مجموعة التدريب
اختبار تدريبي في القيم الذاتية والفضاءات الذاتية مع نتيجة فورية
أجب عن جميع الأسئلة أدناه (10)، ثم احصل على نتيجتك النهائية ومراجعة للأخطاء لتعرف بالضبط ما تحتاج إلى تحسينه.
إذا كان لـ \(A\) كثيرة الحدود المميِّزة \((X-1)(X-4)\)، فما قيمتاها الذاتيتان؟
الإجابة الصحيحة: D. \(1\) و\(4\)
الشرح: القيم الذاتية هي جذور كثيرة الحدود المميِّزة.
إذا كانت لـ \(A\) القيم الذاتية \(2,2,5\)، فما هو \(\det(A)\)؟
الإجابة الصحيحة: C. \(20\)
الشرح: المحدد هو حاصل الضرب \(2\cdot2\cdot5\).
ما القيم الذاتية للمصفوفة \(\begin{pmatrix}4&1\\0&4\end{pmatrix}\)؟
الإجابة الصحيحة: C. \(4\) فقط
الشرح: للمصفوفات المثلثية قيم ذاتية على القطر.
إذا كانت لمصفوفة \(2\times2\) أثرًا يساوي \(5\) وقيمًا ذاتية \(2\) و\(\lambda\)، فما قيمة \(\lambda\)؟
الإجابة الصحيحة: B. \(3\)
الشرح: الأثر يساوي مجموع القيم الذاتية، إذن \(2+\lambda=5\).
الفضاء الذاتي لـ \(\lambda\) يكون دائمًا:
الإجابة الصحيحة: C. فضاء جزئي
الشرح: هو \(\ker(A-\lambda I)\)، لذا فهو فضاءٌ جزئي.
بالنسبة إلى \(A=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}\)، ما الفضاء الذاتي للقيمة الذاتية \(4\)؟
الإجابة الصحيحة: A. \(\mathbb{R}^2\)
الشرح: هذه المصفوفة هي \(4I\)، لذا فإن كل متجه غير صفري هو متجه ذاتي للقيمة \(4\)، والفضاء الذاتي هو كل \(\mathbb{R}^2\).
ما الفضاء الذاتي المرتبط بقيمة ذاتية \(\lambda\)؟
الإجابة الصحيحة: A. \(\ker(A-\lambda I)\)
الشرح: إنه نواة \(A-\lambda I\)، بما في ذلك المتجه الصفري.
إذا كان لفضاء ذاتي بُعد \(2\)، فإنه يحتوي على:
الإجابة الصحيحة: B. عددًا لا نهائيًا من المتجهات الذاتية
الشرح: كل متجه غير صفري في الفضاء الذاتي هو متجه ذاتي.
إذا كانت لـ \(A\) قيمة ذاتية \(\lambda\)، فإن \(A-I\) له قيمة ذاتية:
الإجابة الصحيحة: B. \(\lambda-1\)
الشرح: \((A-I)v=(\lambda-1)v\).
إذا كانت لمصفوفة \(2\times2\) محدد يساوي \(12\) ولها قيمة ذاتية واحدة \(3\)، فالقيمة الأخرى هي:
الإجابة الصحيحة: C. \(4\)
الشرح: حاصل ضرب القيم الذاتية يساوي المحدد.
النتيجة
نتيجتك: 0 / 10
راجع نتيجتك أدناه.