Cuestionario de práctica de Distribuciones discretas y continuas II con una lección interactiva paso a paso
Usa la serie de preguntas más abajo en la página para practicar distribuciones de probabilidad discretas y continuas con los datos y fórmulas más evaluables: funciones de masa de probabilidad (PMF) y funciones de densidad de probabilidad (PDF), funciones de distribución acumulada (CDF) y funciones de supervivencia, valor esperado \(E[X]\) y varianza \(\mathrm{Var}(X)\), modelos discretos como la distribución de Poisson \((\lambda)\), distribución geométrica \((p)\) y distribución hipergeométrica \((N,K,n)\), la aproximación de Poisson a binomial ( \(n\) grande, \(p\) pequeño, \(\lambda=np\)), modelos continuos como la distribución exponencial (tasa \(\lambda\), escala \(1/\lambda\), tiempos de espera), distribuciones gamma y chi-cuadrado \((\chi^2)\) (grados de libertad y formas sesgadas a la derecha), la distribución F (razones de varianzas) y casos especiales como la distribución logística (CDF sigmoide, \(\mathrm{Var}(X)=\pi^2 s^2/3\)) y la distribución de Cauchy (media y varianza indefinidas). Si quieres repasar, haz clic en Iniciar lección para abrir una guía paso a paso con ejemplos resueltos y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de Distribuciones II
1. Haz la serie de práctica: responde las preguntas de Distribuciones discretas y continuas II más abajo en la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa PMF/PDF, CDF, soporte, significado de parámetros y fórmulas de media/varianza con ejemplos claros.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y aplica de inmediato las reglas de distribuciones.
Qué aprenderás en la lección de Distribuciones discretas y continuas II
Lección de Distribuciones discretas y continuas II
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Resumen de la lección
Resumen de la lección
Propósito: Construir una comprensión clara y lista para exámenes de Distribuciones discretas y continuas II. Practicarás identificar una distribución a partir de una historia, leer el soporte, usar la PMF/PDF y CDF correctas, y calcular datos clave como valor esperado y varianza para modelos discretos comunes (Poisson, geométrica, hipergeométrica) y modelos continuos (exponencial, chi-cuadrado, F, logística, Cauchy).
Criterios de éxito
Identifica si un modelo es discreto (PMF) o continuo (PDF/CDF).
Usa correctamente el soporte (por ejemplo, valores de Poisson \(0,1,2,\dots\); valores exponenciales \(x\ge 0\)).
Escribe la PMF de Poisson \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\) y recuerda que \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\).
Reconoce cuándo usar una distribución geométrica (ensayos hasta el primer éxito) y su soporte \(1,2,3,\dots\).
Calcula un valor esperado hipergeométrico: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\) (muestreo sin reemplazo).
Usa la CDF exponencial \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) y la supervivencia \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\) para \(x\ge 0\).
Interpreta la tasa exponencial \(\lambda\) (eventos por unidad de tiempo) y la escala \(1/\lambda\).
Conoce datos centrales de \(\chi^2\): \(\chi^2_k\) nunca es negativa, \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\), y \(k\) (grados de libertad) controla la forma.
Usa la distribución F \(F(d_1,d_2)\) como razón de variables chi-cuadrado escaladas y sabe que \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) cuando \(d_2>2\).
Recuerda distribuciones especiales: varianza logística \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\) y Cauchy tiene media y varianza indefinidas.
Vocabulario clave
Soporte: el conjunto de valores que puede tomar una variable aleatoria.
PMF: \(P(X=k)\) para \(X\) discreta.
PDF: \(f(x)\) para \(X\) continua (la probabilidad usa área bajo la curva).
Grados de libertad: parámetro de familias \(\chi^2\), \(t\) y \(F\) que controla la forma.
Colas pesadas: valores atípicos muy grandes son más probables (ejemplo clásico: Cauchy).
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: ¿Qué valores puede tomar una variable aleatoria de Poisson?
Pista: Poisson modela conteos, así que los resultados son \(0,1,2,\dots\).
Comprobación previa 2: Para una variable aleatoria exponencial con tasa \(\lambda\), ¿cuál es la CDF en \(0\), \(F(0)\)?
Pista: Para \(x\ge 0\), \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\). Entonces \(F(0)=1-e^0=0\).
Distribuciones discretas
Poisson, geométrica e hipergeométrica (y una aproximación clave)
Objetivo de aprendizaje: Relacionar una situación de conteo con la distribución discreta correcta y calcular datos rápidos como soporte, PMF y \(E[X]\) sin confusión.
Idea clave
Para variables aleatorias discretas, las probabilidades vienen de una PMF \(P(X=k)\). Tres modelos muy frecuentes:
Poisson \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\): conteos de eventos en un intervalo (con una tasa promedio constante).
