Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Linear Maps, Kernel & Image - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de aplicaciones lineales, núcleo e imagen con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario de la parte superior de la página para practicar aplicaciones lineales, núcleo e imagen: comprobar si una aplicación es lineal, usar \(T(0)=0\), encontrar \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\), describir \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), relacionar la inyectividad con \(\ker T=\{0\}\), relacionar la sobreyectividad con \(\operatorname{Im}T=W\), leer aplicaciones matriciales mediante el espacio columna y el espacio nulo, usar rango-nulidad y manejar hechos de composición como que \(S\circ T\) inyectiva implica que \(T\) es inyectiva. Si quieres repasar, abre la lección para ver ejemplos y comprobaciones que puedes seguir mentalmente.
Cómo funciona esta práctica de aplicaciones lineales
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas de aplicaciones lineales, núcleo, imagen, inyectividad y sobreyectividad en la parte superior de la página.
2. Abre la lección: repasa definiciones, atajos para aplicaciones matriciales, rango-nulidad y hechos de composición con ejemplos resueltos.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y usa de inmediato el lenguaje de núcleo e imagen.
Lo que aprenderás en la lección de aplicaciones lineales, núcleo e imagen
Reconocer aplicaciones lineales
Prueba de linealidad: \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) y \(T(cv)=cT(v)\)
Comprobación del cero: toda aplicación lineal envía \(0_V\) a \(0_W\)
Detecta trampas afines y no lineales como \((x,y)\mapsto(x+1,y)\) o \((x,y)\mapsto(x^2,y)\)
Núcleo e inyectividad
Núcleo: \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\)
\(\ker T\) es un subespacio del dominio
Inyectiva: \(T\) es uno a uno exactamente cuando \(\ker T=\{0\}\)
Imagen y sobreyectividad
Imagen: todas las salidas \(T(v)\), siempre un subespacio del codominio
Para \(x\mapsto Ax\), la imagen es el espacio columna de \(A\)
Usa rango y nulidad, junto con los casos límite de la aplicación cero y la identidad, para contar dimensiones antes de resolver todo
Hechos de composición: \(S\circ T\) inyectiva obliga a que \(T\) sea inyectiva, y \(S\circ T\) sobreyectiva obliga a que \(S\) sea sobreyectiva
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Cuando estés listo, regresa al cuestionario de la parte superior de la página y sigue practicando aplicaciones lineales, núcleos e imágenes.
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Álgebra lineal avanzada
Lección de aplicaciones lineales, núcleo e imagen
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Resumen de la lección
Propósito: Construir una imagen clara de una aplicación lineal \(T:V\to W\), y luego usar sus dos subespacios más importantes: el núcleo en el dominio y la imagen en el codominio. Conectarás estas ideas con inyectividad, sobreyectividad, aplicaciones matriciales, rango-nulidad y composición.
Criterios de éxito
Comprobar la linealidad usando aditividad y multiplicación por escalares.
Usar \(T(0_V)=0_W\) para descartar rápidamente aplicaciones desplazadas.
Encontrar \(\ker T\) resolviendo \(T(v)=0\), y saber que es un subespacio de \(V\).
Encontrar \(\operatorname{Im}T\) describiendo todas las salidas, a menudo como un subespacio generado.
Reconocer aplicaciones inyectivas por \(\ker T=\{0\}\) y aplicaciones sobreyectivas por \(\operatorname{Im}T=W\).
Para \(x\mapsto Ax\), leer la imagen como espacio columna y el núcleo como el conjunto solución de \(Ax=0\).
Usar \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\) para contar dimensiones.
Usar hechos básicos de composición sin confundir los papeles de \(S\) y \(T\).
Vocabulario clave
Aplicación lineal: una función \(T:V\to W\) con \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) y \(T(cv)=cT(v)\).
Núcleo: \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\), un subespacio del dominio.
Imagen: \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), un subespacio del codominio.
Rango: \(\dim\operatorname{Im}T\).
Nulidad: \(\dim\ker T\).
Isomorfismo: una aplicación lineal biyectiva.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: Para una aplicación lineal \(T:V\to W\), ¿cuánto es \(T(0_V)\)?
Pista: Usa \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\), luego resta \(T(0)\) en \(W\).
Comprobación previa 2: ¿Cuál es el núcleo de una aplicación lineal \(T:V\to W\)?
Pista: El núcleo vive en el dominio y está formado por las entradas que se envían al vector cero.
La linealidad consiste en preservar la estructura
Objetivo de aprendizaje: Decidir rápidamente si una fórmula define una aplicación lineal y usar \(T(0)=0\) como primer filtro rápido.
Idea clave
Una aplicación \(T:V\to W\) es lineal cuando respeta las combinaciones lineales: \[T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)\] para todos los vectores \(u,v\) y escalares \(c,d\). Esta sola fórmula contiene tanto la aditividad como la multiplicación por escalares.
Lista de reconocimiento
Prueba del cero: si \(T(0)≠ 0\), la aplicación no es lineal.
