Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Eigenvalues & Eigenspaces - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Nilai Eigen & Ruang Eigen dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih nilai eigen dan ruang eigen: mengenali persamaan berbentuk \(Av=\lambda v\), mengingat bahwa vektor eigen tidak nol, menghitung ruang eigen sebagai \(\ker(A-\lambda I)\), menyelesaikan \(\det(A-\lambda I)=0\), membaca matriks diagonal dan segitiga, menggunakan trace dan determinan, memahami kapan \(0\) adalah nilai eigen, serta melacak bagaimana pangkat, pergeseran, kelipatan skalar, dan invers memengaruhi nilai eigen. Jika Anda ingin penyegaran, buka pelajaran untuk contoh dan cek yang mudah diikuti secara mental.
Cara kerja latihan nilai eigen ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal nilai eigen, vektor eigen, ruang eigen, trace, determinan, dan pintasan matriks di awal halaman.
2. Buka pelajaran: tinjau definisi, persamaan karakteristik, perhitungan ruang eigen, dan aturan operasi dengan contoh penyelesaian.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan terjemahkan setiap soal menjadi \(Av=\lambda v\) atau \((A-\lambda I)v=0\).
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran nilai eigen & ruang eigen
Persamaan nilai eigen
Pasangan eigen: \(Av=\lambda v\) dengan \(v≠0\)
Ruang eigen: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\), termasuk vektor nol
Vektor nol termasuk dalam setiap ruang eigen tetapi tidak pernah menjadi vektor eigen
Menghitung nilai eigen
Persamaan karakteristik: \(\det(A-\lambda I)=0\)
Matriks diagonal dan segitiga memiliki nilai eigen pada diagonal
Trace adalah jumlah dan determinan adalah hasil kali nilai eigen, dihitung dengan multiplisitas aljabar
Mencari ruang eigen
Untuk setiap nilai eigen, selesaikan \((A-\lambda I)v=0\)
Ruang eigen berdimensi satu adalah garis vektor eigen ditambah \(0\)
Nilai eigen berulang memerlukan pengecekan dimensi ruang eigen, bukan hanya multiplisitas
Struktur dan jebakan
\(0\) adalah nilai eigen tepat ketika \(A\) singular
Jika \(Av=\lambda v\), maka \(A^kv=\lambda^k v\) dan \((A-cI)v=(\lambda-c)v\)
Sebagian matriks real, seperti rotasi seperempat putaran, tidak memiliki nilai eigen real
Kembali ke kuis
Saat Anda siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih nilai eigen dan ruang eigen.
Memuat...
Aljabar Linear Lanjut
Pelajaran Nilai Eigen & Ruang Eigen
1 / 8
Ringkasan pelajaran
Tujuan: Belajar melihat soal nilai eigen sebagai satu persamaan, \(Av=\lambda v\), dan soal ruang eigen sebagai perhitungan kernel, \((A-\lambda I)v=0\). Pelajaran ini menghubungkan definisi, persamaan karakteristik, pintasan trace dan determinan, matriks segitiga, transformasi nilai eigen, dan jebakan umum.
Kriteria keberhasilan
Kenali pasangan eigen dari \(Av=\lambda v\) dengan \(v≠0\).
Jelaskan mengapa vektor nol bukan vektor eigen.
Hitung \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\) untuk matriks kecil.
Gunakan \(\det(A-\lambda I)=0\) untuk mencari nilai eigen.
Baca nilai eigen matriks diagonal dan segitiga dari diagonalnya.
Gunakan trace dan determinan sebagai cek jumlah dan hasil kali.
Lacak bagaimana pangkat, pergeseran, kelipatan skalar, dan invers mengubah nilai eigen.
Hindari konvers palsu seperti \(A^2v=9v\) yang memaksa \(Av=3v\).
Kosakata kunci
Nilai eigen: skalar \(\lambda\) sehingga \(Av=\lambda v\) untuk suatu \(v\) tak nol.
Vektor eigen: vektor tak nol yang arahnya dipertahankan oleh \(A\).
Ruang eigen: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\), subruang vektor yang memenuhi \(Av=\lambda v\).
Polinomial karakteristik: \(\det(A-\lambda I)\), yang akar-akarnya adalah nilai eigen.
Multiplisitas aljabar: multiplisitas suatu akar dari polinomial karakteristik.
