विच्छिन्न और सतत वितरण II अभ्यास प्रश्न, क्विज़ और चरण-दर-चरण पाठ - केंद्रित प्रश्नों और स्पष्ट स्पष्टीकरणों से अपनी गणित क्षमता सुधारें।

पॉइसन, ज्यामितीय, और हाइपरज्यामितीय (और एक मुख्य सन्निकटन)

मुख्य विचार

विविक्त यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकताएँ PMF \(P(X=k)\) से आती हैं। तीन high-आवृत्ति मॉडल:

• पॉइसन \(\mathrm{Poisson}(\lambda)\): अंतराल में घटनाएँ की गिनतियाँ (स्थिरांक औसत दर के साथ)।
  • सहायता: \(k=0,1,2,\dots\)
  • PMF: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\)
  • माध्य/प्रसरण: \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)
  • पैरामीटर नियम: \(\lambda\ge 0\) (अभ्यास में आम तौर पर \(\lambda>0\))
• ज्यामितीय \(\mathrm{Geom}(p)\) (पहली सफलता तक प्रयास):
  • सहायता: \(k=1,2,3,\dots\)
  • PMF: \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\) के लिए \(0<p\le 1\)
  • माध्य/प्रसरण: \(E[X]=\dfrac{1}{p}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1-p}{p^2}\)
  • Note: \(E[X]\) हर valid \(p>0\) के लिए सीमित है, पर \(p\) छोटा हो तो बहुत बड़ा हो सकता है।
• Hypergeometric \(\mathrm{Hypergeometric}(N,K,n)\): \(N\) कुल items में \(K\) "successes" हों और \(n\) items draw किए जाएँ, without replacement sampling।
  • माध्य: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)

ज़रूरी सन्निकटन

यदि \(X\sim \mathrm{Binomial}(n,p)\), बड़ा \(n\) और छोटा \(p\) हो तथा \(\lambda=np\) मोडदर हो, तो \[\mathrm{Binomial}(n,p)\ \approx\ \mathrm{Poisson}(\lambda=np).\] यह प्रश्नोत्तरियाँ और exams में सबसे सामान्य "fast सन्निकटन" तथ्य में से एक है।

हल किया हुआ उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• पॉइसन गिनतियाँ: \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)।
• ज्यामितीय (पहला सफलता तक प्रयास): \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\)।
• Hypergeometric माध्य: \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)।
• Approximation: बड़े \(n\), छोटे \(p\) के लिए \(\mathrm{Bin}(n,p)\approx \mathrm{Poisson}(\lambda=np)\)।

घातांकीय वितरण: दर, पैमाना, CDF और प्रतीक्षा समय

मुख्य विचार

घातांकीय वितरण अगले घटना तक waiting समय मॉडल करती है, जब घटनाएँ स्थिरांक औसत दर पर आते हैं। यदि \(X\sim\mathrm{घातांकीय}(\lambda)\), तो:

• सहायता: \(x\ge 0\)
• PDF: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) के लिए \(x\ge 0\)
• CDF: \(F(x)=P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\) के लिए \(x\ge 0\)
• Survival: \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\)
• माध्य/प्रसरण: \(E[X]=\dfrac{1}{\lambda}\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\)
• पैमाना पैरामीटर: \(\theta=\dfrac{1}{\lambda}\)
• पैरामीटर नियम: \(\lambda>0\)

घातांकीय वितरण memoryless भी है: \[P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).\]

हल किया हुआ उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• घातांकीय CDF: \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) के लिए \(x\ge 0\); विशेष रूप से \(F(0)=0\)।
• दर/पैमाना: \(\lambda>0\), पैमाना \(=1/\lambda\), माध्य \(=1/\lambda\), प्रसरण \(=1/\lambda^2\)।
• Waiting-समय मॉडल: \(P(X>t)=e^{-\lambda t}\)।