Soporte: \(k=0,1,2,\dots\)
PMF: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\)
Media/varianza: \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)
Regla del parámetro: \(\lambda\ge 0\) (normalmente \(\lambda>0\) en la práctica)
Geométrica \(\mathrm{Geom}(p)\) (ensayos hasta el primer éxito):
Nota: \(E[X]\) es finita para todo \(p>0\) válido, pero puede ser muy grande si \(p\) es pequeño.
Hipergeométrica \(\mathrm{Hypergeometric}(N,K,n)\): muestreo sin reemplazo de \(N\) elementos totales con \(K\) "éxitos", extrayendo \(n\) elementos.
Media: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)
Aproximación imprescindible
Si \(X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)\) con \(n\) grande y \(p\) pequeño de modo que \(\lambda=np\) sea moderado, entonces \[\mathrm{Binomial}(n,p)\ \approx\ \mathrm{Poisson}(\lambda=np).\] Este es uno de los datos de "aproximación rápida" más comunes en cuestionarios y exámenes.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(X\sim\mathrm{Hypergeometric}(N=10,K=4,n=3)\). Encuentra \(E[X]\).
Usa la media hipergeométrica: \[E[X]=n\cdot\frac{K}{N}=3\cdot\frac{4}{10}=\frac{12}{10}=1.2.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Sea \(X\sim\mathrm{Hypergeometric}(N=10,K=4,n=3)\). ¿Cuánto es \(E[X]\)?
Pista: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\).
Inténtalo 2: Para \(p\) pequeño y \(n\) grande, ¿qué distribución aproxima \(\mathrm{Binomial}(n,p)\) (con \(\lambda=np\))?
Pista: Si \(n\) es grande y \(p\) es pequeño, \(\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{Poisson}(\lambda=np)\).
Resumen
Poisson cuenta eventos: \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\).
Geométrica (ensayos hasta el primer éxito): \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\).
Media hipergeométrica: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\).
Aproximación: \(\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{Poisson}(\lambda=np)\) para \(n\) grande, \(p\) pequeño.
Exponencial
Distribución exponencial: tasa, escala, CDF y tiempos de espera
Objetivo de aprendizaje: Usar correctamente la PDF/CDF exponencial, interpretar \(\lambda\) y calcular probabilidades con la función de supervivencia.
Idea clave
La distribución exponencial modela un tiempo de espera hasta el próximo evento cuando los eventos llegan con una tasa promedio constante. Si \(X\sim\mathrm{Exponential}(\lambda)\), entonces:
Soporte: \(x\ge 0\)
PDF: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) para \(x\ge 0\)
CDF: \(F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\) para \(x\ge 0\)
Parámetro de escala: \(\theta=\dfrac{1}{\lambda}\)
Regla del parámetro: \(\lambda>0\)
La distribución exponencial también es sin memoria: \[P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).\]
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(X\sim\mathrm{Exponential}(\lambda)\), ¿cuánto es \(P(X>t)\)?
Usa la función de supervivencia: \[P(X>t)=1-F(t)=1-(1-e^{-\lambda t})=e^{-\lambda t}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: En una distribución exponencial, ¿qué representa el parámetro \(\lambda\)?
Pista: Una \(\lambda\) mayor significa que los eventos ocurren con más frecuencia, así que el tiempo de espera es menor.
Inténtalo 2: ¿Cuál es el parámetro de escala para la distribución exponencial con tasa \(\lambda\)?
Pista: La media exponencial \(E[X]=1/\lambda\), y el parámetro de escala es igual a la media.
Resumen
CDF exponencial: \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) para \(x\ge 0\); en particular \(F(0)=0\).
Tasa/escala: \(\lambda>0\), escala \(=1/\lambda\), media \(=1/\lambda\), varianza \(=1/\lambda^2\).
Modelo de tiempo de espera: \(P(X>t)=e^{-\lambda t}\).
Chi-cuadrado
Gamma y chi-cuadrado: grados de libertad, forma y datos clave
Objetivo de aprendizaje: Reconocer una distribución \(\chi^2\), interpretar grados de libertad y usar rápidamente las propiedades más importantes.
Idea clave
Una distribución chi-cuadrado con \(k\) grados de libertad se escribe \(\chi^2_k\). Aparece naturalmente como suma de cuadrados: \[Z_1^2+\cdots+Z_k^2 \sim \chi^2_k \quad \text{cuando } Z_i\sim N(0,1)\text{ independientemente.}\]
Soporte: \(x\ge 0\) (así que nunca puede ser negativa)
Forma: sesgada a la derecha para \(k\) pequeño; se vuelve más simétrica cuando \(k\) aumenta
Parámetro que controla la forma: \(k\) (grados de libertad)
Conexión con la distribución gamma
Chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma: \[\chi^2_k \sim \mathrm{Gamma}\!\left(\alpha=\frac{k}{2},\ \theta=2\right),\] donde \(\alpha\) es la forma y \(\theta\) es la escala.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(X\sim \chi^2_{12}\), ¿cuáles son \(E[X]\) y \(\mathrm{Var}(X)\)?