Multiplisitas geometrik: dimensi ruang eigen.
Cek awal cepat
Cek awal 1: Jika \(Av=3v\) dan \(v≠0\), berapa nilai eigen yang terkait dengan \(v\)?
Petunjuk: Bandingkan persamaan itu langsung dengan \(Av=\lambda v\).
Cek awal 2: Bisakah vektor nol menjadi vektor eigen?
Petunjuk: Definisi vektor eigen mensyaratkan vektor tak nol, meskipun \(0\) termasuk dalam setiap ruang eigen.
Vektor eigen adalah arah yang hanya diskalakan
Tujuan pembelajaran: Terjemahkan antara \(Av=\lambda v\), \((A-\lambda I)v=0\), dan ruang eigen \(E_\lambda\).
Ide utama
Jika \(Av=\lambda v\) untuk vektor tak nol \(v\), maka \(A\) mengirim garis yang melalui \(v\) kembali ke dirinya sendiri, dengan penskalaan \(\lambda\). Menyusun ulang memberi \[(A-\lambda I)v=0,\] sehingga ruang eigen adalah kernel. Ruang eigen mencakup \(0\), tetapi vektor tak nol di dalamnya adalah vektor eigen untuk \(\lambda\).
Daftar cek pengenalan
Pertama periksa bahwa vektornya tak nol.
Hitung \(Av\) dan lihat apakah hasilnya kelipatan skalar dari \(v\).
Jika skalarnya \(0\), maka \(v\) adalah vektor tak nol di \(\ker A\).
Untuk \(\lambda\) tetap, selesaikan sistem homogen: \((A-\lambda I)v=0\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), tentukan apakah \((1,-1)\) adalah vektor eigen.
Matriks itu menukar koordinat, jadi \(A(1,-1)=(-1,1)=-(1,-1)\). Vektornya tak nol dan diskalakan oleh \(-1\), sehingga merupakan vektor eigen dengan nilai eigen \(-1\).
Coba
Coba 1: Apa ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen \(\lambda\)?
Petunjuk: Pindahkan semua suku dalam \(Av=\lambda v\) ke sisi kiri.
Coba 2: Jika \(Av=0\) dengan \(v≠0\), apa salah satu nilai eigen dari \(A\)?
Petunjuk: Ini adalah persamaan nilai eigen dengan skalar \(0\).
Nilai eigen membuat \(A-\lambda I\) singular
Tujuan pembelajaran: Cari nilai eigen dari \(\det(A-\lambda I)=0\) dan kenali kasus cepat.
Ide utama
Skalar \(\lambda\) adalah nilai eigen tepat ketika \((A-\lambda I)v=0\) memiliki solusi tak nol. Itu terjadi tepat ketika \(A-\lambda I\) singular: \[\det(A-\lambda I)=0.\] Beberapa buku memakai \(\det(\lambda I-A)\); konvensi tanda dapat mengubah polinomial dengan suatu faktor, tetapi akar-akarnya sama.
Daftar cek pengenalan
Bentuk \(A-\lambda I\).
Hitung determinannya.
Samakan determinan dengan \(0\).
Faktorkan atau selesaikan untuk kemungkinan nilai \(\lambda\).
Setelah menemukan \(\lambda\), selesaikan \((A-\lambda I)v=0\) jika ruang eigen diminta.
Contoh dikerjakan
Contoh: Cari nilai eigen dari \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&5\end{pmatrix}\).
Matriksnya segitiga, sehingga determinan dari \(A-\lambda I\) adalah \((2-\lambda)(5-\lambda)\). Persamaan karakteristiknya \((2-\lambda)(5-\lambda)=0\), jadi nilai eigennya adalah \(2\) dan \(5\).
Coba
Coba 1: Persamaan karakteristik untuk nilai eigen adalah:
Petunjuk: Nilai eigen membuat \(A-\lambda I\) memiliki kernel tak nol.
Coba 2: Apa nilai eigen dari \(\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}\)?
Petunjuk: Untuk matriks diagonal, persamaan karakteristik memfaktor melalui entri diagonal.
Gunakan invarian cepat sebelum menghitung
Tujuan pembelajaran: Gunakan entri diagonal, trace, dan determinan sebagai cara cepat untuk mengidentifikasi atau mengecek nilai eigen.
