積分的應用 練習題與逐步課程
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練習題組
積分的應用 練習題，答完立即得分
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曲線 \(y=1\) 在 \(x=0\) 到 \(x=2\) 之下的面積是多少？
正確答案： A. \(2\)
解說： \(1\) 的積分是 \(x\)。從 \(0\) 到 \(2\) 計算得 \(2 - 0 = 2\)。
將線段 \(y=x\) 從 \(x=0\) 到 \(x=1\) 繞著 \(x\) 軸旋轉所得到的立體體積是多少？
正確答案： B. \(\pi/3\)
解說： 圓盤法：\(V = \pi \int_0^1 x^2 \,dx = \pi\bigl[ x^3/3\bigr]_0^1 = \pi/3\)。
曲線 \(y=x\) 在 \(x=0\) 到 \(x=3\) 之下的面積是多少？
正確答案： B. \(9/2\)
解說： \(x\) 的積分是 \(x^2/2\)。從 \(0\) 到 \(3\)：\(9/2 - 0 = 9/2\)。
曲線 \(y=2\) 在 \(x=0\) 到 \(x=4\) 之下的面積是多少？
正確答案： B. \(8\)
解說： 常數 \(2\) 的積分是 \(2x\)。從 \(0\) 到 \(4\) 計算得 \(8\)。
曲線 \(y=x\) 在 \(x=0\) 到 \(x=5\) 之下的面積是多少？
正確答案： B. \(25/2\)
解說： \(x\) 的積分是 \(x^2/2\)。從 \(0\) 到 \(5\)：\(25/2\)。
在 \(x=0\) 到 \(x=1\) 之間，曲線 \(y=1\) 與 \(y=x\) 之間的面積是多少？
正確答案： A. \(1/2\)
解說： 對 \(1 - x\) 積分：\([x - x^2/2]_0^1 = 1/2\)。
將 \(y=\sqrt{x}\) 從 \(x=0\) 到 \(x=1\) 繞著 \(x\) 軸旋轉所得到的立體體積是多少？
正確答案： A. \(\pi/2\)
解說： 圓盤法：\(V = \pi \int_0^1 (\sqrt{x})^2 \,dx = \pi \int_0^1 x \,dx = \pi/2\)。
將 \(y = 1\) 在 \(x = 0\) 到 \(x = 2\) 之下的區域繞著 \(x\) 軸旋轉所得到的立體體積是多少？
正確答案： C. \(2\pi\)
解說： 圓盤法：\(V = \pi \int_0^2 1^2 \,dx = 2\pi\)。
將 \(y = 2\) 與 \(y = 1\) 之間、從 \(x = 0\) 到 \(x = 1\) 的區域繞著 \(x\) 軸旋轉所得到的立體體積是多少？
正確答案： A. \(3\pi\)
解說： 圓環法：\(V = \pi \int_0^1 (2^2 - 1^2) \,dx = 3\pi\)。
將 \(y = x\) 在 \(x = 0\) 到 \(x = 2\) 之下的區域繞著 \(y\) 軸旋轉所得到的立體體積是多少？
正確答案： D. \(16\pi/3\)
解說： 圓柱殼法：\(V = 2\pi \int_0^2 x\cdot x \,dx = 2\pi \int_0^2 x^2 \,dx = \tfrac{16\pi}{3}\)。
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