Linear Maps, Kernel & Image : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les applications linéaires, le noyau et l’image avec une leçon interactive pas à pas
Utilisez le quiz en haut de la page pour travailler les applications linéaires, le noyau et l’image : vérifier si une application est linéaire, utiliser \(T(0)=0\), trouver \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\), décrire \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), relier l’injectivité à \(\ker T=\{0\}\), relier la surjectivité à \(\operatorname{Im}T=W\), lire les applications matricielles avec l’espace des colonnes et l’espace nul, utiliser le théorème du rang et traiter des faits de composition comme : \(S\circ T\) injective implique \(T\) injective. Si vous voulez un rappel, ouvrez la leçon pour des exemples et vérifications faciles à suivre mentalement.
Comment fonctionne cet entraînement sur les applications linéaires
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les applications linéaires, le noyau, l’image, l’injectivité et la surjectivité en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon : revoyez les définitions, les raccourcis pour les applications matricielles, le théorème du rang et les faits de composition avec des exemples corrigés.
3. Réessayez : revenez au quiz et utilisez immédiatement le langage du noyau et de l’image.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les applications linéaires, le noyau et l’image
Reconnaître les applications linéaires
Test de linéarité : \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) et \(T(cv)=cT(v)\)
Vérification du zéro : toute application linéaire envoie \(0_V\) sur \(0_W\)
Repérer les pièges affines et non linéaires comme \((x,y)\mapsto(x+1,y)\) ou \((x,y)\mapsto(x^2,y)\)
Noyau et injectivité
Noyau : \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\)
\(\ker T\) est un sous-espace du domaine
Injective : \(T\) est injective exactement lorsque \(\ker T=\{0\}\)
Image et surjectivité
Image : toutes les sorties \(T(v)\), toujours un sous-espace du codomaine
Pour \(x\mapsto Ax\), l’image est l’espace des colonnes de \(A\)
Surjective : \(\operatorname{Im}T=W\)
Rang, nullité et composition
Théorème du rang : \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\)
Utiliser le rang et la nullité, ainsi que les cas limites de l’application nulle et de l’identité, pour compter les dimensions avant de tout résoudre
Faits de composition : \(S\circ T\) injective force \(T\) à être injective, et \(S\circ T\) surjective force \(S\) à être surjective
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à travailler les applications linéaires, les noyaux et les images.
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Algèbre linéaire avancée
Leçon sur les applications linéaires, le noyau et l’image
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Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : Construire une image claire d’une application linéaire \(T:V\to W\), puis utiliser ses deux sous-espaces les plus importants : le noyau dans le domaine et l’image dans le codomaine. Vous relierez ces idées à l’injectivité, à la surjectivité, aux applications matricielles, au théorème du rang et à la composition.
Critères de réussite
Vérifier la linéarité avec l’additivité et la multiplication par un scalaire.
Utiliser \(T(0_V)=0_W\) pour rejeter rapidement les applications décalées.
Trouver \(\ker T\) en résolvant \(T(v)=0\), et savoir que c’est un sous-espace de \(V\).
Trouver \(\operatorname{Im}T\) en décrivant toutes les sorties, souvent comme une enveloppe linéaire.
Reconnaître les applications injectives grâce à \(\ker T=\{0\}\) et les applications surjectives grâce à \(\operatorname{Im}T=W\).
Pour \(x\mapsto Ax\), lire l’image comme l’espace des colonnes et le noyau comme l’ensemble des solutions de \(Ax=0\).
Utiliser \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\) pour compter les dimensions.
Utiliser les faits de base sur les compositions sans confondre les rôles de \(S\) et de \(T\).
Vocabulaire clé
Application linéaire : une fonction \(T:V\to W\) telle que \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) et \(T(cv)=cT(v)\).
Noyau : \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\), un sous-espace du domaine.
Image : \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), un sous-espace du codomaine.
Rang : \(\dim\operatorname{Im}T\).
Nullité : \(\dim\ker T\).
Isomorphisme : une application linéaire bijective.
Vérification rapide initiale
Vérification initiale 1 : Pour une application linéaire \(T:V\to W\), que vaut \(T(0_V)\) ?
Indice : utilisez \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\), puis soustrayez \(T(0)\) dans \(W\).
Vérification initiale 2 : Qu’est-ce que le noyau d’une application linéaire \(T:V\to W\) ?
Indice : le noyau vit dans le domaine et contient les entrées envoyées sur le vecteur nul.
La linéarité consiste à préserver la structure
Objectif d’apprentissage : décider rapidement si une formule définit une application linéaire, et utiliser \(T(0)=0\) comme premier filtre rapide.
Idée clé
Une application \(T:V\to W\) est linéaire lorsqu’elle respecte les combinaisons linéaires : \[T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)\] pour tous vecteurs \(u,v\) et tous scalaires \(c,d\). Cette seule formule contient à la fois l’additivité et la multiplication par un scalaire.
Liste de reconnaissance
Test du zéro : si \(T(0)≠ 0\), l’application n’est pas linéaire.
