Тренировочный тест по модулю числа с пошаговым интерактивным уроком
Используйте вопросы ниже на странице, чтобы отрабатывать модуль числа: вычисление модуля (например, \(\lvert -7\rvert\)), упрощение выражений с модулем (включая вложенные знаки модуля и отрицательные знаки), использование модуля как расстояния на числовой прямой (\(\lvert a-b\rvert\)), решение уравнений с модулем вроде \(\lvert ax+b\rvert=c\), решение неравенств с модулем вроде \(\lvert ax+b\rvert<c\) и \(\lvert ax+b\rvert\ge c\), запись решений в интервальной записи и понимание графиков функций с модулем вроде \(y=\lvert x\rvert\) и \(y=\lvert x-h\rvert+k\). Если нужно освежить знания, нажмите Начать урок, чтобы открыть пошаговое руководство с примерами и быстрыми проверками.
Ответьте на набор вопросов и разберите ошибки в конце.
Как устроена тренировка по модулю числа
1. Выполните набор практики: ответьте на вопросы по модулю числа ниже на странице.
2. Откройте урок (необязательно): повторите определение модуля, смысл расстояния и надежные шаги решения уравнений и неравенств.
3. Попробуйте снова: вернитесь к набору вопросов и сразу примените правила модуля.
Что вы изучите в уроке по модулю числа
Основы и смысл
Определение модуля и почему \(\lvert a\rvert \ge 0\)
Расстояние от нуля и расстояние между двумя числами: \(\lvert a-b\rvert\)
Кусочная форма \(\lvert x\rvert\) и когда применяется каждый случай
Упрощение выражений с модулем
Упрощение с вложенными модулями и отрицательными знаками
Порядок действий с знаками модуля
Частые ошибки (например, путаница между \(-\lvert a\rvert\) и \(\lvert -a\rvert\))
Цель: Сформируйте ясное понимание модуля числа, чтобы упрощать выражения, понимать расстояние, решать уравнения и неравенства с модулем, а также связывать это с графиками и интервальной записью.
Критерии успеха
Вычислять модули вроде \(\lvert -7\rvert\) и объяснять, почему результат неотрицателен.
Использовать определение по частям \(\lvert x\rvert\) и выбирать подходящий случай.
Упрощать выражения с вложенными модулями и отрицательными знаками (например, \(-\lvert \lvert -3\rvert\rvert\)).
Использовать \(\lvert a-b\rvert\), чтобы находить расстояние между двумя числами на числовой прямой.
Решать уравнения вида \(\lvert ax+b\rvert=c\) и распознавать случаи, где нет решений.
Решать неравенства вида \(\lvert ax+b\rvert<c\), \(\lvert ax+b\rvert\le c\), \(\lvert ax+b\rvert>c\) и \(\lvert ax+b\rvert\ge c\).
Записывать множества решений с помощью интервальной записи и рассуждений на числовой прямой.
Строить график \(y=\lvert x\rvert\) и преобразования вроде \(y=\lvert x-h\rvert+k\) (сдвиги вершины).
Ключевые термины
Модуль числа: расстояние от числа до \(0\) на числовой прямой (всегда \(\ge 0\)).
Расстояние: между \(a\) и \(b\) равно \(\lvert a-b\rvert\).
Кусочное определение: определение, которое зависит от того, является величина неотрицательной или отрицательной.
Множество решений: все значения, при которых уравнение или неравенство истинно.
Интервальная запись: компактный способ записывать решения вроде \(( -3, 1 )\) или \((-\infty,-7)\cup(-3,\infty)\).
Быстрая проверка
Проверка 1: Чему равно \(\lvert -8\rvert\)?
Подсказка: модуль - это расстояние от \(0\), поэтому он не может быть отрицательным.
Проверка 2: Решите \(\lvert x\rvert=5\). Какое множество верно?
Подсказка: \(\lvert x\rvert=5\) означает, что \(x\) находится на расстоянии 5 единиц от 0, поэтому есть два симметричных решения.
Определение и упрощение
Определение модуля числа и упрощение выражений
Цель обучения: Использовать определение \(\lvert x\rvert\), чтобы правильно упрощать выражения, включая вложенные модули и отрицательные знаки вне черт модуля.
Главная идея
Модуль можно задать по частям: \[
\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
Это определение объясняет, почему \(\lvert x\rvert\) всегда неотрицателен. Частая ошибка - путать \(\lvert -x\rvert\) и \(-\lvert x\rvert\): \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\), но \(-\lvert x\rvert\) - это отрицание неотрицательного числа.
Подсказка: внутри \(\lvert -3\rvert=3\). Внешний модуль оставляет \(3\), а затем знак минус делает результат \(-3\).
Попробуйте 2: Чему равно \(\lvert 3 - 8 \rvert\)?
Подсказка: \(\lvert 3-8\rvert=\lvert -5\rvert\).
Итоги
\(\lvert x\rvert\) всегда неотрицателен и может быть задан по частям.
Будьте внимательны с минусом вне черт: \(-\lvert x\rvert\) отрицателен (если только \(x=0\)).
Расстояние
Модуль как расстояние на числовой прямой
Цель обучения: Использовать модуль для измерения расстояния от нуля и расстояния между двумя числами, а также применять этот смысл к неравенствам.
Главная идея
\(\lvert x\rvert\) - это расстояние от \(0\) до \(x\). В общем случае расстояние между числами \(a\) и \(b\) равно: \[
\text{distance}(a,b)=\lvert a-b\rvert.
\]
Поэтому \(\lvert a-b\rvert=\lvert b-a\rvert\): расстояние не зависит от направления.
