Практические задания, тест и пошаговый урок по теме Делители и кратные - улучшайте математические навыки с помощью точных вопросов и понятных объяснений.
Тренировочный тест по множителям и кратным с пошаговым интерактивным уроком
Используйте тест в верхней части страницы, чтобы отрабатывать множители, кратные, простые и составные числа, НОД (наибольший общий множитель) и НОК (наименьшее общее кратное). Если нужно освежить знания, нажмите Начать урок, чтобы открыть пошаговое руководство с примерами и быстрыми проверками.
Как устроена тренировка по множителям и кратным
1. Пройдите тест: ответьте на вопросы в верхней части страницы.
2. Откройте урок (необязательно): повторите ключевые методы перечисления множителей, нахождения кратных и решения задач на НОД/НОК.
3. Попробуйте снова: вернитесь к тесту и примените то, что повторили.
Что вы изучите в уроке по множителям и кратным
Смысл и термины
Множители (делители) и кратные
Пары множителей и перечисление множителей по порядку
Простые, составные и "ни то ни другое" (число \(1\))
Стратегии перечисления
Как перечислять все множители с помощью пар множителей
Как получать и считать кратные в диапазоне
Общие множители и общие кратные
НОД и НОК
Наибольший общий множитель (НОД)
Наименьшее общее кратное (LCM)
Использование НОД/НОК для упрощения и общих знаменателей
Делимость и чувство числа
Признаки делимости для \(2,3,4,5,6,8,9,10\)
Быстрые проверки: "множитель или нет?"
Развитие сильного чувства числа для устного счета
Назад к тесту
Когда будете готовы, вернитесь к тесту в верхней части страницы и продолжайте отрабатываться.
⭐
🔢
Множители и кратные Урок
Пошаговое руководство
Нажмите, чтобы открыть ->
Загрузка...
Урок по множителям и кратным
1 / 8
Обзор урока
Обзор урока
Цель: Сформируйте ясное понимание множителей и кратных, а также изучите надежные методы для вопросов про НОД, НОК и простые/составные числа.
Критерии успеха
Объяснять, что такое множитель: число, которое делит нацело (без остатка).
Перечислять множители числа по порядку с помощью пар множителей.
Получать и считать кратные в диапазоне (например, кратные 3 до 18).
Находить общие множители и общие кратные.
Находить НОД (наибольший общий множитель / GCD / HCF) и НОК (наименьшее общее кратное), в том числе для 3 чисел.
Классифицировать числа как простые, составные или ни то ни другое (число \(1\)).
Использовать признаки делимости, чтобы быстро проверять, является ли число множителем или кратным.
Использовать НОД/НОК в реальных задачах: упрощение, общие знаменатели, расписания и прямоугольные массивы.
Ключевые термины
Множитель (делитель): число, которое делит другое число нацело.
Кратное: число, которое можно записать как \(n\times k\) для некоторого целого неотрицательного числа \(k\).
Простое число: ровно два положительных делителя (1 и само число).
Составное число: больше двух положительных делителей.
НОД (GCD/HCF): наибольший общий множитель двух или более чисел.
НОК: наименьшее общее кратное двух или более чисел.
Быстрая проверка
Проверка 1: Какое число является множителем \(12\)?
Подсказка: множитель делит \(12\) без остатка. Проверьте \(12\div 6\).
Проверка 2: Сколько множителей у \(12\)?
Подсказка: перечислите их: \(1,2,3,4,6,12\).
Множители
Множители и пары множителей
Цель обучения: Находить все множители числа и перечислять их по порядку с помощью пар множителей.
Главная идея
Множитель числа \(n\) - это целое число, которое делит \(n\) нацело. Иначе говоря, \(a\) является множителем \(n\), если \(n \div a\) имеет нулевой остаток. Множители идут парами: если \(a\) - множитель \(n\), то есть число \(b\), для которого \(a\times b = n\).
Разобранный пример
Пример: Перечислите множители \(24\)
Найдите пары множителей, произведение которых равно 24: \(1\times 24\), \(2\times 12\), \(3\times 8\), \(4\times 6\). Значит, множители \(24\) по порядку: \(1,2,3,4,6,8,12,24\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Какой третий множитель у \(12\), если перечислить их по порядку?
