Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Eigenvalues & Eigenspaces - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de valores propios y espacios propios con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario de la parte superior de la página para practicar valores propios y espacios propios: reconocer ecuaciones de la forma \(Av=\lambda v\), recordar que los vectores propios son no nulos, calcular espacios propios como \(\ker(A-\lambda I)\), resolver \(\det(A-\lambda I)=0\), leer matrices diagonales y triangulares, usar la traza y el determinante, entender cuándo \(0\) es un valor propio, seguir cómo potencias, desplazamientos, sumas sobre un vector propio común, múltiplos escalares e inversas afectan los valores propios, y saber que los vectores propios de valores propios distintos son linealmente independientes. Si quieres repasar, abre la lección para ver ejemplos y comprobaciones que puedes seguir mentalmente.
Cómo funciona esta práctica de valores propios
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas de valores propios, vectores propios, espacios propios, traza, determinante y atajos matriciales en la parte superior de la página.
2. Abre la lección: repasa definiciones, ecuaciones características, cálculos de espacios propios y reglas de operaciones con ejemplos resueltos.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y traduce cada pregunta a \(Av=\lambda v\) o \((A-\lambda I)v=0\).
Lo que aprenderás en la lección de valores propios y espacios propios
Ecuación de valor propio
Par propio: \(Av=\lambda v\) con \(v≠0\)
Espacio propio: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\), incluido el vector cero
El vector cero pertenece a todo espacio propio, pero nunca es un vector propio
Calcular valores propios
Ecuación característica: \(\det(A-\lambda I)=0\)
Las matrices diagonales y triangulares tienen sus valores propios en la diagonal
La traza es la suma y el determinante es el producto de los valores propios, contados con multiplicidad algebraica
Encontrar espacios propios
Para cada valor propio, resuelve \((A-\lambda I)v=0\)
Un espacio propio unidimensional es una recta de vectores propios más \(0\)
Los valores propios repetidos requieren comprobar la dimensión del espacio propio; los vectores propios de valores propios distintos son linealmente independientes
Estructura y errores frecuentes
\(0\) es un valor propio exactamente cuando \(A\) es singular
Si \(Av=\lambda v\), entonces \(A^kv=\lambda^k v\) y \((A-cI)v=(\lambda-c)v\); si además \(Bv=\mu v\), entonces \((A+B)v=(\lambda+\mu)v\)
Algunas matrices reales, como una rotación de un cuarto de vuelta, no tienen valores propios reales
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Cuando estés listo, regresa al cuestionario de la parte superior de la página y sigue practicando valores propios y espacios propios.
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Álgebra lineal avanzada
Lección de valores propios y espacios propios
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Resumen de la lección
Propósito: Aprender a ver las preguntas de valores propios como una sola ecuación, \(Av=\lambda v\), y las preguntas de espacios propios como un cálculo de núcleo, \((A-\lambda I)v=0\). La lección conecta definiciones, ecuaciones características, atajos de traza y determinante, matrices triangulares, transformaciones de valores propios, sumas con un vector propio común, independencia lineal para valores propios distintos y errores frecuentes.
Criterios de éxito
Reconocer pares propios a partir de \(Av=\lambda v\) con \(v≠0\).
Explicar por qué el vector cero no es un vector propio.
Calcular \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\) para matrices pequeñas.
Usar \(\det(A-\lambda I)=0\) para encontrar valores propios.
Leer los valores propios de matrices diagonales y triangulares desde la diagonal.
Usar la traza y el determinante como comprobaciones de suma y producto.
Seguir cómo potencias, desplazamientos, múltiplos escalares, inversas y sumas sobre un vector propio común cambian los valores propios.
Reconocer que los vectores propios de valores propios distintos son linealmente independientes.
Evitar recíprocas falsas, como concluir que \(A^2v=9v\) obliga a \(Av=3v\).
Vocabulario clave
Valor propio: un escalar \(\lambda\) tal que \(Av=\lambda v\) para algún \(v\) no nulo.
Vector propio: un vector no nulo cuya dirección es preservada por \(A\).
