Cuestionario de práctica de espacios métricos con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar espacios métricos: axiomas métricos, reescalamientos positivos de métricas, bolas abiertas \(B(a,r)\), bolas cerradas, conjuntos abiertos y cerrados, puntos aislados, clausura, interior y frontera, subconjuntos densos, métricas equivalentes con los mismos abiertos, convergencia \(x_n\to x\), sucesiones de Cauchy, completitud, completaciones como \(\mathbb{Q}\) completándose en \(\mathbb{R}\), continuidad, continuidad uniforme, isometrías, métricas producto, compacidad y acotación total. Si necesitas un repaso, abre la lección para ver ejemplos claros y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de espacios métricos
1. Haz la serie de práctica: responde las preguntas sobre métricas, topología, convergencia, completitud y compacidad más abajo en la página.
2. Abre la lección: repasa las definiciones y las pruebas de reconocimiento con ejemplos resueltos breves.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y traduce cada pregunta a una definición o teorema antes de elegir.
Lo que aprenderás en la lección de espacios métricos
Métricas, bolas y ejemplos
Axiomas métricos: no negatividad, separación, simetría y desigualdad triangular.
Bolas: \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\) y bolas cerradas \(\{x:d(x,a)\le r\}\).
Ejemplos: distancia usual, reescalamientos positivos como \(2d\), métrica discreta y métricas producto.
Abierto, cerrado, denso, frontera
Abiertos y aislados: cada punto de un abierto tiene una bola dentro del conjunto; un punto aislado tiene una bola que solo lo contiene a él.
Cerrado: los límites de sucesiones convergentes del conjunto permanecen en el conjunto.
Densidad y topología: toda bola abierta no vacía intersecta el subconjunto; las métricas con los mismos abiertos definen la misma topología.
Sucesiones y completitud
Convergencia: \(x_n\to x\) significa \(d(x_n,x)\to0\).
Cauchy: los términos finalmente se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí.
Completo: toda sucesión de Cauchy converge dentro del espacio; todo espacio métrico finito es completo.
Compacidad y acotación total
Espacios métricos compactos: toda sucesión tiene una subsucesión convergente.
Acotación total: finitas bolas de radio \(\varepsilon\) cubren el espacio para todo \(\varepsilon>0\).
Teorema clave: la compacidad equivale a completitud más acotación total en espacios métricos.
Propósito: Construir un conjunto fiable de herramientas para espacios métricos: comprobar axiomas métricos, leer bolas abiertas y cerradas, identificar comportamiento de abiertos, cerrados, densidad, interior, frontera y clausura, traducir definiciones de convergencia y Cauchy a desigualdades, reconocer completitud y compacidad, y usar continuidad, isometrías, métricas producto y acotación total sin depender solo de dibujos.
Criterios de éxito
Enunciar los cuatro axiomas métricos y usar la separación: \(d(x,y)=0\) si y solo si \(x=y\).
Calcular bolas abiertas y bolas cerradas en métricas usuales, discretas, reescaladas y producto.
Reconocer subconjuntos abiertos, cerrados, puntos aislados, interior, frontera, clausura y subconjuntos densos usando bolas o sucesiones.
Explicar que las métricas con los mismos abiertos definen la misma topología.
Traducir \(x_n\to x\) como \(d(x_n,x)\to0\), y probar que los límites son únicos.
Usar la definición de Cauchy y distinguir lo convergente de lo meramente Cauchy en espacios incompletos.
Saber que \(\mathbb{R}\) es completo, que \(\mathbb{Q}\) no es completo, que los espacios métricos finitos son completos y que la completación de \(\mathbb{Q}\) es \(\mathbb{R}\).
Usar continuidad mediante \(\varepsilon\)-\(\delta\), sucesiones, preimágenes de conjuntos abiertos y el hecho de que la continuidad uniforme preserva sucesiones de Cauchy.
Reconocer espacios métricos compactos mediante compacidad secuencial y mediante completitud más acotación total.
Evitar la trampa de que cerrado y acotado siempre implica compacto en todo espacio métrico.
Vocabulario clave
Métrica: una función de distancia \(d:X\times X\to[0,\infty)\) que satisface separación, simetría y desigualdad triangular.
Bola abierta: \(B(a,r)=\{x\in X:d(x,a)<r\}\).
Sucesión de Cauchy: los términos finalmente se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí.
Espacio completo: toda sucesión de Cauchy converge a un punto del espacio.
Subconjunto denso: toda bola abierta no vacía intersecta el subconjunto; equivalentemente, la clausura es todo el espacio.
Totalmente acotado: para todo \(\varepsilon>0\), finitas bolas de radio \(\varepsilon\) cubren el espacio.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa: ¿Cuál enunciado forma parte de la definición de una métrica?
Pista: Una métrica debe separar puntos, así que la distancia cero queda reservada para puntos idénticos.
