^3\) pode ser sobrejetiva?
Dica: A sobrejetividade só exige posto \(3\), que está dentro do limite possível para o posto.
Pratique 2: Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) pode ser injetiva?
Dica: A injetividade exigiria posto \(3\), mas o contradomínio só tem dimensão \(2\).
Para matrizes \(m\times n\), o domínio tem dimensão \(n\)
Objetivo de aprendizagem: Aplicar posto-nulidade a aplicações matriciais sem confundir linhas e colunas.
Ideia-chave
Uma matriz \(A\) de tamanho \(m\times n\) define \(x\mapsto Ax\) de \(\mathbb{R}^n\) para \(\mathbb{R}^m\). Posto-nulidade usa a dimensão do domínio \(n\): \[n=\operatorname{rank}A+\operatorname{nullity}A.\] Linhas descrevem o tamanho do contradomínio; colunas descrevem as coordenadas de entrada.
Exemplo resolvido
Exemplo: Se uma matriz \(2\times5\) tem posto \(2\), qual é sua nulidade?
A aplicação vai de \(\mathbb{R}^5\) para \(\mathbb{R}^2\), então a dimensão do domínio é \(5\). Posto-nulidade dá \(5=2+\operatorname{nullity}A\), então a nulidade é \(3\).
Pratique
Pratique 1: Se uma matriz \(5\times2\) tem posto \(2\), o que se pode dizer sobre a aplicação matricial associada a ela?
Dica: O posto é igual ao número de colunas, então a nulidade é \(0\).
Pratique 2: Se uma matriz \(4\times4\) tem posto \(3\), qual é a dimensão de seu espaço nulo?
Dica: A dimensão do domínio é \(4\).
Aplicações quadradas reduzem muitos testes a um só
Objetivo de aprendizagem: Usar dimensões finitas iguais para conectar injetividade, sobrejetividade, posto completo e invertibilidade.
Ideia-chave
Quando \(T:V\to W\) e \(\dim V=\dim W=n\), as seguintes condições são equivalentes: \(T\) é injetiva, \(T\) é sobrejetiva, \(\operatorname{rank}T=n\), \(\operatorname{nullity}T=0\), e \(T\) é um isomorfismo. Para uma matriz \(n\times n\), essas condições também são equivalentes à invertibilidade.
Exemplo resolvido
Exemplo: Se \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) é sobrejetiva, o que mais segue?
Sobrejetiva significa posto \(3\). Posto-nulidade dá \(3=3+\operatorname{nullity}T\), então a nulidade é \(0\). Portanto, \(T\) também é injetiva.
Pratique
Pratique 1: Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) tem núcleo \(\{0\}\). O que segue?
Dica: Núcleo zero dá injetividade; dimensões finitas iguais transformam isso em sobrejetividade.
Pratique 2: Para uma matriz quadrada \(n\times n\), posto \(n\) é equivalente a quê?
Dica: Matrizes quadradas de posto completo têm núcleo zero e alcançam todo o contradomínio.
Try it 3: If \(\dim V=3\) and \(\dim W=5\), can \(V\) and \(W\) be isomorphic?
Hint: Finite-dimensional isomorphic spaces must have the same dimension.
Prove a impossibilidade antes de calcular
Objetivo de aprendizagem: Transformar posto-nulidade em argumentos curtos sobre o que uma aplicação pode ou não pode fazer.
Ideia-chave
Um argumento de dimensão muitas vezes tem esta forma: suponha a propriedade desejada, traduza-a em posto ou nulidade e depois compare com o limite de posto. Isso é mais rápido do que resolver para todos os vetores quando as dimensões já decidem a questão.
Exemplo resolvido
Exemplo: Explique por que nenhuma aplicação linear de um espaço de dimensão \(2\) para um espaço de dimensão \(3\) pode ser sobrejetiva.
A imagem é gerada por entradas de um domínio de dimensão \(2\), então sua dimensão é no máximo \(2\). A sobrejetividade sobre um contradomínio de dimensão \(3\) exigiria posto \(3\). Como \(3>2\), a sobrejetividade é impossível.
Pratique
Pratique 1: Se \(\dim V=4\) e \(T:V\to W\) é injetiva, quanto é \(\operatorname{rank}T\)?
Dica: Injetividade significa nulidade \(0\), então todas as quatro dimensões do domínio aparecem na imagem.
Pratique 2: Se \(\dim V=6\) e \(\dim\ker T=6\), o que é \(\operatorname{Im}T\)?
Dica: O núcleo já usa todas as dimensões do domínio, deixando posto \(0\).
Evite os erros comuns de dimensão
Objetivo de aprendizagem: Manter separados os papéis de domínio, contradomínio, posto e nulidade.
Armadilhas comuns
Lado errado: posto-nulidade usa \(\dim V\), a dimensão do domínio.