Espacio propio: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\), el subespacio de vectores que satisfacen \(Av=\lambda v\).
Polinomio característico: \(\det(A-\lambda I)\), cuyas raíces son los valores propios.
Multiplicidad algebraica: multiplicidad de una raíz del polinomio característico.
Multiplicidad geométrica: dimensión del espacio propio.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: Si \(Av=3v\) y \(v≠0\), ¿cuál es el valor propio asociado con \(v\)?
Pista: Compara la ecuación directamente con \(Av=\lambda v\).
Comprobación previa 2: ¿Puede el vector cero ser un vector propio?
Pista: La definición de vector propio exige un vector no nulo, aunque \(0\) pertenece a todo espacio propio.
Los vectores propios son direcciones que solo se escalan
Objetivo de aprendizaje: Traducir entre \(Av=\lambda v\), \((A-\lambda I)v=0\) y el espacio propio \(E_\lambda\).
Idea clave
Si \(Av=\lambda v\) para un vector no nulo \(v\), entonces \(A\) envía la recta que pasa por \(v\) de vuelta a sí misma, escalándola por \(\lambda\). Al reordenar se obtiene \[(A-\lambda I)v=0,\] así que los espacios propios son núcleos. El espacio propio incluye \(0\), pero sus vectores no nulos son los vectores propios para \(\lambda\).
Lista de reconocimiento
Primero comprueba que el vector no sea cero.
Calcula \(Av\) y ve si es un múltiplo escalar de \(v\).
Si el escalar es \(0\), entonces \(v\) es un vector no nulo en \(\ker A\).
Para un \(\lambda\) fijo, resuelve un sistema homogéneo: \((A-\lambda I)v=0\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), decide si \((1,-1)\) es un vector propio.
La matriz intercambia coordenadas, así que \(A(1,-1)=(-1,1)=-(1,-1)\). El vector es no nulo y se escala por \(-1\), así que es un vector propio con valor propio \(-1\).
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál es el espacio propio asociado con un valor propio \(\lambda\)?
Pista: Mueve todos los términos de \(Av=\lambda v\) al lado izquierdo.
Inténtalo 2: Si \(Av=0\) con \(v≠0\), ¿cuál es un valor propio de \(A\)?
Pista: Esta es la ecuación de valor propio con escalar \(0\).
Los valores propios hacen singular a \(A-\lambda I\)
Objetivo de aprendizaje: Encontrar valores propios a partir de \(\det(A-\lambda I)=0\) y reconocer casos rápidos.
Idea clave
Un escalar \(\lambda\) es un valor propio exactamente cuando \((A-\lambda I)v=0\) tiene una solución no nula. Eso ocurre exactamente cuando \(A-\lambda I\) es singular: \[\det(A-\lambda I)=0.\] Algunos libros usan \(\det(\lambda I-A)\); la convención de signo puede cambiar el polinomio por un factor, pero las raíces son las mismas.
Lista de reconocimiento
Forma \(A-\lambda I\).
Calcula el determinante.
Iguala el determinante a \(0\).
Factoriza o resuelve para los posibles valores de \(\lambda\).
Después de encontrar un \(\lambda\), resuelve \((A-\lambda I)v=0\) si se pide un espacio propio.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Encuentra los valores propios de \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&5\end{pmatrix}\).
La matriz es triangular, así que el determinante de \(A-\lambda I\) es \((2-\lambda)(5-\lambda)\). La ecuación característica es \((2-\lambda)(5-\lambda)=0\), por lo que los valores propios son \(2\) y \(5\).
Inténtalo
Inténtalo 1: La ecuación característica para valores propios es:
Pista: Los valores propios hacen que \(A-\lambda I\) tenga un núcleo no nulo.
Inténtalo 2: ¿Cuáles son los valores propios de \(\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\)?
Pista: Para una matriz diagonal, la ecuación característica se factoriza a partir de las entradas diagonales.
Usa invariantes rápidos antes de calcular
Objetivo de aprendizaje: Usar entradas diagonales, traza y determinante como formas rápidas de identificar o comprobar valores propios.