Sin desplazamientos: constantes como \(x+1\) normalmente producen una aplicación afín, no una lineal.
Sin operaciones no lineales: cuadrados, valores absolutos, productos de coordenadas y cambios por casos normalmente rompen la linealidad.
Fórmulas coordenadas: sumas como \(x-y\) y múltiplos escalares como \(2x\) son compatibles con la linealidad.
Consecuencias escalares: \(T(-v)=-T(v)\), \(T(u-v)=T(u)-T(v)\) y \(T(v/2)=T(v)/2\).
No. El vector cero se envía a \(T(0,0)=(1,0)\), no a \((0,0)\). Una aplicación lineal debe enviar el vector cero del dominio al vector cero del codominio.
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál aplicación es lineal en \(\mathbb{R}^2\)?
Pista: Busca una fórmula hecha solo con sumas de coordenadas y múltiplos escalares, sin desplazamientos ni operaciones no lineales.
Inténtalo 2: Si \(T(v)=w\), ¿cuánto es \(T(3v)\)?
Pista: La multiplicación por escalares pasa a través de una aplicación lineal: \(T(3v)=3T(v)\).
El núcleo mide el colapso a cero
Objetivo de aprendizaje: Encontrar núcleos a partir de fórmulas simples y usar \(\ker T=\{0\}\) como prueba de inyectividad.
Idea clave
El núcleo es el conjunto de entradas que desaparecen: \[\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}.\] Siempre es un subespacio de \(V\). Para la inyectividad, la única entrada que puede desaparecer es el vector cero: \(T\) es inyectiva exactamente cuando \(\ker T=\{0\}\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), encuentra \(\ker T\).
Resuelve \(T(x,y,z)=(0,0)\). Esto da \(x=0\) y \(z=0\), mientras que \(y\) es libre. Entonces \[\ker T=\{(0,y,0):y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Para \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\), ¿cuál es \(\ker T\)?
Pista: Plantea \((x,0)=(0,0)\). La primera coordenada queda forzada, pero la segunda coordenada es libre.
Inténtalo 2: Si \(T(v)=T(w)\), ¿qué vector está en \(\ker T\)?
Pista: Resta las dos imágenes iguales usando linealidad.
Resumen
Para encontrar un núcleo, resuelve \(T(v)=0\).
Los vectores del núcleo viven en el dominio.
\(\ker T=\{0\}\) es la prueba clara de inyectividad.
La imagen es el conjunto de salidas alcanzables
Objetivo de aprendizaje: Describir imágenes como subespacios generados o mediante condiciones sobre coordenadas, y usar \(\operatorname{Im}T=W\) como prueba de sobreyectividad.
Idea clave
La imagen es el conjunto de todas las salidas: \[\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}.\] Siempre es un subespacio del codominio. Una aplicación \(T:V\to W\) es sobreyectiva exactamente cuando se alcanza todo vector de \(W\), es decir, cuando \(\operatorname{Im}T=W\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,x+y)\), describe la imagen.
Toda salida tiene coordenadas iguales: \((x+y,x+y)=(t,t)=t(1,1)\). Recíprocamente, todo \(t(1,1)\) se alcanza tomando \(x=t,y=0\). Por tanto, \(\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,1)\}\), una recta unidimensional.
Inténtalo
Inténtalo 1: Para \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), ¿cuál es \(\operatorname{Im}T\)?
Pista: Dado cualquier par \((a,b)\), elige \(x=a\) y \(z=b\).
Inténtalo 2: Si \(\operatorname{Im}T=W\), ¿cuál es el nombre usual de \(T\)?
Pista: Se alcanza todo vector del codominio.
Espacio columna y espacio nulo
Objetivo de aprendizaje: Traducir preguntas de núcleo e imagen para \(x\mapsto Ax\) al lenguaje matricial familiar.
Idea clave
Para una aplicación matricial \(T(x)=Ax\), la imagen es el subespacio generado por las columnas de \(A\), también llamado espacio columna. El núcleo es el conjunto solución de \(Ax=0\), también llamado espacio nulo. Las columnas pivote indican la dimensión de la imagen; las variables libres indican la dimensión del núcleo.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\end{pmatrix}\). Describe el núcleo de \(x\mapsto Ax\).
Resuelve \(Ax=0\): \[x_1+2x_3=0,\qquad x_2-x_3=0.\] Sea \(x_3=t\). Entonces \(x_1=-2t\), \(x_2=t\), así que \[x=t(-2,1,1).\] Por lo tanto, \(\ker A=\operatorname{span}\{(-2,1,1)\}\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Para una aplicación matricial \(x\mapsto Ax\), ¿cuál es la imagen de la aplicación?
Pista: Las salidas de \(Ax\) son combinaciones lineales de las columnas de \(A\).
Inténtalo 2: Si las columnas de una matriz \(3\times2\) son independientes, ¿cuál es su núcleo?
Pista: Columnas independientes significan que la única solución de \(Ax=0\) es el vector cero en el dominio.