Ide utama
Untuk matriks diagonal dan segitiga, nilai eigen adalah entri diagonal, dihitung dengan multiplisitas. Untuk setiap matriks persegi atas medan tempat polinomial karakteristik terpecah, trace sama dengan jumlah nilai eigen dan determinan sama dengan hasil kalinya, keduanya dihitung dengan multiplisitas aljabar.
Contoh dikerjakan
Contoh: Matriks \(2\times2\) memiliki nilai eigen \(2\) dan \(\lambda\), serta trace \(5\). Cari \(\lambda\).
Trace adalah jumlah nilai eigen yang dihitung dengan multiplisitas. Jadi \(2+\lambda=5\), sehingga \(\lambda=3\). Ini juga memberi cek konsistensi cepat untuk perhitungan polinomial karakteristik.
Coba
Coba 1: Jika matriks \(2\times2\) memiliki trace \(5\) dan nilai eigen \(2\) serta \(\lambda\), berapa \(\lambda\)?
Petunjuk: Trace sama dengan jumlah \(2+\lambda\).
Coba 2: Jika \(A\) memiliki nilai eigen \(-1\) dan \(4\), berapa \(\det(A)\)?
Petunjuk: Determinan adalah hasil kali nilai eigen.
Selesaikan satu kernel untuk setiap nilai eigen
Tujuan pembelajaran: Hitung dan tafsirkan ruang eigen sebagai subruang, bukan sekadar vektor terpisah.
Ide utama
Setelah \(\lambda\) diketahui, ruang eigennya adalah himpunan solusi dari sistem homogen: \[E_\lambda=\ker(A-\lambda I).\] Ini adalah subruang. Setiap vektor tak nol di dalamnya adalah vektor eigen untuk \(\lambda\). Dimensinya adalah multiplisitas geometrik, yang selalu setidaknya \(1\) untuk suatu nilai eigen dan tidak lebih besar daripada multiplisitas aljabar.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), cari ruang eigen untuk \(1\) dan \(-1\).
Untuk \(\lambda=1\), persamaan \(A(x,y)=(x,y)\) memberi \((y,x)=(x,y)\), sehingga \(x=y\), dan \(E_1=\operatorname{span}\{(1,1)\}\). Untuk \(\lambda=-1\), \((y,x)=(-x,-y)\), sehingga \(y=-x\), dan \(E_{-1}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}\).
Coba
Coba 1: Untuk \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), vektor mana yang merupakan vektor eigen untuk nilai eigen \(1\)?
Petunjuk: Nilai eigen \(1\) berarti vektornya tidak berubah saat koordinat ditukar.
Coba 2: Jika suatu ruang eigen berdimensi \(2\), ruang itu memuat:
Petunjuk: Setiap vektor tak nol dalam ruang eigen adalah vektor eigen.
Pangkat, pergeseran, penskalaan, dan invers
Tujuan pembelajaran: Gunakan kembali satu pasangan eigen untuk memahami matriks terkait seperti \(A^2\), \(A-I\), \(cA\), dan \(A^{-1}\).
Ide utama
Jika \(Av=\lambda v\), maka vektor yang sama \(v\) tetap berguna untuk banyak ekspresi dalam \(A\): \[A^kv=\lambda^k v,\qquad (A-cI)v=(\lambda-c)v,\qquad (cA)v=c\lambda v.\] Jika \(A\) dapat diinvers, maka \(\lambda≠0\) dan \(A^{-1}v=\lambda^{-1}v\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Jika \(Av=2v\) dan \(A\) dapat diinvers, berapa \(A^{-1}v\)?
Terapkan \(A^{-1}\) pada \(Av=2v\): \(v=2A^{-1}v\). Karena itu \(A^{-1}v=\frac{1}{2}v\). Nilai eigen dari \(A^{-1}\) pada vektor yang sama adalah \(1/2\).
Coba
Coba 1: Jika \(Av=\lambda v\), berapa \(A^2v\)?
Petunjuk: Terapkan \(A\) ke kedua sisi satu kali lagi.
Coba 2: Jika \(A\) memiliki nilai eigen \(\lambda\), maka \(A-I\) memiliki nilai eigen:
Petunjuk: \((A-I)v=Av-v\).
