Betrag-Übungsquiz mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion
Nutze das Quiz weiter unten auf der Seite, um den Betrag zu üben: Beträge berechnen (wie \(\lvert -7\rvert\)), Betragsterme vereinfachen (auch mit verschachtelten Betragsstrichen und negativen Vorzeichen), den Betrag als Abstand auf einer Zahlengeraden verwenden (\(\lvert a-b\rvert\)), Betragsgleichungen wie \(\lvert ax+b\rvert=c\) lösen, Betragsungleichungen wie \(\lvert ax+b\rvert<c\) und \(\lvert ax+b\rvert\ge c\) lösen, Lösungen in Intervallschreibweise schreiben und Graphen von Betragsfunktionen wie \(y=\lvert x\rvert\) und \(y=\lvert x-h\rvert+k\) verstehen. Wenn du etwas auffrischen möchtest, klicke auf Lektion starten, um eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Beispielen und kurzen Kontrollfragen zu öffnen.
Beantworte die Fragensammlung und prüfe deine Fehler am Ende.
So funktioniert diese Betrag-Übung
1. Bearbeite das Übungsset: Beantworte die Betragsfragen weiter unten auf der Seite.
2. Öffne die Lektion (optional): Wiederhole die Betragsdefinition, die Bedeutung als Abstand und zuverlässige Lösungsschritte für Gleichungen und Ungleichungen.
3. Erneut versuchen: Kehre zum Fragenset zurück und wende die Betragsregeln sofort an.
Was du in der Betragslektion lernst
Grundlagen & Bedeutung
Die Definition des Betrags und warum \(\lvert a\rvert \ge 0\)
Abstand von null und Abstand zwischen zwei Zahlen: \(\lvert a-b\rvert\)
Abschnittsweise Form von \(\lvert x\rvert\) und wann welcher Fall gilt
Betragsterme vereinfachen
Vereinfachen mit verschachtelten Beträgen und negativen Vorzeichen
Rechenreihenfolge mit Betragsstrichen
Häufige Fehler (zum Beispiel \(-\lvert a\rvert\) mit \(\lvert -a\rvert\) zu verwechseln)
Ziel: Baue ein klares Verständnis des Betrags auf, damit du Terme vereinfachen, Abstände deuten, Betragsgleichungen lösen, Betragsungleichungen lösen und alles mit Graphen und Intervallschreibweise verbinden kannst.
Erfolgskriterien
Berechne Beträge wie \(\lvert -7\rvert\) und erkläre, warum das Ergebnis nichtnegativ ist.
Nutze die abschnittsweise Definition von \(\lvert x\rvert\) und entscheide, welcher Fall gilt.
Vereinfache Terme mit verschachtelten Beträgen und negativen Vorzeichen (zum Beispiel \(-\lvert \lvert -3\rvert\rvert\)).
Nutze \(\lvert a-b\rvert\), um den Abstand zwischen zwei Zahlen auf einer Zahlengeraden zu bestimmen.
Löse Gleichungen der Form \(\lvert ax+b\rvert=c\) (und erkenne, wann es keine Lösung gibt).
Löse Ungleichungen der Form \(\lvert ax+b\rvert<c\), \(\lvert ax+b\rvert\le c\), \(\lvert ax+b\rvert>c\) und \(\lvert ax+b\rvert\ge c\).
Schreibe Lösungsmengen mit Intervallschreibweise und mithilfe der Zahlengeraden.
Zeichne \(y=\lvert x\rvert\) und Transformationen wie \(y=\lvert x-h\rvert+k\) (Verschiebungen des Scheitelpunkts).
Wichtige Begriffe
Betrag: der Abstand einer Zahl von \(0\) auf der Zahlengeraden (immer \(\ge 0\)).
Abstand: zwischen \(a\) und \(b\) ist \(\lvert a-b\rvert\).
Abschnittsweise Definition: eine Definition, die davon abhängt, ob eine Größe nichtnegativ oder negativ ist.
Lösungsmenge: alle Werte, die eine Gleichung oder Ungleichung wahr machen.
Intervallschreibweise: eine kompakte Schreibweise für Lösungen wie \(( -3, 1 )\) oder \((-\infty,-7)\cup(-3,\infty)\).
Schnelle Vorabkontrolle
Vorabkontrolle 1: Was ist \(\lvert -8\rvert\)?