Contar dimensiones con rango-nulidad
Objetivo de aprendizaje: Usar rango-nulidad para encontrar una dimensión faltante sin resolver cada ecuación vectorial.
Idea clave
Para una aplicación lineal \(T:V\to W\) con dominio de dimensión finita, \[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T.\] La dimensión de la imagen es el rango; la dimensión del núcleo es la nulidad. Observa que la dimensión del dominio aparece a la izquierda.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) es sobreyectiva, ¿cuánto es \(\dim\ker T\)?
Sobreyectiva significa \(\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3\), así que el rango es \(3\). Rango-nulidad da \(4=\dim\ker T+3\). Por lo tanto, \(\dim\ker T=1\).
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) tiene rango \(2\), ¿cuánto es \(\dim\ker T\)?
Pista: Usa \(\dim V=3=\operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T\).
Inténtalo 2: Si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) es inyectiva, ¿cuánto es \(\dim\operatorname{Im}T\)?
Pista: Inyectiva significa nulidad \(0\), así que el rango es igual a la dimensión del dominio.
Cómo se comportan núcleos e imágenes en composiciones
Objetivo de aprendizaje: Usar hechos básicos de composición sin invertir los papeles de la aplicación interior y la exterior.
Idea clave
La composición de aplicaciones lineales es lineal. Si \(S\circ T\) es inyectiva, entonces \(T\) debe ser inyectiva: salidas iguales de \(T\) se convertirían en salidas iguales de \((S\circ T)\). Si \(S\circ T\) es sobreyectiva, entonces \(S\) debe ser sobreyectiva: todo valor final del codominio se alcanza aplicando \(S\) a algo en la imagen de \(T\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué \((S\circ T)\) inyectiva obliga a que \(T\) sea inyectiva?
Supón que \(T(v)=T(w)\). Al aplicar \(S\), se obtiene \(S(T(v))=S(T(w))\). Como \(S\circ T\) es inyectiva, esto implica \(v=w\). Por lo tanto, \(T\) es inyectiva.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(S\circ T\) es inyectiva, ¿qué debe ser cierto sobre \(T\)?
Pista: Empieza con \(T(v)=T(w)\), luego aplica \(S\).
Inténtalo 2: Si una aplicación lineal es inyectiva y sobreyectiva, ¿cómo se llama?
Pista: Una aplicación lineal biyectiva da una correspondencia que preserva la estructura entre espacios vectoriales.
Mantén separados dominio, codominio, núcleo e imagen
Objetivo de aprendizaje: Evitar errores comunes y terminar con una comprobación final rápida.
Trampas comunes
El núcleo vive en el dominio: está formado por entradas.
La imagen vive en el codominio: está formada por salidas.
La imagen nunca está vacía: una aplicación lineal siempre produce al menos \(0_W\).
\(\ker T=\{0\}\) significa inyectiva, no sobreyectiva.
\(\operatorname{Im}T=W\) significa sobreyectiva, no automáticamente inyectiva.
Aplicaciones extremas: la aplicación cero tiene \(\ker T=V\) y \(\operatorname{Im}T=\{0\}\); la identidad tiene \(\ker T=\{0\}\) y \(\operatorname{Im}T=V\).
No aceptes fórmulas desplazadas: \(T(0)≠0\) rompe inmediatamente la linealidad.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(T(x,y)=(x,0)\), ¿cuáles son el núcleo y la imagen?
La condición del núcleo \((x,0)=(0,0)\) da \(x=0\), así que \(\ker T=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\). Las salidas tienen la forma \((x,0)\), por lo que \(\operatorname{Im}T=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\). El núcleo es una recta vertical en el dominio; la imagen es una recta horizontal en el codominio.
Inténtalo
Inténtalo 1: Si \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) es la aplicación cero, ¿cuál es \(\operatorname{Im}T\)?
Pista: La aplicación cero tiene exactamente una salida.
Inténtalo 2: Para \(T(x,y)=(x+y,x+y)\), ¿qué vector pertenece a \(\ker T\)?
Pista: La condición del núcleo es \(x+y=0\).
Repaso final
Linealidad significa preservar combinaciones lineales.
\(\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\), y \(\ker T=\{0\}\) exactamente cuando \(T\) es inyectiva.
\(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), y \(\operatorname{Im}T=W\) exactamente cuando \(T\) es sobreyectiva.
Para \(x\mapsto Ax\), imagen significa espacio columna y núcleo significa el conjunto solución de \(Ax=0\).
La aplicación cero tiene núcleo \(V\) e imagen \(\{0\}\); la identidad tiene núcleo \(\{0\}\) e imagen \(V\).
Rango-nulidad cuenta dimensiones desde el dominio: \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\).
Los hechos de composición siguen la aplicación interior para la inyectividad y la aplicación exterior para la sobreyectividad.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. Cuando una pregunta mencione \(T(v)=0\), piensa en núcleo; cuando pregunte qué salidas son posibles, piensa en imagen.
Racha 5+
Racha 10+
Racha 15+
Racha 20+
Racha 25+