Ringkasan
Pangkat mengirim \(\lambda\) ke \(\lambda^k\) pada vektor eigen yang sama.
Pergeseran \(A-cI\) mengirim \(\lambda\) ke \(\lambda-c\).
Kelipatan skalar \(cA\) mengirim \(\lambda\) ke \(c\lambda\).
Untuk \(A\) yang dapat diinvers, nilai eigen invers adalah resiprok.
Nol, pemetaan nilpoten, dan rotasi real
Tujuan pembelajaran: Kenali kasus khusus yang umum tanpa menggeneralisasi berlebihan.
Ide utama
Nilai eigen \(0\) berarti \(Av=0\) untuk suatu vektor tak nol, jadi \(A\) memiliki kernel tak trivial dan tidak dapat diinvers. Jika \(A\) nilpoten, sehingga \(A^k=0\), maka setiap nilai eigen \(\lambda\) harus memenuhi \(\lambda^k=0\), sehingga \(\lambda=0\). Matriks real dapat tidak memiliki nilai eigen real: rotasi \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) memiliki polinomial karakteristik \(\lambda^2+1\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \(0\) adalah nilai eigen tepat ketika \(A\) tidak dapat diinvers?
\(0\) adalah nilai eigen ketika \(Av=0v=0\) untuk suatu \(v\) tak nol. Itu tepat berarti \(\ker A\) memuat vektor tak nol, sehingga matriksnya singular dan tidak dapat diinvers.
Coba
Coba 1: Untuk \(A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\), apakah ada nilai eigen real?
Petunjuk: Polinomial karakteristiknya \(\lambda^2+1\), yang tidak memiliki akar real.
Coba 2: Jika \(A\) nilpoten, apa satu-satunya nilai eigen yang mungkin?
Petunjuk: Jika \(A^k=0\), maka \(A^kv=\lambda^k v\) untuk suatu vektor eigen.
Pisahkan vektor eigen, ruang eigen, dan implikasi
Tujuan pembelajaran: Hindari kesimpulan palsu yang umum dan akhiri dengan cek akhir singkat.
Jebakan umum
Vektor nol bukan vektor eigen: definisinya secara eksplisit mengecualikannya.
Ruang eigen memang memuat \(0\): ruang itu adalah kernel dan karena itu subruang.
\(A^2v=9v\) tidak memaksa \(Av=3v\): \(Av=-3v\) juga bisa.
Nilai eigen berulang tidak menentukan dimensi ruang eigen: selesaikan \((A-\lambda I)v=0\).
Trace dan determinan adalah cek, bukan ruang eigen lengkap: keduanya tidak memberi vektor eigen.
Real versus kompleks penting: sebagian matriks real memiliki nilai eigen kompleks tetapi tidak memiliki vektor eigen real.
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah \(A^2v=9v\) memaksa \(Av=3v\)?
Tidak. Jika \(Av=-3v\), maka \(A^2v=A(-3v)=-3Av=9v\). Penguadratan menghilangkan tanda, jadi kesimpulan \(Av=3v\) tidak dipaksa.
Coba
Coba 1: Jika \(A\) memiliki nilai eigen \(0\), apa yang dapat dikatakan tentang \(A\)?
Petunjuk: \(0\) sebagai nilai eigen berarti suatu vektor tak nol dipetakan ke \(0\).
Coba 2: Jika \(A^2v=9v\), apakah ini memaksa \(Av=3v\)?
Petunjuk: Pikirkan vektor dengan nilai eigen \(-3\).
Rekap akhir
Vektor eigen adalah vektor tak nol yang memenuhi \(Av=\lambda v\).
Ruang eigen adalah kernel: \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\).
Nilai eigen menyelesaikan \(\det(A-\lambda I)=0\).
Matriks diagonal dan segitiga menunjukkan nilai eigen pada diagonal.
Trace menjumlahkan nilai eigen dan determinan mengalikannya, dihitung dengan multiplisitas aljabar.
\(0\) adalah nilai eigen tepat ketika \(A\) singular.
Pangkat, pergeseran, kelipatan skalar, dan invers mentransformasi nilai eigen secara terprediksi.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Untuk setiap soal, putuskan dahulu apakah yang diminta adalah nilai eigen, vektor eigen, ruang eigen, atau konsekuensi struktural seperti keterbalikan.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+