Gamma और chi-squared: डिग्री का स्वतंत्रता, आकृति, और मुख्य तथ्य

मुख्य विचार

\(k\) डिग्री का स्वतंत्रता वाली chi-squared वितरण \(\chi^2_k\) लिखी जाती है। यह वर्ग के योग के रूप में स्वाभाविक रूप से आती है: \[Z_1^2+\cdots+Z_k^2 \sim \chi^2_k \quad \text{when } Z_i\sim N(0,1)\text{ independently.}\]

• सहायता: \(x\ge 0\) (इसलिए यह कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती)
• आकृति: छोटे \(k\) के लिए दाएँ-झुका हुआ; \(k\) बढ़ने पर अधिक सममित होती है
• माध्य/प्रसरण: \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\)
• आकृति नियंत्रित करने वाला पैरामीटर: \(k\) (डिग्री का स्वतंत्रता)

Gamma वितरण से संबंध

Chi-squared gamma वितरण का विशेष case है: \[\chi^2_k \sim \mathrm{Gamma}\!\left(\alpha=\frac{k}{2},\ \theta=2\right),\] जहाँ \(\alpha\) आकृति और \(\theta\) पैमाना है।

हल किया हुआ उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• \(\chi^2_k\) हमेशा \(\ge 0\) होती है और छोटे \(k\) के लिए आमतौर पर दाएँ-झुका हुआ होती है।
• \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\)।
• डिग्री का स्वतंत्रता \(k\) आकृति नियंत्रित करता है।

F वितरण: variances के अनुपात और माध्य existence

मुख्य विचार

F वितरण दो स्वतंत्र chi-squared चर को उनके डिग्री का स्वतंत्रता से भाग करके बने अनुपात से आती है: \[F=\frac{(\chi^2_{d_1}/d_1)}{(\chi^2_{d_2}/d_2)} \sim F(d_1,d_2).\] यह ANOVA और अनुपात का variances के परीक्षणing/estimating में व्यापक रूप से उपयोग होती है।

• सहायता: \(x>0\) (कभी ऋणात्मक नहीं)
• Parameters: \(d_1>0\), \(d_2>0\) (डिग्री का स्वतंत्रता)
• माध्य: \(d_2>2\) होने पर \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) (अन्यथा माध्य मौजूद होना नहीं करता)

हल किया हुआ उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• \(F(d_1,d_2)\) धनात्मक है: सहायता \(x>0\)।
• \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\) केवल \(d_2>2\) होने पर मौजूद है करता है।
• F वितरण प्रसरण अनुपात और ANOVA में आती हैं।

लॉजिस्टिक प्रसरण और कॉशी "अपरिभाषित माध्य" trap

लॉजिस्टिक वितरण

लॉजिस्टिक यादृच्छिक चर \(X\sim \mathrm{लघुगणकistic}(\mu,s)\) की smooth S-shaped (sigmoid) CDF होती है: \[F(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}},\] जहाँ \(\mu\) location पैरामीटर है और \(s>0\) पैमाना पैरामीटर है।

• माध्य: \(E[X]=\mu\)
• प्रसरण: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)
• क्यों मायने रखता है: लॉजिस्टिक CDFs लॉजिस्टिक regression और "प्रायिकता as a smooth threshold" मॉडलिंग में आती हैं।

कॉशी वितरण

कॉशी वितरण एक सामान्य avy-tailed वितरण है। \(X\sim \mathrm{कॉशी}(x_0,\gamma)\) के लिए tails इतनी avy होती हैं कि माध्य और प्रसरण अपरिभाषित होते हैं। एक साझा विशेष case मानक कॉशी \(\mathrm{कॉशी}(0,1)\) है जिसका PDF है: \[f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.\]

हल किया हुआ उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• लॉजिस्टिक: \(E[X]=\mu\), \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)।
• कॉशी: माध्य और प्रसरण अपरिभाषित हैं (मौजूद होना नहीं करते)।

सही वितरण कैसे चुनें (fast identification)

