導數的應用 練習題與逐步課程
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練習題組
導數的應用 練習題，答完立即得分
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如果圓的半徑以每秒 \(2\) 單位的速率增加，直徑增加得有多快？
正確答案： C. \(4\) 單位/秒
解說： 因為直徑 \(d=2r\)，對時間微分：\(dd/dt = 2\cdot dr/dt = 2\cdot2 = 4\) 單位/秒。
對於周長固定為 \(P\) 的長方形，哪種形狀可使面積最大？
正確答案： B. 正方形
解說： 由 \(2x+2y=P\) 且面積 \(A=xy\)，對稱性（\(x=y\)）使 \(A\) 最大，所以該長方形是正方形。
如果立方體的邊長以每秒 \(1\) 單位的速率增加，當邊長為 \(2\) 單位時，它的體積增加得有多快？
正確答案： C. \(12\ \text{單位}^3/\text{s}\)
解說： 體積 \(V = a^3\)。微分得：\(\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}\)。當 \(a=2\) 且 \(\frac{da}{dt}=1\) 時：\(\frac{dV}{dt} = 3\cdot2^2\cdot1 = 12\ \text{單位}^3/\text{s}\)。
一個長方形的高度固定為 \(5\) 單位，而其寬度以 \(2\) 單位/秒的速率擴張。它的面積增加得有多快？
正確答案： C. \(10\ \text{單位}^2/\text{s}\)
解說： 面積 \(A = 5w\)。微分得：\(\frac{dA}{dt} = 5\,\frac{dw}{dt} = 5\cdot2 = 10\ \text{單位}^2/\text{s}\)。
兩個正數的和為 \(10\)。哪一對數使它們的乘積最大？
正確答案： A. \(5\) 和 \(5\)
解說： 設這兩個數為 \(x\) 與 \(10-x\)。乘積 \(P=x(10-x)\) 在 \(x=5\) 時達到最大，因此這一對數是 \((5,5)\)。
在所有體積固定的立體中，哪一種的表面積最小？
正確答案： D. 球體
解說： 根據變分法，在給定體積下，球體的表面積最小。
如果圓的半徑以每秒 \(1\) 單位的速率增長，圓周長增加得有多快？
正確答案： B. \(2\pi\ \text{單位}/\text{s}\)
解說： 圓周長 \(C = 2\pi r\)。微分得：\(\frac{dC}{dt} = 2\pi\,\frac{dr}{dt} = 2\pi\cdot1 = 2\pi\ \text{單位}/\text{s}\)。
如果圓的半徑以每秒 \(2\) 單位的速率增長，當 \(r=3\) 時，面積增加得有多快？
正確答案： D. \(12\pi\ \text{單位}^2/\text{s}\)
解說： 面積 \(A = \pi r^2\)。微分得：\(\frac{dA}{dt} = 2\pi r\,\frac{dr}{dt}\)。當 \(r=3\) 且 \(\frac{dr}{dt}=2\) 時：\(\frac{dA}{dt} = 2\pi\cdot3\cdot2 = 12\pi\ \text{單位}^2/\text{s}\)。
正方形的邊長以每秒 \(2\) 單位的速率增加。當邊長為 \(3\) 時，它的面積增加得有多快？
正確答案： A. \(12\ \text{單位}^2/\text{s}\)
解說： 面積 \(A = s^2\)，所以 \(dA/dt = 2s\,ds/dt = 2\cdot3\cdot2 = 12\)。
如果正方形的邊長以每分鐘 \(1\) 單位的速率增加，周長增加得有多快？
正確答案： A. \(4\ \text{單位}/\text{min}\)
解說： 周長 \(P = 4s\)，所以 \(dP/dt = 4\,ds/dt = 4\cdot1 = 4\)。
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