أسئلة تدريب على التحويلات الخطية والنواة والصورة مع درس خطوة بخطوة
تدرّب على التحويلات الخطية والنواة والصورة بأسئلة مركزة، وملاحظات فورية، وشروحات واضحة، ودرس خطوة بخطوة.
مجموعة التدريب
أسئلة تدريب على التحويلات الخطية والنواة والصورة مع نتيجة فورية
أجب عن جميع الأسئلة أدناه (10)، ثم احصل على نتيجتك النهائية ومراجعة للأخطاء لتعرف بالضبط ما تحتاج إلى تحسينه.
لتحويل خطي \(T:V\to W\)، ما قيمة \(T(0)\)؟
الإجابة الصحيحة: D. \(0\)
الشرح: تقتضي الخطية أن \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\)، وبالتالي \(T(0)=0\).
ما نواة التحويل الخطي \(T:V\to W\)؟
الإجابة الصحيحة: C. \(\{v\in V:T(v)=0\}\)
الشرح: النواة هي مجموعة المتجهات التي تُرسَل إلى متجه الصفر.
ما صورة \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)، \(T(x,y)=(x,0)\)؟
الإجابة الصحيحة: D. \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\)
الشرح: كل ناتج له الإحداثي الثاني \(0\)، وكل \((a,0)\) يتحقق.
ما نواة \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)، \(T(x,y)=(x,0)\)؟
الإجابة الصحيحة: A. \(\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\)
الشرح: نحتاج إلى \((x,0)=(0,0)\)، إذن \(x=0\) و\(y\) حر.
يكون التحويل الخطي \(T:V\to W\) أحاديًّا تمامًا عندما:
الإجابة الصحيحة: A. \(\ker T=\{0\}\)
الشرح: يكون التحويل الخطي أحاديًا إذا وفقط إذا كان المتجه الصفري وحده هو الذي يُرسَل إلى الصفر.
إذا كان للتحويل الخطي \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) رتبة \(2\)، فما \(\dim(\ker T)\)؟
الإجابة الصحيحة: D. \(1\)
الشرح: تعطي نظرية الرتبة-العدمية \(3=2+\dim(\ker T)\).
هل التحويل \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)، \(T(x,y)=(x+1,y)\)، خطيّ؟
الإجابة الصحيحة: D. لا، لأن \(T(0,0)\ne(0,0)\)
الشرح: لا. يجب أن يرسل التحويل الخطي \((0,0)\) إلى \((0,0)\)، لكن هذا التحويل يرسله إلى \((1,0)\).
لـ \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\)، \(T(x,y,z)=(x,y,0)\)، ما \(\operatorname{Im}T\)؟
الإجابة الصحيحة: B. \(\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\}\)
الشرح: الإحداثي الثالث يساوي \(0\) دائمًا، بينما الإحداثيان الأول والثاني حران.
إذا كانت \(\operatorname{Im}T=W\)، فما الاسم المعتاد لـ \(T\)؟
الإجابة الصحيحة: D. شامل
الشرح: كون الصورة مساوية للفضاء المستهدف كله يعني أن كل متجه هدف يمكن الوصول إليه.
لـ \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)، \(T(x,y)=(x+y,x+y)\)، ما \(\dim(\operatorname{Im}T)\)؟
الإجابة الصحيحة: A. \(1\)
الشرح: جميع النواتج مضاعفات لـ \((1,1)\)، لذا فالصورة مستقيم.
النتيجة
نتيجتك: 0 / 10
راجع نتيجتك أدناه.