Pequeno demais para cobrir: se \(\dim V<\dim W\), nenhuma aplicação \(V\to W\) é sobrejetiva.
Grande demais para injetar: se \(\dim V>\dim W\), nenhuma aplicação \(V\to W\) é injetiva.
Posto completo significa posto máximo possível: para matrizes retangulares, isso pode significar injetiva ou sobrejetiva, nem sempre ambas.
Posto \(0\): a imagem é \(\{0\}\), então uma aplicação linear é a aplicação zero.
Exemplo resolvido
Exemplo: Se \(\dim V=4\) e \(\operatorname{rank}T=0\), o que é \(T\)?
Posto \(0\) significa que a imagem tem dimensão \(0\), então a imagem é \(\{0\}\). Toda entrada é enviada para \(0\), que é exatamente a aplicação zero.
Pratique
Pratique 1: Se \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4\) tem nulidade \(2\), ela pode ser sobrejetiva?
Dica: Nulidade \(2\) dá posto \(2\), não posto \(4\).
Pratique 2: Se \(\dim V=5\) e \(\operatorname{rank}T=0\), quanto é \(\dim\ker T\)?
Posto é \(\dim\operatorname{Im}T\); nulidade é \(\dim\ker T\).
Injetiva significa nulidade \(0\); sobrejetiva significa posto \(\dim W\).
O posto é no máximo \(\min(\dim V,\dim W)\).
Uma matriz \(m\times n\) usa \(n\) como dimensão do domínio.
Em dimensões finitas iguais, injetiva e sobrejetiva são equivalentes.
Próximo passo: Feche esta aula e tente o questionário novamente. Antes de calcular, pergunte: qual é a dimensão do domínio, qual é o maior posto possível e qual condição o problema está pedindo?
Série de prática
Perguntas de prática de Posto-nulidade e argumentos de dimensão com pontuação instantânea
Responda às 10 perguntas abaixo e receba sua pontuação final com uma revisão de erros para saber exatamente o que melhorar.
0/10respondidas
Pergunta 1Não respondida
Se \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2\) tem posto \(2\), qual é \(\dim(\ker T)\)?
Resposta correta: B. \(2\)
Explicação: O teorema posto-nulidade dá \(4=2+\dim(\ker T)\).
Pergunta 2Não respondida
Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) pode ser sobrejetiva?
Resposta correta: B. Não, porque o domínio é pequeno demais
Explicação: Não. Seu posto é no máximo \(2\), mas a sobrejetividade sobre \(\mathbb{R}^3\) exige posto \(3\).
Pergunta 3Não respondida
Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) pode ser injetiva?
Resposta correta: B. Não, seu núcleo não pode ser \(\{0\}\)
Explicação: Não. O posto é no máximo \(2\), então a nulidade é pelo menos \(1\).
Pergunta 4Não respondida
Se \(T:\mathbb{R}^5\to W\) tem nulidade \(3\), qual é seu posto?
Resposta correta: D. \(2\)
Explicação: O teorema posto-nulidade dá \(5=\operatorname{rank}T+3\).
Pergunta 5Não respondida
Se \(T:V\to W\) é injetiva e \(\dim V=4\), qual é \(\operatorname{rank}T\)?
Resposta correta: D. \(4\)
Explicação: Injetiva significa nulidade \(0\), então o posto é igual a \(\dim V\).
Pergunta 6Não respondida
Se a aplicação linear \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) é sobrejetiva, o que podemos afirmar sobre \(T\)?
Resposta correta: D. Ela é injetiva
Explicação: Em dimensões finitas iguais, para aplicações lineares, sobrejetividade e injetividade são equivalentes.
Pergunta 7Não respondida
Se \(\dim V=6\) e \(\dim(\ker T)=6\), o que é \(\operatorname{Im}T\)?
Resposta correta: D. \(\{0\}\)
Explicação: A nulidade já usa todo \(V\), então o posto é \(0\).
Pergunta 8Não respondida
Se \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4\) tem posto \(3\), \(T\) é injetiva?
Resposta correta: D. Não, porque a nulidade é \(1\)
Explicação: Não. A nulidade é \(1\), então o núcleo não é apenas \(\{0\}\).
Pergunta 9Não respondida
Se uma aplicação linear de um espaço de dimensão \(3\) tem imagem de dimensão \(1\), qual é sua nulidade?
Resposta correta: A. \(2\)
Explicação: O teorema posto-nulidade dá \(3=1+\text{nullity}\).
Pergunta 10Não respondida
Uma aplicação linear \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) tem núcleo \(\{0\}\). O que se conclui?
Resposta correta: B. \(T\) é sobrejetiva
Explicação: Em dimensões finitas iguais, injetividade implica sobrejetividade.