Разобранный пример
Пример: Найдите расстояние между \(-1\) и \(4\).
Используйте \(\lvert a-b\rvert\): \[
\lvert -1-4\rvert=\lvert -5\rvert=5.
\]
Значит, числа находятся на расстоянии 5 единиц друг от друга на числовой прямой.
Попробуйте
Попробуйте 1: Что больше: \(\lvert 2 - 7 \rvert\) или \(\lvert -1 - 4 \rvert\)?
Подсказка: в обоих модулях внутри получается разность \(-5\).
Попробуйте 2: Сколько целых чисел удовлетворяют \(\lvert x + 1 \rvert < 2\)?
Подсказка: перепишите как \(-2<x+1<2\) и перечислите подходящие целые числа.
Итоги
\(\lvert x\rvert\) - это расстояние от \(0\).
\(\lvert a-b\rvert\) - это расстояние между \(a\) и \(b\).
Уравнения
Решение уравнений с модулем
Цель обучения: Решать уравнения вроде \(\lvert ax+b\rvert=c\), разбивая их на два линейных случая.
Главная идея
Если \(c \ge 0\), то: \[
\lvert A\rvert=c \quad \Rightarrow \quad A=c \text{ или } A=-c.
\]
Если \(c < 0\), решений нет, потому что модуль не может быть отрицательным.
Приравняйте выражение внутри модуля к \(7\) и \(-7\): \(3x+1=7 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2\). \(3x+1=-7 \Rightarrow 3x=-8 \Rightarrow x=-\dfrac{8}{3}\). Значит, множество решений: \(\left\{2,-\dfrac{8}{3}\right\}\).
Подсказка: задайте \(\dfrac{x}{3}-2=1\) или \(\dfrac{x}{3}-2=-1\).
Итоги
Для \(\lvert A\rvert=c\) при \(c\ge 0\) решайте \(A=c\) и \(A=-c\).
Если \(c<0\), решений нет.
Неравенства Меньше
Неравенства с модулем: меньше и не больше
Цель обучения: Решать \(\lvert A\rvert<c\) и \(\lvert A\rvert\le c\), превращая их в одно двойное неравенство.
Главная идея
Когда \(c \ge 0\): \[
\lvert A\rvert < c \;\Rightarrow\; -c < A < c,
\qquad
\lvert A\rvert \le c \;\Rightarrow\; -c \le A \le c.
\]
Это соответствует смыслу расстояния: \(\lvert A\rvert < c\) означает, что "\(A\) находится в пределах \(c\) единиц от \(0\)".
Разобранный пример
Пример: Сколько целых значений удовлетворяют \(\lvert n + 4 \rvert < 3\)?
Перепишите как двойное неравенство: \[
-3 < n+4 < 3.
\]
Вычтите 4: \[
-7 < n < -1.
\]
Целые числа: \(-6,-5,-4,-3,-2\), значит есть 5 целых решений.
Подсказка: перепишите как \(-5<2k+1<5\), затем решите относительно \(k\) и посчитайте целые числа.
Попробуйте 2: Сколько целых значений удовлетворяют \(\lvert k + 2 \rvert \le 1\)?
Подсказка: \(\lvert k+2\rvert\le 1\) означает \(-1\le k+2\le 1\).
Итоги
\(\lvert A\rvert<c\) превращается в \(-c<A<c\) (одно неравенство "между").
\(\lvert A\rvert\le c\) превращается в \(-c\le A\le c\).
Неравенства Больше
Неравенства с модулем: больше и не меньше
Цель обучения: Решать \(\lvert A\rvert>c\) и \(\lvert A\rvert\ge c\), разбивая их на два случая (объединение интервалов).
Главная идея
Когда \(c \ge 0\): \[
\lvert A\rvert > c \;\Rightarrow\; A > c \text{ или } A < -c,
\qquad
\lvert A\rvert \ge c \;\Rightarrow\; A \ge c \text{ или } A \le -c.
\]
Это соответствует расстоянию: \(\lvert A\rvert>c\) означает, что "\(A\) дальше чем на \(c\) единиц от \(0\)", поэтому получаются две отдельные области.
Разобранный пример
Пример: Решите \(\lvert x - 1\rvert > 2\).
Разбейте на два случая: \[
x-1>2 \quad \text{или} \quad x-1<-2.
\]
Решите каждый: \[
x>3 \quad \text{или} \quad x<-1.
\]
В интервальной записи: \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Решите \(\lvert x + 5 \rvert > 2\).
Подсказка: запишите \(x+5>2\) или \(x+5<-2\).
Попробуйте 2: Решите \(\lvert x - 2 \rvert \ge 5\).
Подсказка: запишите \(x-2\ge 5\) или \(x-2\le -5\).
Итоги
\(\lvert A\rvert>c\) превращается в \(A>c\) или \(A<-c\) (объединение двух интервалов).
\(\lvert A\rvert\ge c\) превращается в \(A\ge c\) или \(A\le -c\).
Графики & Запись по частям
Графики модуля и вид функции по частям
Цель обучения: Распознавать V-образный график \(y=\lvert x\rvert\), использовать сдвиги вершины и связывать графики с определением по частям.
Главная идея
График \(y=\lvert x\rvert\) имеет форму "V" с вершиной в \((0,0)\). Его можно рассматривать как две прямые: \[
y=\lvert x\rvert =
\begin{cases}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{cases}
\]
Полезный шаблон преобразования: \[
y=\lvert x-h\rvert + k,
\]
он сдвигает вершину в точку \((h,k)\).
