الإجابة الصحيحة: D. \(\nabla f=0\)

الشرح: عند قيمة عظمى أو صغرى داخلية، يكون الشرط من الرتبة الأولى هو \(\nabla f=0\).

الإجابة الصحيحة: A. صغرى محلية

الشرح: الدالة غير سالبة وتساوي \(0\) فقط عند نقطة الأصل.

الإجابة الصحيحة: D. نقطة سرج

الشرح: الدالة موجبة على طول محور \(x\) وسالبة على طول محور \(y\).

الإجابة الصحيحة: B. صغرى محلية صارمة

الشرح: الهسيان الموجب التعيين يعطي صغرى محلية صارمة.

الإجابة الصحيحة: C. عظمى محلية صارمة

الشرح: الهسيان السالب التعيين يعطي عظمى محلية صارمة.

الإجابة الصحيحة: A. نقطة سرج

الشرح: الهسيان غير المُعرَّفة تعني أن الدالة تنحني للأعلى في بعض الاتجاهات وللأسفل في اتجاهات أخرى.

الإجابة الصحيحة: A. \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)

الشرح: التقريب الخطي يستخدم القيمة والمشتقتين الجزئيتين الأوليين.

الإجابة الصحيحة: B. \(\nabla f=\lambda\nabla g\)

الشرح: التدرجات تكون متوازية عند القيم العظمى أو الصغرى المقيّدة المنتظمة.

الإجابة الصحيحة: D. تبلغ قيمة عظمى وقيمة صغرى

الشرح: مبرهنة القيمة العظمى والصغرى تضمن تحقق كلتا القيمتين العظمى والصغرى.

الإجابة الصحيحة: C. نقطة سرج

الشرح: على طول \(y=x\)، يكون \(f=x^2\)؛ وعلى طول \(y=-x\)، يكون \(f=-x^2\).