Kuis Latihan Titik Kritis, Bidang Singgung & Ekstremum Lokal dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kumpulan soal di bagian bawah halaman untuk berlatih bentuk lokal multivariabel: menemukan titik kritis dari \(\nabla f=0\), menulis bidang singgung dan linearisasi, menerapkan determinan Hessian dua variabel \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\), mengklasifikasikan Hessian definit positif, definit negatif, dan indefinit, menangani kasus \(D=0\) yang tidak konklusif, memeriksa batas dan ekstremum pada himpunan kompak, serta memakai pengali Lagrange untuk kendala regular. Buka pelajaran untuk contoh penyelesaian singkat dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan ekstremum lokal ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal tentang gradien, bidang singgung, Hessian, ekstremum berkendala, dan kekompakan.
Pelajaran Titik Kritis, Bidang Singgung & Ekstremum Lokal
1 / 8
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Bangun alur kerja yang andal untuk bentuk lokal dalam dua variabel atau lebih: temukan titik kritis, tulis bidang singgung, klasifikasikan minimum lokal, maksimum lokal, dan titik pelana, tangani kasus datar atau degenerat, serta bandingkan kandidat pada domain berkendala atau kompak.
Kriteria keberhasilan
Nyatakan syarat perlu orde pertama untuk ekstremum lokal interior yang terdiferensialkan.
Temukan titik kritis dengan menyelesaikan \(f_x=0\) dan \(f_y=0\).
Tulis bidang singgung untuk \(z=f(x,y)\) di \((a,b)\).
Gunakan \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) untuk mengklasifikasikan titik kritis dua variabel biasa.
Baca sifat definit Hessian dari tanda atau nilai eigen.
Kenali mengapa \(D=0\) tidak konklusif dan uji tanda sepanjang kurva bila diperlukan.
Gunakan kekompakan dan pemeriksaan batas untuk ekstremum global.
Terapkan \(\nabla f=\lambda\nabla g\) hanya pada kandidat berkendala regular.
Kosakata kunci
Titik kritis: titik tempat \(\nabla f=0\) atau tempat informasi turunan yang dibutuhkan untuk uji tidak tersedia.
Bidang singgung: model afin orde pertama dari grafik terdiferensialkan \(z=f(x,y)\).
Hessian: matriks turunan parsial kedua.
Definit positif: bentuk kuadrat bernilai positif pada setiap arah tak nol.
Titik pelana: nilai-nilai dekat titik terjadi baik di atas maupun di bawah nilai pada titik tersebut.
Kendala regular: kendala \(g=c\) dengan \(\nabla g≠ 0\) pada kandidat.
Cek awal cepat
Cek awal: Pada ekstremum lokal interior dari fungsi terdiferensialkan \(f(x,y)\), apa yang harus berlaku?
Petunjuk: Ekstremum interior yang terdiferensialkan memiliki perubahan orde pertama nol di setiap arah.
Titik kritis adalah kandidat, bukan otomatis ekstremum
Tujuan pembelajaran: Temukan titik kandidat tempat ekstremum lokal atau pelana dapat terjadi, lalu pisahkan klasifikasi dari penemuan kandidat.
Ide utama
Untuk fungsi skalar terdiferensialkan \(f(x,y)\), maksimum atau minimum lokal interior harus memenuhi \(\nabla f(a,b)=(0,0)\). Syarat ini perlu, bukan cukup: \(x^2-y^2\) dan \(xy\) keduanya memiliki titik kritis di origin tetapi merupakan pelana.
Daftar cek pengenalan
Periksa bahwa titik berada di dalam domain, bukan hanya di batas.
Hitung \(f_x\) dan \(f_y\).
Selesaikan sistem \(f_x=0,\ f_y=0\).
Tambahkan titik mana pun tempat turunan gagal tetapi fungsi masih berada dalam domain.
Klasifikasikan setiap kandidat memakai Hessian, tanda, atau perbandingan batas.
Contoh dikerjakan
Contoh: Temukan titik kritis dari \(f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y\).
Gradiennya adalah \(\nabla f=(2x-2,2y+4)\). Menyamakan kedua komponen dengan nol memberi \(x=1\) dan \(y=-2\), sehingga satu-satunya titik kritis adalah \((1,-2)\). Hessian-nya adalah \(2I\), jadi titik itu adalah minimum lokal ketat.
