Симметричные и эрмитовы матрицы имеют вещественные спектральные данные

Ключевая идея

В вещественном пространстве со скалярным произведением ключевое условие — \(A^T=A\). В комплексном пространстве со скалярным произведением соответствующее условие — \(A^*=A\), где \(A^*\) означает сопряженно-транспонированную матрицу. Эти самосопряженные условия заставляют собственные значения быть вещественными и заставляют оператор вести себя как растяжение вдоль перпендикулярных направлений.

Контрольный список распознавания

• Сначала проверьте, что матрица квадратная.
• Вещественный случай: сравните элементы относительно диагонали, то есть \(a_{ij}=a_{ji}\).
• Комплексный случай: сравните \(a_{ij}\) с \(\overline{a_{ji}}\).
• Если условие выполнено, ищите ортонормированный базис из собственных векторов, а не произвольную матрицу перехода.

Разобранный пример

Попробуйте

Разные собственные значения дают перпендикулярные собственные подпространства

Ключевая идея

Если \(Au=\lambda u\) и \(Av=\mu v\), то симметрия дает \(\langle Au,v\rangle=\langle u,Av\rangle\). Следовательно, \(\lambda\langle u,v\rangle=\mu\langle u,v\rangle\). Когда \(\lambda≠\mu\), отсюда следует \(\langle u,v\rangle=0\).

Кратные собственные значения

• Различные собственные подпространства автоматически ортогональны.
• Внутри одного собственного подпространства для кратного собственного значения векторы не обязаны автоматически быть ортогональными.
• Используйте процесс Грама-Шмидта внутри кратного собственного подпространства, чтобы выбрать ортонормированный базис.
• Объединение этих базисов по всем собственным подпространствам дает ортонормированный базис из собственных векторов, обещанный теоремой.

Разобранный пример

Попробуйте

Поместите собственные векторы в \(Q\), а собственные значения в \(D\)

Ключевая идея

Для вещественной симметричной матрицы выберите ортонормированные собственные векторы \(q_1,\dots,q_n\). Пусть \(Q\) имеет эти векторы в качестве столбцов, а \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\). Тогда \(AQ=QD\), поэтому \(A=QDQ^T\). В комплексном эрмитовом случае форма имеет вид \(A=UDU^*\).

Замечания к формулам

• Диагональные элементы \(D\) — это собственные значения, повторенные с учетом кратности.
• Столбцы \(Q\) — соответствующие единичные собственные векторы.
• Ортогональность означает \(Q^TQ=I\), поэтому \(Q^{-1}=Q^T\).
• Порядок собственных векторов может менять порядок диагональных элементов, но не сам оператор.

Разобранный пример

Попробуйте

Симметричная матрица — это взвешенная сумма ортогональных проекций

Ключевая идея

Из \(A=QDQ^T\), где столбцы — это \(q_i\), раскройте произведение и получите \[A=\sum_i \lambda_i q_iq_i^T.\] Каждая \(q_iq_i^T\) проектирует на одну единичную собственную прямую, а \(\lambda_i\) показывает, насколько сильно \(A\) растягивает это направление.

Спектральные данные

• \(\operatorname{tr}A=\sum_i\lambda_i\).
• \(\det A=\prod_i\lambda_i\).
• \(\operatorname{rank}A\) — число ненулевых собственных значений.
• \(A^k=QD^kQ^T\), поэтому собственные значения \(A^k\) равны \(\lambda_i^k\).
• Если все \(\lambda_i≠0\), то \(A^{-1}=QD^{-1}Q^T\).

Разобранный пример

Попробуйте

Знаки собственных значений классифицируют \(x^TAx\)

Ключевая идея

Если \(A=QDQ^T\) и \(y=Q^Tx\), то \[x^TAx=y^TDy=\sum_i\lambda_i y_i^2.\] Поскольку \(Q\) сохраняет длины, знаки собственных значений определяют, является ли квадратичная форма положительной, отрицательной, полуопределенной или неопределенной.

Проверки определенности

• Все собственные значения положительны: положительно определенная.
• Все собственные значения неотрицательны и хотя бы одно равно нулю: положительно полуопределенная, но не определенная.
• Все собственные значения отрицательны: отрицательно определенная.
• Все собственные значения неположительны и хотя бы одно равно нулю: отрицательно полуопределенная, но не определенная.
• Есть хотя бы одно положительное и хотя бы одно отрицательное собственное значение: неопределенная.

Разобранный пример

Попробуйте

Проекции и отношения Рэлея — спектральные примеры

Ключевая идея

Симметричная проекция \(P\) удовлетворяет \(P^2=P\) и \(P^T=P\). Если \(Pv=\lambda v\), то \(P^2v=Pv\) дает \(\lambda^2=\lambda\), поэтому \(\lambda\) равно \(0\) или \(1\). Спектральная теорема говорит, что пространство ортогонально раскладывается в прямую сумму образа и ядра проекции.

Взгляд через операторы

• Симметричные проекции имеют диагональную форму только с \(0\) и \(1\) на диагонали.
• След симметричной проекции равен ее рангу.
• Отношение Рэлея для симметричной \(A\) лежит между наименьшим и наибольшим собственными значениями.
• Операторная норма симметричной \(A\) равна \(\max_i|\lambda_i|\).

Разобранный пример

Попробуйте

Большинство ошибок игнорирует условия или базис

Типичные ошибки

• Диагонализируемости недостаточно: теореме нужна самосопряженная структура, чтобы получить ортонормированный базис из собственных векторов.
• Симметричная и кососимметричная матрицы: \(A^T=A\), а не \(A^T=-A\).
• Кратные собственные значения: внутри одного собственного подпространства может понадобиться ортонормировать базис.
• Соответствие порядка: каждый диагональный элемент в \(D\) должен соответствовать своему столбцу \(Q\).
• Определенность: нули дают полуопределенность, а не определенность.
• Матрицы проекций: \(P^2=P\) дает проекцию; \(P^T=P\) дает ортогональную проекцию в евклидовом пространстве.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоговое повторение

• Вещественная симметричная матрица означает \(A^T=A\); эрмитова означает \(A^*=A\).
• Самосопряженные матрицы имеют вещественные собственные значения.
• Различные собственные подпространства ортогональны.
• Для кратных собственных подпространств можно выбрать ортонормированные базисы.
• Вещественные симметричные матрицы удовлетворяют \(A=QDQ^T\), где \(Q\) ортогональна.
• Спектральное разложение: \(A=\sum_i\lambda_i q_iq_i^T\).
• След, определитель, ранг, степени и обратимость читаются по собственным значениям.
• Определенность квадратичной формы контролируется знаками собственных значений.
• Симметричные проекции имеют собственные значения \(0\) и \(1\).