Usa los momentos estándar: \[E[X]=12,\qquad \mathrm{Var}(X)=2\cdot 12=24.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Qué parámetro determina la forma de una distribución chi-cuadrado \((\chi^2)\)?
Pista: Las distribuciones \(\chi^2\) se indexan por grados de libertad.
Inténtalo 2: ¿Cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria \(\chi^2\) sea negativa?
Pista: El soporte de \(\chi^2\) es \(x\ge 0\).
Resumen
\(\chi^2_k\) siempre es \(\ge 0\) y normalmente está sesgada a la derecha para \(k\) pequeño.
\(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\).
Los grados de libertad \(k\) controlan la forma.
Distribución F
Distribución F: razones de varianzas y existencia de la media
Objetivo de aprendizaje: Reconocer una distribución F, entender sus parámetros \((d_1,d_2)\) y usar correctamente la fórmula clave de la media.
Idea clave
La distribución F surge de una razón de dos variables chi-cuadrado independientes divididas por sus grados de libertad: \[F=\frac{(\chi^2_{d_1}/d_1)}{(\chi^2_{d_2}/d_2)} \sim F(d_1,d_2).\] Se usa mucho en ANOVA y en pruebas/estimación de razones de varianzas.
Soporte: \(x>0\) (nunca negativa)
Parámetros: \(d_1>0\), \(d_2>0\) (grados de libertad)
Media: \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) si \(d_2>2\) (si no, la media no existe)
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(F\sim F(d_1=5,d_2=10)\). ¿Cuánto es \(E[F]\)?
Como \(d_2=10>2\), la media existe: \[E[F]=\frac{d_2}{d_2-2}=\frac{10}{10-2}=\frac{10}{8}=1.25.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Sea \(F\sim F(d_1=5,d_2=10)\). ¿Cuánto es \(E[F]\)?
Pista: \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) cuando \(d_2>2\).
Inténtalo 2: Para \(F(d_1,d_2)\), ¿cuándo existe la media \(E[F]\)?
Pista: Los grados de libertad del denominador controlan si \(E[F]\) existe.
Resumen
\(F(d_1,d_2)\) es positiva: soporte \(x>0\).
\(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) existe solo cuando \(d_2>2\).
Las distribuciones F aparecen en razones de varianzas y ANOVA.
Logística y Cauchy
Varianza logística y la trampa de "media indefinida" de Cauchy
Objetivo de aprendizaje: Reconocer distribuciones logística y de Cauchy, y recordar qué momentos existen (y cuáles no).
Distribución logística
Una variable aleatoria logística \(X\sim \mathrm{Logistic}(\mu,s)\) tiene una CDF suave con forma de S (sigmoide): \[F(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}},\] donde \(\mu\) es un parámetro de ubicación y \(s>0\) es un parámetro de escala.
Por qué importa: las CDF logísticas aparecen en regresión logística y modelado de "probabilidad como umbral suave".
Distribución de Cauchy
La distribución de Cauchy es una distribución clásica de colas pesadas. Para \(X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,\gamma)\), las colas son tan pesadas que la media y la varianza son indefinidas. Un caso especial común es la Cauchy estándar \(\mathrm{Cauchy}(0,1)\) con PDF: \[f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.\]
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Si \(X\sim\mathrm{Logistic}(\mu,s)\), ¿cuánto es \(\mathrm{Var}(X)\)?
Usa la fórmula estándar: \[\mathrm{Var}(X)=\frac{\pi^2 s^2}{3}.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Sea \(X\sim\mathrm{Logistic}(\mu,s)\). ¿Cuánto es \(\mathrm{Var}(X)\)?
Pista: La varianza logística tiene \(\pi^2\): \(\pi^2 s^2/3\).
Inténtalo 2: ¿Qué distribución tiene media y varianza indefinidas?
Pista: Las colas de Cauchy son lo bastante pesadas como para que las integrales usuales de media/varianza no converjan.
Cauchy: media y varianza indefinidas (no existen).
Elige el modelo
Cómo elegir la distribución correcta (identificación rápida)
Objetivo de aprendizaje: Relacionar palabras clave de una pregunta con la distribución correcta y evitar errores comunes (soporte incorrecto, reglas de parámetros incorrectas, significado incorrecto de \(\lambda\)).