Hinweis: Der Betrag ist der Abstand von \(0\), also kann er nicht negativ sein.
Vorabkontrolle 2: Löse \(\lvert x\rvert=5\). Welche Menge ist richtig?
Hinweis: \(\lvert x\rvert=5\) bedeutet, dass \(x\) 5 Einheiten von 0 entfernt ist. Es gibt also zwei symmetrische Lösungen.
Definition & Vereinfachung
Definition des Betrags und Vereinfachen von Termen
Lernziel: Nutze die Definition von \(\lvert x\rvert\), um Terme korrekt zu vereinfachen, auch bei verschachtelten Beträgen und negativen Vorzeichen außerhalb der Betragsstriche.
Kernidee
Der Betrag kann abschnittsweise definiert werden: \[
\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
Diese Definition erklärt, warum \(\lvert x\rvert\) immer nichtnegativ ist. Eine häufige Falle ist die Verwechslung von \(\lvert -x\rvert\) und \(-\lvert x\rvert\): \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\), aber \(-\lvert x\rvert\) ist das Negative einer nichtnegativen Zahl.
Vereinfache zuerst den inneren Betrag: \(\lvert -1\rvert=1\). Jetzt wird der Term zu \( -\lvert -1 - 2 \rvert = -\lvert -3\rvert\). Da \(\lvert -3\rvert=3\), ist das Endergebnis: \[
-\lvert -\lvert -1 \rvert - 2 \rvert = -3.
\]
Hinweis: Innen gilt \(\lvert -3\rvert=3\). Der äußere Betrag lässt es \(3\), dann macht das Minuszeichen daraus \(-3\).
Aufgabe 2: Was ist \(\lvert 3 - 8 \rvert\)?
Hinweis: \(\lvert 3-8\rvert=\lvert -5\rvert\).
Zusammenfassung
\(\lvert x\rvert\) ist immer nichtnegativ und kann abschnittsweise definiert werden.
Achte auf ein Minuszeichen außerhalb der Betragsstriche: \(-\lvert x\rvert\) ist negativ (außer \(x=0\)).
Abstand
Der Betrag als Abstand auf der Zahlengeraden
Lernziel: Nutze den Betrag, um den Abstand von null und den Abstand zwischen zwei Zahlen zu messen, und verwende diese Bedeutung beim Nachdenken über Ungleichungen.
Kernidee
\(\lvert x\rvert\) ist der Abstand von \(0\) zu \(x\). Allgemeiner gilt: Der Abstand zwischen zwei Zahlen \(a\) und \(b\) ist: \[
\text{distance}(a,b)=\lvert a-b\rvert.
\]
Deshalb gilt \(\lvert a-b\rvert=\lvert b-a\rvert\): Abstand hängt nicht von der Richtung ab.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Bestimme den Abstand zwischen \(-1\) und \(4\).
Nutze \(\lvert a-b\rvert\): \[
\lvert -1-4\rvert=\lvert -5\rvert=5.
\]
Die Zahlen liegen also 5 Einheiten auf der Zahlengeraden auseinander.
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist größer: \(\lvert 2 - 7 \rvert\) oder \(\lvert -1 - 4 \rvert\)?
Hinweis: Beide Differenzen im Betrag sind \(-5\).
Aufgabe 2: Wie viele ganze Zahlen erfüllen \(\lvert x + 1 \rvert < 2\)?
Hinweis: Schreibe es als \(-2<x+1<2\) und liste die passenden ganzen Zahlen auf.
Zusammenfassung
\(\lvert x\rvert\) ist der Abstand von \(0\).
\(\lvert a-b\rvert\) ist der Abstand zwischen \(a\) und \(b\).
Gleichungen
Betragsgleichungen lösen
Lernziel: Löse Gleichungen wie \(\lvert ax+b\rvert=c\), indem du sie in zwei lineare Fälle aufteilst.
Kernidee
Wenn \(c \ge 0\), dann gilt: \[
\lvert A\rvert=c \quad \Rightarrow \quad A=c \text{ oder } A=-c.
\]
Wenn \(c < 0\), gibt es keine Lösung, weil ein Betrag nicht negativ sein kann.
Setze den inneren Term gleich \(7\) und \(-7\): \(3x+1=7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\). \(3x+1=-7 \Rightarrow 3x=-8 \Rightarrow x=-\dfrac{8}{3}\). Die Lösungsmenge ist also \(\left\{2,-\dfrac{8}{3}\right\}\).
