Pontos críticos são candidatos, não extremos automáticos

Ideia-chave

Para uma função escalar diferenciável \(f(x,y)\), um máximo ou mínimo local interior deve satisfazer \(\nabla f(a,b)=(0,0)\). Essa condição é necessária, não suficiente: \(x^2-y^2\) e \(xy\) têm pontos críticos na origem, mas ambos são selas.

Lista de reconhecimento

• Verifique se o ponto está dentro do domínio, e não apenas na fronteira.
• Calcule \(f_x\) e \(f_y\).
• Resolva o sistema \(f_x=0,\ f_y=0\).
• Acrescente quaisquer pontos onde as derivadas falham, mas a função ainda está no domínio.
• Classifique cada candidato usando hessianas, sinais ou comparações de fronteira.

Exemplo resolvido

Pratique

Planos tangentes são modelos de primeira ordem

Ideia-chave

Se \(f\) é diferenciável em \((a,b)\), então o plano tangente a \(z=f(x,y)\) é \[z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).\] Equivalentemente, \(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\).

Padrões de planos tangentes

• Para um gráfico \(z=f(x,y)\), calcule o valor e as duas primeiras parciais no ponto-base.
• Se \(\nabla f(a,b)=0\), o plano tangente ao gráfico é horizontal: \(z=f(a,b)\).
• Para uma superfície implícita \(F(x,y,z)=0\), o vetor normal é \(\nabla F(a,b,c)\) quando ele é não nulo.
• Um plano tangente é uma aproximação local, não uma igualdade global, a menos que a função já seja afim.

Exemplo resolvido

Pratique

A hessiana mostra a forma quadrática local

Ideia-chave

Em um ponto crítico de uma função \(C^2\) \(f(x,y)\), a parte de segunda ordem de Taylor é controlada pela hessiana. Em duas variáveis, o determinante \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) separa os casos usuais de definida positiva, definida negativa, indefinida e inconclusiva.

Regras do teste em duas variáveis

• Se \(D>0\) e \(f_{xx}>0\), o ponto é um mínimo local estrito.
• Se \(D>0\) e \(f_{xx}<0\), o ponto é um máximo local estrito.
• Se \(D<0\), a hessiana é indefinida e o ponto é uma sela.
• Se \(D=0\), o teste é inconclusivo.

Exemplo resolvido

Pratique

Sinais dos autovalores dão a mesma forma local em qualquer dimensão

Ideia-chave

Em um ponto crítico, uma hessiana definida positiva dá um mínimo local estrito, uma hessiana definida negativa dá um máximo local estrito, e uma hessiana indefinida dá uma sela. Para hessianas simétricas, isso pode ser lido pelos sinais dos autovalores: todos positivos, todos negativos ou sinais mistos.

Padrões de sinais

• Todos os autovalores da hessiana positivos: definida positiva.
• Todos os autovalores da hessiana negativos: definida negativa.
• Autovalores da hessiana positivos e negativos: indefinida.
• Autovalores zero: o teste quadrático pode ser inconclusivo, e termos de ordem superior podem decidir.

Exemplo resolvido

Pratique

Quando o teste da hessiana fica silencioso, teste a função diretamente

Ideia-chave

A afirmação \(D=0\) significa que o teste padrão da segunda derivada em duas variáveis não dá classificação. Isso não significa mínimo, máximo nem sela. Observe os sinais de \(f(x,y)-f(a,b)\) ao longo de caminhos simples, ou use fatoração algébrica e termos de ordem superior.

O que fazer quando o teste falha

• Verifique os eixos coordenados e retas simples, como \(y=x\) e \(y=-x\).
• Procure expressões que sejam sempre não negativas ou sempre não positivas.
• Lembre que um mínimo local pode ser não estrito, como em \(f(x,y)=x^2\).
• Se caminhos diferentes dão valores dos dois lados de \(f(a,b)\), o ponto é uma sela.

Exemplo resolvido

Pratique

Extremos globais exigem candidatos de todas as partes do domínio

Ideia-chave

Para \(f\) restrita por \(g(x,y)=c\), um extremo regular com restrição satisfaz \(\nabla f=\lambda\nabla g\). A palavra regular importa: \(\nabla g≠0\) no candidato. Para extremos globais em um conjunto compacto, compare todos os candidatos interiores, candidatos na fronteira e quaisquer cantos ou pontos singulares.

Fluxo de extremos globais

• Use \(\nabla f=0\) para candidatos interiores diferenciáveis.
• Parametrize fronteiras simples quando possível.
• Use multiplicadores de Lagrange em partes suaves e regulares da restrição.
• Verifique extremidades, cantos e pontos onde a restrição não é regular.
• Avalie \(f\) em todo candidato e compare os valores para extremos globais.

Exemplo resolvido

Pratique

A maioria dos erros vem de usar o teste certo no contexto errado

Armadilhas comuns

• Gradiente zero não é classificação: ele apenas encontra candidatos.
• Plano tangente é local: ele aproxima o gráfico perto do ponto-base.
• \(D=0\) é inconclusivo: teste sinais ou use termos de ordem superior.
• Pontos de fronteira importam: extremos globais podem ocorrer onde \(\nabla f≠0\).
• Compacidade importa: funções contínuas em conjuntos não compactos não precisam atingir extremos.
• Regularidade importa: multiplicadores de Lagrange exigem gradiente da restrição não nulo.

Exemplo resolvido

Pratique

Recapitulação final

• Extremos locais interiores diferenciáveis devem satisfazer \(\nabla f=0\).
• O plano tangente a \(z=f(x,y)\) usa \(f(a,b)\), \(f_x(a,b)\) e \(f_y(a,b)\).
• Em duas variáveis, \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) classifica pontos críticos não degenerados.
• Hessiana definida positiva significa mínimo local estrito; definida negativa significa máximo local estrito; indefinida significa sela.
• \(D=0\) ou hessiana zero exige análise direta de sinais ou de ordem superior.
• Para extremos com restrições, use \(\nabla f=\lambda\nabla g\) apenas em partes regulares da restrição.
• Para extremos globais em conjuntos compactos, avalie e compare todo candidato interior, de fronteira, de canto e singular.