一致收斂 練習題與逐步課程
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練習題組
一致收斂 練習題，答完立即得分
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第 1 題
尚未作答
\(f_n\to f\) 的一致收斂是指：
正確答案： B. \(\sup_x |f_n(x)-f(x)|\to0\)
解說： 相同的誤差界必須對定義域中的所有點都成立。
第 2 題
尚未作答
\(f_n(x)=x/n\) 在 \([0,1]\) 上是否一致收斂到 \(0\)？
正確答案： D. 是
解說： 最大的誤差是 \(1/n\)，而它趨近於 \(0\)。
第 3 題
尚未作答
\(f_n(x)=x^n\) 在 \([0,1]\) 上是否一致收斂？
正確答案： C. 否
解說： 逐點極限是不連續的，而每個 \(x^n\) 都是連續的。
第 4 題
尚未作答
連續函數的一致極限是：
正確答案： D. 連續
解說： 一致收斂會保留連續性。
第 5 題
尚未作答
\(f_n(x)=1/n\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是否一致收斂到 \(0\)？
正確答案： A. 是
解說： 各處的誤差都是 \(1/n\)，因此上確界趨近於 \(0\)。
第 6 題
尚未作答
在一致收斂中，整數 \(N\) 可以依賴於：
正確答案： D. 誤差容許量 \(\varepsilon\)，而不是 \(x\)
解說： 一致收斂允許 \(N\) 依賴於誤差，但不能依賴於點 \(x\)。
第 7 題
尚未作答
魏爾斯特拉斯 M-檢驗證明什麼？
正確答案： B. 函數級數的一致收斂
解說： 若 \(|f_n|\le M_n\) 且 \(\sum M_n\) 收斂，則 \(\sum f_n\) 一致收斂。
第 8 題
尚未作答
\(x^n\) 在 \([0,1/2]\) 上是否一致收斂到 \(0\)？
正確答案： A. 是
解說： 最大的值是 \((1/2)^n\)，而它趨近於 \(0\)。
第 9 題
尚未作答
\([a,b]\) 上的一致收斂允許把極限通過：
正確答案： A. 定積分
解說： 一致收斂強到足以在緊緻區間上交換極限與積分。
第 10 題
尚未作答
哪一個量自然地衡量一致誤差？
正確答案： C. \(\sup_x |f_n(x)-f(x)|\)
解說： 一致誤差由差的上確界範數所控制。
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