Hinweis: Setze \(\dfrac{x}{3}-2=1\) oder \(\dfrac{x}{3}-2=-1\).
Zusammenfassung
Für \(\lvert A\rvert=c\) mit \(c\ge 0\) löst du \(A=c\) und \(A=-c\).
Wenn \(c<0\), gibt es keine Lösungen.
Ungleichungen Kleiner als
Betragsungleichungen: kleiner als und höchstens
Lernziel: Löse \(\lvert A\rvert<c\) und \(\lvert A\rvert\le c\), indem du daraus eine einzige zusammengesetzte Ungleichung machst.
Kernidee
Wenn \(c \ge 0\), dann gilt: \[
\lvert A\rvert < c \;\Rightarrow\; -c < A < c,
\qquad
\lvert A\rvert \le c \;\Rightarrow\; -c \le A \le c.
\]
Das passt zur Bedeutung als Abstand: \(\lvert A\rvert < c\) bedeutet, dass \(A\) weniger als \(c\) Einheiten von \(0\) entfernt ist.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Wie viele ganzzahlige Werte erfüllen \(\lvert n + 4 \rvert < 3\)?
Schreibe es als zusammengesetzte Ungleichung: \[
-3 < n+4 < 3.
\]
Subtrahiere 4: \[
-7 < n < -1.
\]
Die ganzen Zahlen sind \(-6,-5,-4,-3,-2\), also gibt es 5 ganzzahlige Lösungen.
Übe selbst
Aufgabe 1: Wie viele ganzzahlige Lösungen erfüllen \(\lvert 2k + 1 \rvert < 5\)?
Hinweis: Schreibe es als \(-5<2k+1<5\), löse dann nach \(k\) auf und zähle die ganzen Zahlen.
Aufgabe 2: Wie viele ganzzahlige Werte erfüllen \(\lvert k + 2 \rvert \le 1\)?
\(\lvert A\rvert<c\) wird zu \(-c<A<c\) (eine einzige "dazwischen"-Ungleichung).
\(\lvert A\rvert\le c\) wird zu \(-c\le A\le c\).
Ungleichungen Größer als
Betragsungleichungen: größer als und mindestens
Lernziel: Löse \(\lvert A\rvert>c\) und \(\lvert A\rvert\ge c\), indem du in zwei Fälle aufteilst (eine Vereinigung von Intervallen).
Kernidee
Wenn \(c \ge 0\), dann gilt: \[
\lvert A\rvert > c \;\Rightarrow\; A > c \text{ oder } A < -c,
\qquad
\lvert A\rvert \ge c \;\Rightarrow\; A \ge c \text{ oder } A \le -c.
\]
Das passt zum Abstand: \(\lvert A\rvert>c\) bedeutet, dass \(A\) mehr als \(c\) Einheiten von \(0\) entfernt ist. Dadurch entstehen zwei getrennte Bereiche.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Löse \(\lvert x - 1\rvert > 2\).
Teile in zwei Fälle auf: \[
x-1>2 \quad \text{oder} \quad x-1<-2.
\]
Löse beide: \[
x>3 \quad \text{oder} \quad x<-1.
\]
In Intervallschreibweise: \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Löse \(\lvert x + 5 \rvert > 2\).
Hinweis: Schreibe \(x+5>2\) oder \(x+5<-2\).
Aufgabe 2: Löse \(\lvert x - 2 \rvert \ge 5\).
Hinweis: Schreibe \(x-2\ge 5\) oder \(x-2\le -5\).
Zusammenfassung
\(\lvert A\rvert>c\) wird zu \(A>c\) oder \(A<-c\) (eine Vereinigung von zwei Intervallen).
\(\lvert A\rvert\ge c\) wird zu \(A\ge c\) oder \(A\le -c\).
Graphen & Abschnittsweise
Graphen des Betrags und die abschnittsweise Funktionssicht
Lernziel: Erkenne die "V"-Form von \(y=\lvert x\rvert\), nutze Verschiebungen des Scheitelpunkts und verbinde Graphen mit der abschnittsweisen Definition.