Подсказка: множители \(12\) по порядку: \(1,2,3,4,6,12\).
Попробуйте 2: Какой четвертый множитель у \(24\), если перечислить их по порядку?
Подсказка: множители \(24\) по порядку: \(1,2,3,4,6,8,12,24\).
Итоги
Множитель делит число нацело (без остатка).
Используйте пары множителей, чтобы перечислить все множители по порядку.
Кратные
Кратные и подсчет кратных
Цель обучения: Получать кратные, считать кратные в диапазоне и быстро распознавать некратные.
Главная идея
Кратное числа \(n\) - это число, которое получается при умножении \(n\) на целое число: \(n\times 1, n\times 2, n\times 3,\dots\). Если \(m\) кратно \(n\), то \(n\) является множителем \(m\).
Разобранный пример
Пример: Сколько кратных \(3\) есть до \(18\) включительно?
Перечислите кратные: \(3,6,9,12,15,18\). Есть 6 кратных \(3\) до \(18\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Сколько кратных \(5\) есть до \(20\) включительно?
Подсказка: кратные \(5\) до \(20\): \(5,10,15,20\).
Попробуйте 2: Какое из этих чисел НЕ кратно \(3\)?
Подсказка: кратные \(3\) делятся на \(3\) без остатка.
Итоги
Кратные получают умножением на целые числа: \(n,2n,3n,\dots\).
Чтобы посчитать кратные до границы, можно перечислить их или аккуратно использовать деление.
Простые и составные
Простые числа, составные числа и разложение на простые множители
Цель обучения: Классифицировать числа как простые или составные и использовать простые множители для описания составных чисел.
Главная идея
Простое число имеет ровно два положительных делителя: \(1\) и само себя. Составное число имеет больше двух положительных делителей. Число \(1\) не является ни простым, ни составным.
Разобранный пример
Пример: \(27\) - простое или составное?
Проверьте малые множители: \(27\div 3 = 9\), значит, \(3\) - множитель \(27\). Это означает, что у \(27\) есть множители кроме \(1\) и \(27\), поэтому оно составное. Разложение на простые множители: \(27 = 3\times 3\times 3 = 3^3\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Какое из чисел простое: \(8, 9, 10,\) или \(11\)?
Подсказка: простое число имеет ровно два множителя: \(1\) и само себя.
Попробуйте 2: Какое из этих чисел составное?
Подсказка: составное число имеет больше двух множителей.
Итоги
Простое: ровно два множителя. Составное: больше двух множителей.
Разложение на простые множители записывает составное число как произведение простых (например, \(27=3^3\)).
Наибольший общий множитель
Общие множители и наибольший общий множитель (НОД)
Цель обучения: Находить общие множители и определять наибольший общий множитель (также GCD или HCF).
Главная идея
Общие множители - это множители, общие для двух чисел. Наибольший общий множитель (НОД) - самый большой множитель, который они разделяют. Его можно найти перечислением множителей или с помощью разложения на простые множители.
Разобранный пример
Пример: Найдите НОД \(8\) и \(12\)
Множители \(8\): \(1,2,4,8\). Множители \(12\): \(1,2,3,4,6,12\). Общие множители: \(1,2,4\). Значит, НОД равен \(4\). Есть 3 общих множителя.
Попробуйте
Попробуйте 1: Сколько общих множителей у \(8\) и \(12\)?
Подсказка: общие множители: \(1,2,4\).
Попробуйте 2: Чему равен наибольший общий множитель \(14\) и \(28\)?
Подсказка: если одно число кратно другому, меньшее число является НОД.
Итоги
Общие множители - это общие делители чисел.
НОД - это наибольший общий множитель.
Наименьшее общее кратное
Общие кратные и наименьшее общее кратное (НОК)
Цель обучения: Находить общие кратные и определять наименьшее общее кратное (НОК).
Главная идея
Общие кратные - это кратные, общие для двух или более чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) - наименьшее положительное число, кратное каждому из чисел. Его можно найти перечислением кратных или с помощью разложения на простые множители.