Story → वितरण छोटा तरीकाs

• समय/क्षेत्रफल अंतराल में गिनतियाँ (arrivals, defects, calls, ईमेलs): पॉइसन\((\lambda)\)।
• अगले घटना तक waiting समय: घातांकीय\((\lambda)\)।
• पहली सफलता तक प्रयास (प्रयास \(k\) पर पहला सफलता): ज्यामितीय\((p)\)।
• सीमित जनसंख्या से sampling without replacement: Hypergeometric\((N,K,n)\)।
• मानक normals के वर्ग का योग: \(\chi^2_k\)।
• Variances का अनुपात (scaled chi-squared अनुपात): \(F(d_1,d_2)\)।

पैरामीटर जाँचेंs (quick sanity)

• पॉइसन: \(\lambda\ge 0\) और परिणाम \(0,1,2,\dots\)।
• घातांकीय: \(\lambda>0\) और परिणाम \(x\ge 0\)।
• ज्यामितीय: \(0<p\le 1\) और परिणाम \(1,2,3,\dots\) (प्रयास-until-सफलता version)।
• \(\chi^2\), F: डिग्री का स्वतंत्रता धनात्मक होते हैं; मान अऋणात्मक होती हैं (और F strictly धनात्मक है)।

हल किया हुआ उदाहरण (पॉइसन ↔ घातांकीय connection)

खुद कोशिश करें

सारांश

• घातांकीय waiting समय मॉडल करता है; पॉइसन गिनतियाँ मॉडल करता है।
• हमेशा सहायता जाँचें: पॉइसन \(0,1,2,\dots\) है; घातांकीय \(x\ge 0\); \(\chi^2\) \(x\ge 0\); F \(x>0\)।
• पैरामीटर meaning मायने रखता है: घातांकीय \(\lambda\) दर है; पॉइसन \(\lambda\) अंतराल प्रति माध्य गिनती है।

ये वितरण क्यों मायने रखती हैं (और अंतिम जाँच)

वितरण II कहाँ दिखाई देता है

• द्विघातeueing & reliability: पॉइसन गिनतियाँ और घातांकीय प्रतीक्षा समय (calls, arrivals, failures)।
• द्विघातality control: defects प्रति इकाई (पॉइसन), pass/विफल होना प्रयास (ज्यामितीय)।
• Sampling & genetics: हाइपरज्यामितीय sampling without replacement।
• परिकल्पना परीक्षणing: chi-squared परीक्षण (goodness-का-फिट, स्वतंत्रता) और F परीक्षण (प्रसरण अनुपात, ANOVA)।
• डेटा मॉडलिंग: S-shaped प्रायिकता वक्र के लिए लॉजिस्टिक; कॉशी याद दिलाता है कि हर वितरण का माध्य नहीं होता।

हल किया हुआ उदाहरण: ज्यामितीय "पहला प्रयास सफलता"

खुद कोशिश करें

अंतिम सारांश

• पॉइसन: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^k}{k!}\), सहायता \(k=0,1,2,\dots\), \(E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda\)।
• ज्यामितीय (प्रयास to पहला सफलता): सहायता \(k=1,2,3,\dots\), \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\), \(E[X]=1/p\)।
• Hypergeometric: sampling without replacement, \(E[X]=n\cdot\frac{K}{N}\)।
• घातांकीय: \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\), \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) के लिए \(x\ge 0\), माध्य \(1/\lambda\), प्रसरण \(1/\lambda^2\)।
• \(\chi^2_k\): अऋणात्मक, \(E[\chi^2_k]=k\), \(\mathrm{Var}(\chi^2_k)=2k\), आकृति \(k\) से controlled।
• F(d\(_1\),d\(_2\)): धनात्मक, \(d_2>2\) के लिए \(E[F]=\dfrac{d_2}{d_2-2}\)।
• लॉजिस्टिक: \(\mathrm{Var}(X)=\dfrac{\pi^2 s^2}{3}\)। कॉशी: माध्य और प्रसरण अपरिभाषित हैं।