Coba
Coba: Untuk \(f(x,y)=x^2+y^2-4y\), di mana titik kritisnya?
Petunjuk: \(\nabla f=(2x,2y-4)\).
Bidang singgung adalah model orde pertama
Tujuan pembelajaran: Gunakan turunan parsial pertama untuk membangun pendekatan afin lokal terhadap grafik atau permukaan level.
Ide utama
Jika \(f\) terdiferensialkan di \((a,b)\), maka bidang singgung untuk \(z=f(x,y)\) adalah \[z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).\] Secara ekuivalen, \(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\).
Pola bidang singgung
Untuk grafik \(z=f(x,y)\), hitung nilai dan dua turunan parsial pertama pada titik dasar.
Jika \(\nabla f(a,b)=0\), bidang singgung grafiknya horizontal: \(z=f(a,b)\).
Untuk permukaan implisit \(F(x,y,z)=0\), vektor normalnya adalah \(\nabla F(a,b,c)\) ketika vektor itu tak nol.
Bidang singgung adalah pendekatan lokal, bukan kesamaan global kecuali fungsinya memang afin.
Contoh dikerjakan
Contoh: Tulis bidang singgung untuk \(z=x^2+y\) di \((1,2)\).
Di sini \(f(1,2)=3\), \(f_x=2x\), jadi \(f_x(1,2)=2\), dan \(f_y=1\). Maka \[z=3+2(x-1)+(y-2).\]
Coba
Coba: Untuk \(z=x^2+y^2\), apa bidang singgung di \((0,0)\)?
Petunjuk: Di origin, nilai dan kedua turunan parsial pertama adalah \(0\).
Hessian menunjukkan bentuk kuadrat lokal
Tujuan pembelajaran: Gunakan \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) untuk mengklasifikasikan titik kritis dua variabel yang tidak degenerat.
Ide utama
Pada titik kritis dari fungsi \(C^2\) \(f(x,y)\), bagian Taylor orde kedua dikendalikan oleh Hessian. Dalam dua variabel, determinan \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) memisahkan kasus biasa: definit positif, definit negatif, indefinit, dan tidak konklusif.
Aturan uji dua variabel
Jika \(D>0\) dan \(f_{xx}>0\), titik tersebut adalah minimum lokal ketat.
Jika \(D>0\) dan \(f_{xx}<0\), titik tersebut adalah maksimum lokal ketat.
Jika \(D<0\), Hessian indefinit dan titik tersebut adalah pelana.
Jika \(D=0\), uji tidak konklusif.
Contoh dikerjakan
Contoh: Klasifikasikan origin untuk \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\).
Origin adalah titik kritis. Di sini \(f_{xx}=2\), \(f_{yy}=2\), dan \(f_{xy}=1\), jadi \(D=2\cdot2-1^2=3>0\). Karena \(f_{xx}>0\), origin adalah minimum lokal ketat.
Coba
Coba: Jika \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0\) pada titik kritis, apa hasil ujinya?
Petunjuk: Determinan negatif berarti Hessian melengkung ke atas di beberapa arah dan ke bawah di arah lain.
Tanda nilai eigen memberi bentuk lokal yang sama di dimensi mana pun
Tujuan pembelajaran: Baca perilaku lokal dari sifat definit Hessian, terutama di luar dua variabel.
Ide utama
Pada titik kritis, Hessian definit positif memberi minimum lokal ketat, Hessian definit negatif memberi maksimum lokal ketat, dan Hessian indefinit memberi pelana. Untuk Hessian simetris, ini dapat dibaca dari tanda nilai eigen: semuanya positif, semuanya negatif, atau tanda campuran.
Pola tanda
Semua nilai eigen Hessian positif: definit positif.
Semua nilai eigen Hessian negatif: definit negatif.
Ada nilai eigen Hessian positif dan negatif: indefinit.
Nilai eigen nol: uji kuadrat mungkin tidak konklusif dan suku orde lebih tinggi dapat menentukan.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan suatu titik kritis memiliki nilai eigen Hessian \(-2\) dan \(5\). Jenis titik apa yang disarankan?
Tandanya campuran, sehingga Hessian indefinit. Pendekatan kuadrat memiliki arah positif dan negatif, jadi titik kritis tersebut adalah pelana.
Coba
Coba: Jika nilai eigen Hessian pada titik kritis adalah \(2\) dan \(5\), apa yang ditunjukkan uji orde kedua?
Petunjuk: Kedua nilai eigen positif.