Pas de décalage : les constantes comme \(x+1\) donnent en général une application affine, pas linéaire.
Pas d’opérations non linéaires : carrés, valeurs absolues, produits de coordonnées et changements par cas brisent en général la linéarité.
Formules coordonnées : les sommes comme \(x-y\) et les multiples scalaires comme \(2x\) sont compatibles avec la linéarité.
Conséquences scalaires : \(T(-v)=-T(v)\), \(T(u-v)=T(u)-T(v)\) et \(T(v/2)=T(v)/2\).
Exemple corrigé
Exemple : L’application \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+1,y)\), est-elle linéaire ?
Non. Le vecteur nul est envoyé sur \(T(0,0)=(1,0)\), et non sur \((0,0)\). Une application linéaire doit envoyer le vecteur nul du domaine sur le vecteur nul du codomaine.
À vous
À vous 1 : Quelle application est linéaire sur \(\mathbb{R}^2\) ?
Indice : cherchez une formule faite seulement de sommes de coordonnées et de multiples scalaires, sans décalage ni opération non linéaire.
À vous 2 : Si \(T(v)=w\), que vaut \(T(3v)\) ?
Indice : la multiplication scalaire passe à travers une application linéaire : \(T(3v)=3T(v)\).
Le noyau mesure ce qui s’effondre sur zéro
Objectif d’apprentissage : trouver des noyaux à partir de formules simples et utiliser \(\ker T=\{0\}\) comme test d’injectivité.
Idée clé
Le noyau est l’ensemble des entrées qui disparaissent : \[\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}.\] C’est toujours un sous-espace de \(V\). Pour l’injectivité, la seule entrée autorisée à disparaître est le vecteur nul : \(T\) est injective exactement lorsque \(\ker T=\{0\}\).
Exemple corrigé
Exemple : Pour \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), trouvez \(\ker T\).
Résolvez \(T(x,y,z)=(0,0)\). On obtient \(x=0\) et \(z=0\), tandis que \(y\) est libre. Donc \[\ker T=\{(0,y,0):y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.\]
À vous
À vous 1 : Pour \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\), que vaut \(\ker T\) ?
Indice : posez \((x,0)=(0,0)\). La première coordonnée est imposée, mais la deuxième coordonnée est libre.
À vous 2 : Si \(T(v)=T(w)\), quel vecteur appartient à \(\ker T\) ?
Indice : soustrayez les deux images égales en utilisant la linéarité.
Résumé
Pour trouver un noyau, résolvez \(T(v)=0\).
Les vecteurs du noyau vivent dans le domaine.
\(\ker T=\{0\}\) est le test direct de l’injectivité.
L’image est l’ensemble des sorties atteignables
Objectif d’apprentissage : décrire les images comme des enveloppes linéaires ou des conditions sur les coordonnées, et utiliser \(\operatorname{Im}T=W\) comme test de surjectivité.
Idée clé
L’image est l’ensemble de toutes les sorties : \[\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}.\] C’est toujours un sous-espace du codomaine. Une application \(T:V\to W\) est surjective exactement lorsque chaque vecteur de \(W\) est atteint, donc lorsque \(\operatorname{Im}T=W\).
Exemple corrigé
Exemple : Pour \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,x+y)\), décrivez l’image.
Chaque sortie a des coordonnées égales : \((x+y,x+y)=(t,t)=t(1,1)\). Réciproquement, chaque \(t(1,1)\) est atteint en prenant \(x=t,y=0\). Ainsi \(\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,1)\}\), une droite de dimension un.
À vous
À vous 1 : Pour \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), que vaut \(\operatorname{Im}T\) ?
Indice : étant donné n’importe quel couple \((a,b)\), choisissez \(x=a\) et \(z=b\).
À vous 2 : Si \(\operatorname{Im}T=W\), quel est le nom habituel de \(T\) ?
Indice : chaque vecteur du codomaine est atteint.
Espace des colonnes et espace nul
Objectif d’apprentissage : traduire les questions de noyau et d’image pour \(x\mapsto Ax\) dans le langage matriciel familier.
Idée clé
Pour une application matricielle \(T(x)=Ax\), l’image est l’enveloppe linéaire des colonnes de \(A\), aussi appelée espace des colonnes. Le noyau est l’ensemble des solutions de \(Ax=0\), aussi appelé espace nul. Les colonnes pivot donnent la dimension de l’image ; les variables libres donnent la dimension du noyau.
Exemple corrigé
Exemple : Soit \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\end{pmatrix}\). Décrivez le noyau de \(x\mapsto Ax\).
Résolvez \(Ax=0\) : \[x_1+2x_3=0,\qquad x_2-x_3=0.\] Posons \(x_3=t\). Alors \(x_1=-2t\), \(x_2=t\), donc \[x=t(-2,1,1).\] Par conséquent \(\ker A=\operatorname{span}\{(-2,1,1)\}\).
À vous
À vous 1 : Pour une application matricielle \(x\mapsto Ax\), quelle est l’image de l’application ?
Indice : les sorties de \(Ax\) sont des combinaisons linéaires des colonnes de \(A\).