Разобранный пример
Пример: Найдите НОК \(2\) и \(3\)
Кратные \(2\): \(2,4,6,8,\dots\) Кратные \(3\): \(3,6,9,12,\dots\) Наименьшее общее кратное - \(6\), поэтому \(\mathrm{LCM}(2,3)=6\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Какое наименьшее общее кратное у \(2\) и \(3\)?
Подсказка: перечисляйте кратные, пока не увидите совпадение: \(2,4,6,\dots\) и \(3,6,\dots\).
Попробуйте 2: Чему равно наименьшее общее кратное \(2, 3,\) и \(5\)?
Подсказка: \(30\) делится на \(2\), \(3\) и \(5\).
Итоги
Общие кратные - это общие кратные чисел.
НОК - это наименьшее положительное общее кратное.
Признаки делимости
Признаки делимости для быстрой проверки множителей и кратных
Цель обучения: Использовать признаки делимости как быстрые проверки в вопросах про множители и кратные.
Главная идея
Признаки делимости помогают быстро определить, делится ли число нацело. Вот несколько распространенных правил:
Делится на 2: последняя цифра четная (0,2,4,6,8).
Делится на 3: сумма цифр делится на 3.
Делится на 4: последние две цифры образуют число, делящееся на 4.
Делится на 5: последняя цифра 0 или 5.
Делится на 6: делится на 2 и на 3.
Делится на 9: сумма цифр делится на 9.
Делится на 10: последняя цифра 0.
Разобранный пример
Пример: Является ли \(4\) множителем и \(12\), и \(20\)?
Проверьте \(12\div 4 = 3\) (без остатка) и \(20\div 4 = 5\) (без остатка). Значит, да: \(4\) является множителем и \(12\), и \(20\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Является ли \(4\) множителем и \(12\), и \(20\)?
Подсказка: разделите \(12\) и \(20\) на \(4\). Если остатка нет, то \(4\) - множитель.
Попробуйте 2: Какое из этих чисел НЕ кратно \(6\)?
Подсказка: кратное \(6\) делится на \(6\) без остатка.
Итоги
Признаки делимости помогают быстро проверять без деления в столбик.
Используйте их, чтобы решить, является ли число множителем или кратным.
Применения и повторение
Почему множители и кратные важны
Цель обучения: Связать множители и кратные с упрощением, расписаниями и повседневной математикой — затем повторить ключевые навыки.
Где вы используете множители и кратные
Упрощение: используйте НОД, чтобы упрощать дроби и отношения.
Общие знаменатели: используйте НОК, чтобы складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.
Расписания: повторяющиеся события снова совпадают через промежуток времени, равный НОК.
Массивы и прямоугольники: пары множителей описывают возможные расположения строк и столбцов.
Разобранный пример: повторяющиеся события (НОК)
Пример: Один звонок звучит каждые 6 минут, а другой - каждые 8 минут. Когда они прозвучат вместе?
Это задача на наименьшее общее кратное: \(\mathrm{LCM}(6,8)=24\). Ответ: они звучат вместе каждые \(24\) минуты.
Попробуйте
Попробуйте 1: Сколько кратных \(7\) есть до \(28\) включительно?
Подсказка: кратные \(7\) до \(28\): \(7,14,21,28\).
Попробуйте 2: Какое число является одновременно множителем \(12\) и кратным \(3\)?
Множители делят нацело; кратные получаются умножением на целые числа.
Используйте пары множителей, чтобы перечислять множители и держать их по порядку.
Простое или составное: простое имеет ровно два множителя; составное имеет больше двух.
НОД - наибольший общий множитель; НОК - наименьшее общее кратное.
Признаки делимости помогают быстро проверять и уменьшать количество ошибок.
Следующий шаг: Закройте урок и попробуйте тест снова. Если ошибетесь в вопросе, откройте книгу и повторите страницу с нужным навыком (множители, кратные, простые/составные, НОД или НОК).
Серия 5+
Серия 10+
Серия 15+
Серия 20+
Серия 25+