Idea clave
Para matrices diagonales y triangulares, los valores propios son las entradas diagonales, contadas con multiplicidad. Para cualquier matriz cuadrada sobre un cuerpo donde el polinomio característico se descompone, la traza es igual a la suma de los valores propios y el determinante es igual a su producto, ambos contados con multiplicidad algebraica.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Una matriz \(2\times2\) tiene valores propios \(2\) y \(\lambda\), y traza \(5\). Encuentra \(\lambda\).
La traza es la suma de los valores propios contados con multiplicidad. Por tanto \(2+\lambda=5\), así que \(\lambda=3\). Esto también da una comprobación rápida de consistencia para cualquier cálculo del polinomio característico.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si una matriz \(2\times2\) tiene traza \(5\) y valores propios \(2\) y \(\lambda\), ¿cuál es \(\lambda\)?
Pista: La traza es igual a la suma \(2+\lambda\).
Inténtalo 2: Si \(A\) tiene valores propios \(-1\) y \(4\), ¿cuánto es \(\det(A)\)?
Pista: El determinante es el producto de los valores propios.
Resuelve un núcleo para cada valor propio
Objetivo de aprendizaje: Calcular e interpretar espacios propios como subespacios, no solo como vectores aislados.
Idea clave
Una vez conocido \(\lambda\), el espacio propio es el conjunto solución de un sistema homogéneo: \[E_\lambda=\ker(A-\lambda I).\] Es un subespacio. Todo vector no nulo en él es un vector propio para \(\lambda\). Su dimensión es la multiplicidad geométrica, que siempre es al menos \(1\) para un valor propio y no supera la multiplicidad algebraica. Los vectores propios asociados a valores propios distintos son linealmente independientes.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), encuentra los espacios propios para \(1\) y \(-1\).
Para \(\lambda=1\), la ecuación \(A(x,y)=(x,y)\) da \((y,x)=(x,y)\), así que \(x=y\), y \(E_1=\operatorname{span}\{(1,1)\}\). Para \(\lambda=-1\), \((y,x)=(-x,-y)\), así que \(y=-x\), y \(E_{-1}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Para \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), ¿qué vector es un vector propio para el valor propio \(1\)?
Pista: El valor propio \(1\) significa que el vector no cambia al intercambiar coordenadas.
Inténtalo 2: Si un espacio propio tiene dimensión \(2\), contiene:
Pista: Todo vector no nulo del espacio propio es un vector propio.
Potencias, desplazamientos, escalamientos, sumas e inversas
Objetivo de aprendizaje: Reutilizar un par propio para entender matrices relacionadas como \(A^2\), \(A-I\), \(cA\), \(A+B\) sobre un vector propio común y \(A^{-1}\).
Idea clave
Si \(Av=\lambda v\), entonces el mismo vector \(v\) sigue siendo útil para muchas expresiones en \(A\): \[A^kv=\lambda^k v,\qquad (A-cI)v=(\lambda-c)v,\qquad (cA)v=c\lambda v.\] Si además \(Bv=\mu v\), entonces \((A+B)v=(\lambda+\mu)v\). Si \(A\) es invertible, entonces \(\lambda≠0\) y \(A^{-1}v=\lambda^{-1}v\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(Av=2v\) y \(A\) es invertible, ¿cuánto es \(A^{-1}v\)?
Aplica \(A^{-1}\) a \(Av=2v\): \(v=2A^{-1}v\). Por lo tanto \(A^{-1}v=\frac{1}{2}v\). El valor propio de \(A^{-1}\) sobre el mismo vector es \(1/2\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(Av=\lambda v\), ¿cuánto es \(A^2v\)?
Pista: Aplica \(A\) a ambos lados una vez más.
Inténtalo 2: Si \(A\) tiene valor propio \(\lambda\), entonces \(A-I\) tiene valor propio:
Pista: \((A-I)v=Av-v\).
Resumen
Las potencias envían \(\lambda\) a \(\lambda^k\) sobre el mismo vector propio.