À vous 2 : Si les colonnes d’une matrice \(3\times2\) sont indépendantes, quel est son noyau ?
Indice : des colonnes indépendantes signifient que la seule solution de \(Ax=0\) est le vecteur nul du domaine.
Compter les dimensions avec le théorème du rang
Objectif d’apprentissage : utiliser le théorème du rang pour trouver une dimension manquante sans résoudre toutes les équations vectorielles.
Idée clé
Pour une application linéaire \(T:V\to W\) avec un domaine de dimension finie, \[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T.\] La dimension de l’image est le rang ; la dimension du noyau est la nullité. Remarquez que la dimension du domaine apparaît à gauche.
Exemple corrigé
Exemple : Si \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) est surjective, que vaut \(\dim\ker T\) ?
Surjective signifie \(\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3\), donc le rang vaut \(3\). Le théorème du rang donne \(4=\dim\ker T+3\). Donc \(\dim\ker T=1\).
À vous
À vous 1 : Si \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) a pour rang \(2\), que vaut \(\dim\ker T\) ?
À vous 2 : Si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) est injective, que vaut \(\dim\operatorname{Im}T\) ?
Indice : injective signifie nullité \(0\), donc le rang est égal à la dimension du domaine.
Comportement des noyaux et des images dans les compositions
Objectif d’apprentissage : utiliser les faits de base sur la composition sans inverser les rôles de l’application intérieure et de l’application extérieure.
Idée clé
La composition d’applications linéaires est linéaire. Si \(S\circ T\) est injective, alors \(T\) doit être injective : deux sorties égales de \(T\) deviendraient deux sorties égales de \((S\circ T)\). Si \(S\circ T\) est surjective, alors \(S\) doit être surjective : chaque valeur finale visée est atteinte en appliquant \(S\) à quelque chose dans l’image de \(T\).
Exemple corrigé
Exemple : Pourquoi \((S\circ T)\) injective force-t-elle \(T\) à être injective ?
Supposons \(T(v)=T(w)\). En appliquant \(S\), on obtient \(S(T(v))=S(T(w))\). Comme \(S\circ T\) est injective, cela implique \(v=w\). Donc \(T\) est injective.
À vous
À vous 1 : Si \(S\circ T\) est injective, que doit-on savoir sur \(T\) ?
Indice : partez de \(T(v)=T(w)\), puis appliquez \(S\).
À vous 2 : Si une application linéaire est à la fois injective et surjective, comment l’appelle-t-on ?
Indice : une application linéaire bijective donne une correspondance qui préserve la structure entre espaces vectoriels.
Séparer domaine, codomaine, noyau et image
Objectif d’apprentissage : éviter les erreurs courantes et terminer par une vérification finale rapide.
Pièges courants
Le noyau vit dans le domaine : il est formé d’entrées.
L’image vit dans le codomaine : elle est formée de sorties.
L’image n’est jamais vide : une application linéaire produit toujours au moins \(0_W\).
\(\ker T=\{0\}\) signifie injective, pas surjective.
\(\operatorname{Im}T=W\) signifie surjective, pas automatiquement injective.
Applications extrêmes : l’application nulle a \(\ker T=V\) et \(\operatorname{Im}T=\{0\}\) ; l’identité a \(\ker T=\{0\}\) et \(\operatorname{Im}T=V\).
N’acceptez pas les formules décalées : \(T(0)≠0\) détruit immédiatement la linéarité.
Exemple corrigé
Exemple : Pour \(T(x,y)=(x,0)\), quels sont le noyau et l’image ?
La condition de noyau \((x,0)=(0,0)\) donne \(x=0\), donc \(\ker T=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\). Les sorties sont de la forme \((x,0)\), donc \(\operatorname{Im}T=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\). Le noyau est une droite verticale dans le domaine ; l’image est une droite horizontale dans le codomaine.
À vous
À vous 1 : Si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) est l’application nulle, que vaut \(\operatorname{Im}T\) ?
Indice : l’application nulle a exactement une seule sortie.
À vous 2 : Pour \(T(x,y)=(x+y,x+y)\), quel vecteur appartient à \(\ker T\) ?
Indice : la condition de noyau est \(x+y=0\).
Récapitulatif final
La linéarité signifie préserver les combinaisons linéaires.
\(\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\), et \(\ker T=\{0\}\) exactement lorsque \(T\) est injective.
\(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), et \(\operatorname{Im}T=W\) exactement lorsque \(T\) est surjective.
Pour \(x\mapsto Ax\), l’image est l’espace des colonnes et le noyau est l’ensemble des solutions de \(Ax=0\).
L’application nulle a pour noyau \(V\) et pour image \(\{0\}\) ; l’identité a pour noyau \(\{0\}\) et pour image \(V\).
Le théorème du rang compte les dimensions à partir du domaine : \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\).
Les faits de composition suivent l’application intérieure pour l’injectivité et l’application extérieure pour la surjectivité.
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Quand une question mentionne \(T(v)=0\), pensez noyau ; quand elle demande quelles sorties sont possibles, pensez image.
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