Saat uji Hessian diam, uji fungsinya secara langsung
Tujuan pembelajaran: Tangani kasus \(D=0\) atau Hessian nol tanpa membuat klaim berlebihan.
Ide utama
Pernyataan \(D=0\) berarti uji turunan kedua dua variabel standar tidak memberi klasifikasi. Itu tidak berarti minimum, maksimum, atau pelana. Lihat tanda \(f(x,y)-f(a,b)\) sepanjang lintasan sederhana, atau gunakan faktorisasi aljabar dan suku orde lebih tinggi.
Apa yang dilakukan saat uji gagal
Periksa sumbu koordinat dan garis sederhana seperti \(y=x\) dan \(y=-x\).
Cari bentuk yang selalu tak negatif atau selalu tak positif.
Ingat bahwa minimum lokal bisa tidak ketat, seperti pada \(f(x,y)=x^2\).
Jika lintasan berbeda memberi nilai di kedua sisi \(f(a,b)\), titik tersebut adalah pelana.
Contoh dikerjakan
Contoh: Klasifikasikan origin untuk \(f(x,y)=x^4-y^4\).
Hessian di origin adalah matriks nol, sehingga uji kuadrat tidak konklusif. Sepanjang sumbu \(x\), \(f(x,0)=x^4>0\) untuk \(x≠0\). Sepanjang sumbu \(y\), \(f(0,y)=-y^4<0\) untuk \(y≠0\). Nilai muncul di kedua sisi \(0\), jadi origin adalah pelana.
Coba
Coba: Untuk \(f(x,y)=x^2\), apa origin itu?
Petunjuk: \(x^2\ge0\), tetapi fungsi sama dengan \(0\) di sepanjang seluruh sumbu \(y\).
Ekstremum global memerlukan kandidat dari setiap bagian domain
Tujuan pembelajaran: Gabungkan titik kritis interior, pemeriksaan batas, kekompakan, dan pengali Lagrange.
Ide utama
Untuk \(f\) yang dikendalai oleh \(g(x,y)=c\), ekstremum berkendala regular memenuhi \(\nabla f=\lambda\nabla g\). Kata regular penting: \(\nabla g≠0\) pada kandidat. Untuk ekstremum global pada himpunan kompak, bandingkan semua kandidat interior, kandidat batas, serta sudut atau titik singular mana pun.
Alur kerja ekstremum global
Gunakan \(\nabla f=0\) untuk kandidat interior yang terdiferensialkan.
Parametrisasikan batas sederhana bila mungkin.
Gunakan pengali Lagrange pada bagian kendala mulus yang regular.
Periksa titik ujung, sudut, dan titik tempat kendala tidak regular.
Evaluasi \(f\) pada setiap kandidat dan bandingkan nilainya untuk ekstremum global.
Contoh dikerjakan
Contoh: Temukan maksimum dan minimum dari \(f(x,y)=x\) pada \(x^2+y^2=1\).
Pada lingkaran satuan, koordinat \(x\) terbesar yang mungkin adalah \(1\) dan yang terkecil adalah \(-1\). Pengali Lagrange memberi kandidat yang sama: \((1,0)\) memberi nilai maksimum \(1\), dan \((-1,0)\) memberi nilai minimum \(-1\).
Coba
Coba: Pada ekstremum berkendala regular dari \(f\) dengan syarat \(g=c\), kondisi apa yang harus berlaku?
Petunjuk: Pada ekstremum berkendala regular, kedua gradien sejajar.
Sebagian besar kesalahan berasal dari memakai uji yang benar pada konteks yang salah
Tujuan pembelajaran: Akhiri dengan alur kerja ringkas dan hindari kesimpulan keliru yang umum.
Kesalahan umum
Gradien nol bukan klasifikasi: itu hanya menemukan kandidat.
Bidang singgung bersifat lokal: ia mendekati grafik di dekat titik dasar.
\(D=0\) tidak konklusif: uji tanda atau gunakan suku orde lebih tinggi.
Titik batas penting: ekstremum global dapat terjadi saat \(\nabla f≠0\).
Kekompakan penting: fungsi kontinu pada himpunan tak kompak tidak harus mencapai ekstremum.
Regularitas penting: pengali Lagrange memerlukan gradien kendala tak nol.
Contoh dikerjakan
Contoh: Temukan ekstremum global dari \(f(x,y)=x^2+y^2\) pada cakram \(x^2+y^2\le1\).