Los desplazamientos \(A-cI\) envían \(\lambda\) a \(\lambda-c\).
Los múltiplos escalares \(cA\) envían \(\lambda\) a \(c\lambda\).
Si \(Av=\lambda v\) y \(Bv=\mu v\), entonces \(A+B\) envía el mismo \(v\) a \((\lambda+\mu)v\).
Para \(A\) invertible, los valores propios de la inversa son recíprocos.
Cero, aplicaciones nilpotentes y rotaciones reales
Objetivo de aprendizaje: Reconocer casos especiales comunes sin generalizar en exceso.
Idea clave
El valor propio \(0\) significa que \(Av=0\) para algún vector no nulo, así que \(A\) tiene un núcleo no trivial y no es invertible. Si \(A\) es nilpotente, es decir \(A^k=0\), entonces cualquier valor propio \(\lambda\) debe satisfacer \(\lambda^k=0\), por tanto \(\lambda=0\). Una matriz real puede no tener valores propios reales: la rotación \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) tiene polinomio característico \(\lambda^2+1\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué \(0\) es un valor propio exactamente cuando \(A\) no es invertible?
\(0\) es un valor propio cuando \(Av=0v=0\) para algún \(v\) no nulo. Eso equivale exactamente a decir que \(\ker A\) contiene un vector no nulo, así que la matriz es singular y no puede ser invertible.
Inténtalo
Inténtalo 1: Para \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), ¿hay valores propios reales?
Pista: El polinomio característico es \(\lambda^2+1\), que no tiene raíz real.
Inténtalo 2: Si \(A\) es nilpotente, ¿cuál es su único valor propio posible?
Pista: Si \(A^k=0\), entonces \(A^kv=\lambda^k v\) para un vector propio.
Mantén separados vectores propios, espacios propios e implicaciones
Objetivo de aprendizaje: Evitar conclusiones falsas comunes y terminar con una breve comprobación final.
Errores frecuentes
El vector cero no es un vector propio: la definición lo excluye explícitamente.
Un espacio propio sí contiene \(0\): es un núcleo y por lo tanto un subespacio.
\(A^2v=9v\) no obliga a \(Av=3v\): \(Av=-3v\) también funciona.
Un valor propio repetido no determina la dimensión del espacio propio: resuelve \((A-\lambda I)v=0\).
La traza y el determinante son comprobaciones, no espacios propios completos: no te dan vectores propios.
Valores propios distintos dan independencia: los vectores propios no nulos de valores propios distintos son linealmente independientes.
Real frente a complejo importa: algunas matrices reales tienen valores propios complejos pero no vectores propios reales.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿\(A^2v=9v\) obliga a \(Av=3v\)?
No. Si \(Av=-3v\), entonces \(A^2v=A(-3v)=-3Av=9v\). Al elevar al cuadrado se pierde el signo, así que la conclusión \(Av=3v\) no está forzada.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(A\) tiene valor propio \(0\), ¿qué se puede decir de \(A\)?
Pista: \(0\) como valor propio significa que un vector no nulo se envía a \(0\).
Inténtalo 2: Si \(A^2v=9v\), ¿esto obliga a \(Av=3v\)?
Pista: Piensa en un vector con valor propio \(-3\).
Repaso final
Los vectores propios son vectores no nulos que satisfacen \(Av=\lambda v\).
Los espacios propios son núcleos: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\).
Los valores propios resuelven \(\det(A-\lambda I)=0\).
Las matrices diagonales y triangulares muestran los valores propios en la diagonal.
La traza suma los valores propios y el determinante los multiplica, contados con multiplicidad algebraica.
\(0\) es un valor propio exactamente cuando \(A\) es singular.
Potencias, desplazamientos, múltiplos escalares, sumas sobre un vector propio común e inversas transforman los valores propios de formas predecibles.
Los vectores propios de valores propios distintos son linealmente independientes.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. Para cada pregunta, decide primero si pide un valor propio, un vector propio, un espacio propio o una consecuencia estructural como invertibilidad.
Racha 5+
Racha 10+
Racha 15+
Racha 20+
Racha 25+