不動點原理 練習題與逐步課程
透過聚焦題目、即時回饋、清楚解說和逐步課程練習 不動點原理。
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練習題組
不動點原理 練習題，答完立即得分
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第 1 題
尚未作答
映射 \(f\) 的一個不動點是指一個點 \(x\)，使得：
正確答案： C. \(f(x)=x\)
解說： 不動表示映射把該點送到它自己。
第 2 題
尚未作答
\(\mathbb{R}\) 上的 \(f(x)=x/2\) 的不動點是什麼？
正確答案： B. \(0\)
解說： 解 \(x/2=x\) 得 \(x=0\)。
第 3 題
尚未作答
Banach 的不動點定理要求空間必須是：
正確答案： C. 完備
解說： 此定理適用於完備度量空間上的壓縮映射。
第 4 題
尚未作答
壓縮映射大致滿足：
正確答案： B. \(d(f(x),f(y))\le k d(x,y)\)，其中 \(k
解說： 壓縮映射會以一個小於 \(1\) 的一致因子縮小所有距離。
第 5 題
尚未作答
完備度量空間上的壓縮映射有多少個不動點？
正確答案： A. 恰好一個
解說： Banach 定理給出存在性與唯一性。
第 6 題
尚未作答
對於壓縮映射，迭代 \(x_{n+1}=f(x_n)\) 通常收斂到：
正確答案： C. \(f\) 的不動點
解說： 連續迭代會收斂到唯一的不動點。
第 7 題
尚未作答
在通常距離下，\(f(x)=x+1\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的壓縮映射嗎？
正確答案： D. 否
解說： 它保持距離不變，所以其 Lipschitz 常數是 \(1\)，而不是小於 \(1\)。
第 8 題
尚未作答
在通常距離下，\(f(x)=x/3\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的壓縮映射嗎？
正確答案： A. 是
解說： 距離會被乘上 \(1/3\)，而 \(1/3\) 小於 \(1\)。
第 9 題
尚未作答
哪一個方程是在求 \(f\) 的不動點？
正確答案： D. \(f(x)=x\)
解說： 不動點滿足 \(f(x)=x\)。
第 10 題
尚未作答
為什麼壓縮映射的不動點唯一？
正確答案： B. 兩個不動點會導致 \(d(x,y)
解說： 如果存在兩個不動點，它們之間的距離會嚴格小於它自己。
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