Kernidee
Der Graph von \(y=\lvert x\rvert\) ist ein "V" mit Scheitelpunkt bei \((0,0)\). Du kannst ihn als zwei Geraden betrachten: \[
y=\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
Ein nützliches Transformationsmuster ist: \[
y=\lvert x-h\rvert + k,
\]
wodurch der Scheitelpunkt nach \((h,k)\) verschoben wird.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Was ist der Scheitelpunkt von \(y=\lvert x-2\rvert+1\)?
Der Scheitelpunkt liegt dort, wo der innere Term null wird: \(x-2=0 \Rightarrow x=2\). Dann ist \(y=\lvert 0\rvert+1=1\). Der Scheitelpunkt ist also \((2,1)\).
Übe selbst
Aufgabe 1: Was ist der Scheitelpunkt von \(y=\lvert x+3\rvert-2\)?
Hinweis: Der Scheitelpunkt ist \((h,k)\) für \(y=\lvert x-h\rvert+k\). Schreibe \(\lvert x+3\rvert\) als \(\lvert x-(-3)\rvert\).
Aufgabe 2: Welche abschnittsweise Funktion entspricht \(\lvert x\rvert\)?
Hinweis: Der Betrag lässt positive Werte unverändert und macht negative Werte positiv.
Zusammenfassung
\(y=\lvert x\rvert\) hat eine V-Form mit Scheitelpunkt bei \((0,0)\).
\(y=\lvert x-h\rvert+k\) verschiebt den Scheitelpunkt nach \((h,k)\).
Die abschnittsweise Definition erklärt die Form: eine Gerade für \(x\ge 0\), eine andere für \(x<0\).
Anwendungen & Gesamtbild
Warum der Betrag wichtig ist
Lernziel: Verbinde den Betrag mit realen Toleranzen und schließe mit einem letzten Kontrolle ab, der die wichtigsten Regeln festigt.
Wo der Betrag vorkommt
Abstand und Geometrie: wie weit Werte auf einer Geraden auseinanderliegen (\(\lvert a-b\rvert\)).
Fehler und Toleranz: "innerhalb" eines Zielwerts (\(\lvert x-\text{Zielwert}\rvert \le \text{Toleranz}\)).
Algebra und Graphen: V-förmige Funktionen und Transformationen.
Ungleichungen: Aussagen wie "innerhalb" oder "mindestens so weit entfernt" in Intervalle umwandeln.
Ausgearbeitetes Beispiel: Toleranzungleichung
Beispiel: Eine Messung \(T\) liegt innerhalb von \(0.5\) Einheiten von \(20\). Schreibe die Ungleichung auf und löse sie.
"Innerhalb von \(0.5\) von \(20\)" bedeutet: \[
\lvert T-20\rvert \le 0.5.
\]
Schreibe es als zusammengesetzte Ungleichung: \[
-0.5 \le T-20 \le 0.5 \quad \Rightarrow \quad 19.5 \le T \le 20.5.
\]
Übe selbst
Aufgabe 1: Löse \(\lvert x-10\rvert \le 0.5\) in Intervallschreibweise.
Hinweis: "\(\le\)" wird zu einem abgeschlossenen Intervall zwischen den beiden Endpunkten.
Aufgabe 2: Wie viele Lösungen hat \(\lvert 3x+1\rvert = -2\)?
Hinweis: Der Betrag ist immer \(\ge 0\), also kann er keiner negativen Zahl entsprechen.
Abschlussüberblick
\(\lvert x\rvert\) ist ein Abstand und immer nichtnegativ.
Vereinfache sorgfältig: \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\), aber \(-\lvert x\rvert\) ist negativ (außer \(x=0\)).
Gleichung: \(\lvert A\rvert=c \Rightarrow A=c\) oder \(A=-c\) (für \(c\ge 0\)).
Ungleichung (größer als): \(\lvert A\rvert>c \Rightarrow A>c\) oder \(A<-c\).
Graph: \(y=\lvert x-h\rvert+k\) hat den Scheitelpunkt \((h,k)\).
Als Nächstes: Schließe diese Lektion und bearbeite das Quiz erneut. Wenn du eine Aufgabe verfehlst, öffne die Lektion erneut und wiederhole die Seite, die zu dem Thema passt, das du gerade brauchst.
Übungsset
Übungsfragen zu Absoluter Betrag mit sofortiger Punktzahl
Beantworte alle 10 Fragen unten und erhalte danach deine Punktzahl sowie eine Fehlerübersicht, damit du genau weißt, was du verbessern kannst.