Historia -> atajos de distribución
Conteos en un intervalo de tiempo/área (llegadas, defectos, llamadas, correos): Poisson\((\lambda)\).
Tiempo de espera hasta el próximo evento: Exponencial\((\lambda)\).
Ensayos hasta el primer éxito (primer éxito en el ensayo \(k\)): Geométrica\((p)\).
Muestreo sin reemplazo de una población finita: Hipergeométrica\((N,K,n)\).
Suma de cuadrados de normales estándar: \(\chi^2_k\).
Razón de varianzas (razón chi-cuadrado escalada): \(F(d_1,d_2)\).
Comprobaciones de parámetros (sentido rápido)
Poisson: \(\lambda\ge 0\) y los resultados son \(0,1,2,\dots\).
Exponencial: \(\lambda>0\) y los resultados satisfacen \(x\ge 0\).
Geométrica: \(0<p\le 1\) y los resultados son \(1,2,3,\dots\) (versión de ensayos hasta el éxito).
\(\chi^2\), F: los grados de libertad son positivos; los valores son no negativos (y F es estrictamente positiva).
Ejemplo resuelto (conexión Poisson ↔ exponencial)
Ejemplo: Los eventos ocurren a una tasa promedio de \(\lambda\) por unidad de tiempo.
El conteo de eventos en una unidad de tiempo puede modelarse con \(N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)\).
El tiempo de espera hasta el próximo evento puede modelarse con \(X\sim\mathrm{Exponential}(\lambda)\).
Por eso las preguntas de Poisson y exponencial suelen aparecer juntas en "Distribuciones II".
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Qué escenario podría modelarse con una distribución exponencial?
Pista: Exponencial es un modelo de tiempo de espera.
Inténtalo 2: ¿Qué valor nunca puede tomar una variable aleatoria con distribución de Poisson?
Pista: Los resultados de Poisson son conteos: \(0,1,2,\dots\) (sin fracciones).
Resumen
Exponencial modela tiempo de espera; Poisson modela conteos.
Revisa siempre el soporte: Poisson es \(0,1,2,\dots\); exponencial es \(x\ge 0\); \(\chi^2\) es \(x\ge 0\); F es \(x>0\).
El significado del parámetro importa: \(\lambda\) exponencial es una tasa; \(\lambda\) de Poisson es el conteo medio por intervalo.
Panorama general
Por qué importan estas distribuciones (y una comprobación final)
Objetivo de aprendizaje: Conectar fórmulas de distribuciones con tareas estadísticas reales y luego terminar con una comprobación final para fijar los datos más evaluados.
Dónde aparece Distribuciones II
Colas y confiabilidad: conteos de Poisson y tiempos de espera exponenciales (llamadas, llegadas, fallas).
Control de calidad: defectos por unidad (Poisson), ensayos aprobado/fallido (geométrica).
Muestreo y genética: muestreo hipergeométrico sin reemplazo.
Pruebas de hipótesis: pruebas chi-cuadrado (bondad de ajuste, independencia) y pruebas F (razones de varianzas, ANOVA).
Modelado de datos: logística para curvas de probabilidad con forma de S; Cauchy como recordatorio de que no toda distribución tiene media.
Ejemplo resuelto: geométrica "primer éxito en el primer ensayo"
Ejemplo: Si \(X\sim\mathrm{Geom}(p)\) cuenta el número de ensayos hasta el primer éxito, ¿cuánto es \(P(X=1)\)?
"Primer éxito en el ensayo 1" significa que el primer ensayo es un éxito: \[P(X=1)=p.\]
Inténtalo
Inténtalo 1: Si la probabilidad de éxito es \(p\), ¿cuál es la probabilidad de que el primer ensayo sea un éxito en una distribución geométrica (ensayos hasta el primer éxito)?
Pista: "Éxito en el primer ensayo" es exactamente un éxito inmediato, así que es simplemente \(p\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tomar una variable aleatoria de Poisson?
Pista: Poisson es una distribución de conteo, así que empieza en \(0\).
Geométrica (ensayos hasta el primer éxito): soporte \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\), \(E[X]=1/p\).
Hipergeométrica: muestreo sin reemplazo, \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\).
Exponencial: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\), \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) para \(x\ge 0\), media \(1/\lambda\), varianza \(1/\lambda^2\).
\(\chi^2_k\): no negativa, \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\), forma controlada por \(k\).
F(d\(_1\),d\(_2\)): positiva, \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) para \(d_2>2\).
Logística: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\). Cauchy: media y varianza indefinidas.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con la distribución (Poisson, geométrica, hipergeométrica, exponencial, \(\chi^2\), F, logística, Cauchy) y el dato clave que necesitas (soporte, significado del parámetro, CDF, media/varianza).