Titik kritis interior adalah \((0,0)\), dengan \(f=0\), sehingga memberi minimum global. Pada batas \(x^2+y^2=1\), fungsi sama dengan \(1\), jadi setiap titik batas memberi nilai maksimum global \(1\).
Coba
Coba: Jika \(f\) kontinu pada himpunan kompak, apa yang dijamin?
Petunjuk: Ini adalah teorema nilai ekstrem.
Rekap akhir
Ekstremum lokal interior yang terdiferensialkan harus memenuhi \(\nabla f=0\).
Bidang singgung untuk \(z=f(x,y)\) memakai \(f(a,b)\), \(f_x(a,b)\), dan \(f_y(a,b)\).
Dalam dua variabel, \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) mengklasifikasikan titik kritis tidak degenerat.
Hessian definit positif berarti minimum lokal ketat; definit negatif berarti maksimum lokal ketat; indefinit berarti pelana.
\(D=0\) atau Hessian nol memerlukan analisis tanda langsung atau orde lebih tinggi.
Untuk ekstremum berkendala, gunakan \(\nabla f=\lambda\nabla g\) hanya pada bagian kendala regular.
Untuk ekstremum global pada himpunan kompak, evaluasi dan bandingkan setiap kandidat interior, batas, sudut, dan singular.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Pertama identifikasi apakah soal meminta titik kritis, bidang singgung, klasifikasi lokal, kondisi berkendala, atau perbandingan global.
Set latihan
Soal latihan Critical Points, Tangent Planes & Local Extrema dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Pada ekstrem lokal interior dari fungsi terdiferensialkan \(f(x,y)\), apa yang harus berlaku?
Jawaban benar: D. \(\nabla f=0\)
Penjelasan: Pada ekstrem interior, syarat orde pertama adalah \(\nabla f=0\).
Soal 2Belum dijawab
Jenis titik apa \((0,0)\) untuk \(f(x,y)=x^2+y^2\)?
Jawaban benar: A. Minimum lokal
Penjelasan: Fungsi ini tak negatif dan bernilai \(0\) hanya di titik asal.
Soal 3Belum dijawab
Jenis titik apa \((0,0)\) untuk \(f(x,y)=x^2-y^2\)?
Jawaban benar: D. Titik pelana
Penjelasan: Fungsi bernilai positif sepanjang sumbu \(x\) dan negatif sepanjang sumbu \(y\).
Soal 4Belum dijawab
Jika Hessian di suatu titik kritis definit positif, apa yang ditunjukkannya?
Jawaban benar: B. Minimum lokal ketat
Penjelasan: Hessian definit positif menghasilkan minimum lokal ketat.
Soal 5Belum dijawab
Jika Hessian di suatu titik kritis definit negatif, apa yang ditunjukkannya?
Jawaban benar: C. Maksimum lokal ketat
Penjelasan: Hessian definit negatif menghasilkan maksimum lokal ketat.
Soal 6Belum dijawab
Jika Hessian di suatu titik kritis tak tentu, apa yang biasanya ditunjukkannya?
Jawaban benar: A. Titik pelana
Penjelasan: Hessian tak tentu berarti fungsi melengkung naik pada beberapa arah dan turun pada arah lain.
Soal 7Belum dijawab
Untuk \(z=f(x,y)\), apa bidang singgung di \((a,b)\)?
Jawaban benar: A. \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
Penjelasan: Aproksimasi linear menggunakan nilai fungsi dan dua turunan parsial pertama.
Soal 8Belum dijawab
Pada ekstrem terkendala dari \(f\) dengan syarat \(g=c\), pengali Lagrange menyatakan:
Jawaban benar: B. \(\nabla f=\lambda\nabla g\)
Penjelasan: Gradien-gradien sejajar pada ekstrem terkendala yang reguler.
Soal 9Belum dijawab
Jika \(f\) kontinu pada himpunan kompak, maka \(f\):
Jawaban benar: D. Mencapai maksimum dan minimum
Penjelasan: Teorema nilai ekstrem menjamin adanya kedua ekstrem.
Soal 10Belum dijawab
Untuk \(f(x,y)=xy\), jenis titik apa \((0,0)\)?
Jawaban benar: C. Titik pelana
Penjelasan: Sepanjang \(y=x\), \(f=x^2\); sepanjang \(y=-x\), \(f=-x^2\).