Una métrica es una distancia abstracta con pruebas concretas de bolas
Objetivo de aprendizaje: Comprobar si una fórmula se comporta como una distancia y calcular bolas en métricas simples.
Idea clave
Una métrica \(d\) en \(X\) asigna un número no negativo a cada par de puntos. Debe satisfacer \(d(x,y)=0\) exactamente cuando \(x=y\), simetría \(d(x,y)=d(y,x)\) y la desigualdad triangular \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\). La desigualdad triangular es el motor principal detrás de la unicidad de límites y las estimaciones de continuidad.
Ejemplos
Métrica usual: en \(\mathbb{R}\), \(d(x,y)=|x-y|\).
Reescalamiento positivo: si \(d\) es una métrica, entonces \(d_2(x,y)=2d(x,y)\) también es una métrica.
Métrica discreta: \(d(x,y)=0\) si \(x=y\), y \(d(x,y)=1\) si \(x≠ y\).
Métrica producto: \(d((x,y),(x',y'))=d_X(x,x')+d_Y(y,y')\) es una métrica en \(X\times Y\).
Una bola abierta es \(B(a,r)=\{x:d(x,a)<r\}\). Una bola cerrada es \(\overline{B}(a,r)=\{x:d(x,a)\le r\}\). En métricas poco habituales, las bolas pueden verse muy diferentes de intervalos o discos redondos.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: En la métrica discreta, ¿qué es \(B(a,1/2)\)?
Todo punto \(x≠ a\) tiene \(d(x,a)=1\), que no es menor que \(1/2\). El centro tiene distancia \(0\). Por lo tanto \(B(a,1/2)=\{a\}\).
Inténtalo
Inténtalo: En la métrica discreta, ¿qué es \(B(a,1/2)\)?
Pista: Compara el radio \(1/2\) con la distancia de \(a\) a cualquier punto diferente.
La topología métrica está controlada por bolas
Objetivo de aprendizaje: Decidir si los puntos son interiores, de frontera, de clausura o de densidad usando bolas abiertas.
Idea clave
Un conjunto \(U\subseteq X\) es abierto si todo \(u\in U\) tiene alguna bola \(B(u,r)\subseteq U\). Un conjunto \(F\) es cerrado si contiene los límites de todas las sucesiones convergentes de \(F\). En espacios métricos, el lenguaje secuencial suele bastar para comprobar que un conjunto es cerrado.
Lista de reconocimiento
Interior: \(x\) es interior a \(A\) si alguna bola alrededor de \(x\) queda dentro de \(A\).
Clausura: \(x\in\overline{A}\) si toda bola alrededor de \(x\) intersecta \(A\).
Frontera: toda bola alrededor de \(x\) intersecta tanto \(A\) como \(X\setminus A\).
Punto aislado: \(a\) es aislado si alguna bola abierta alrededor de \(a\) contiene solo a \(a\).
Misma topología: dos métricas definen la misma topología cuando tienen los mismos conjuntos abiertos.
Cerrado: \(A=\overline{A}\), o equivalentemente \(A\) contiene todos sus límites secuenciales.
En la métrica discreta: todo subconjunto es abierto, y todo subconjunto también es cerrado.
Densidad
Un subconjunto \(D\) es denso en \(X\) cuando \(\overline{D}=X\). Equivalentemente, toda bola abierta no vacía en \(X\) intersecta \(D\). Densidad no significa \(D=X\); significa que \(D\) está presente en toda escala positiva.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué \(\mathbb{Q}\) es denso en \(\mathbb{R}\) con la distancia usual?
Todo intervalo abierto \((a-r,a+r)\) contiene un número racional. Como las bolas abiertas en \(\mathbb{R}\) son intervalos, toda bola intersecta \(\mathbb{Q}\), así que \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\).
Inténtalo
Inténtalo: Un punto de frontera de \(A\) tiene toda bola intersectando ¿qué conjuntos?
Pista: Los puntos de frontera no pueden separarse localmente ni del conjunto ni de su complemento.
La convergencia métrica es convergencia de distancias a cero
Objetivo de aprendizaje: Usar \(d(x_n,x)\to0\) y la condición de Cauchy sin suponer un orden ni coordenadas.
Idea clave
Una sucesión \(x_n\) converge a \(x\) si \(d(x_n,x)\to0\). Es de Cauchy si para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\) tal que \(d(x_m,x_n)<\varepsilon\) siempre que \(m,n\ge N\). La convergencia da un objetivo; Cauchy solo dice que la cola se agrupa internamente.
Pruebas con sucesiones
Los límites son únicos: si \(x_n\to x\) y \(x_n\to y\), la desigualdad triangular da \(d(x,y)=0\).
Toda sucesión convergente es de Cauchy.
Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite.
Una sucesión de Cauchy no tiene por qué converger a menos que el espacio sea completo.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué \(x_n=1/n\) es de Cauchy en \((0,1)\) pero no converge en \((0,1)\)?
En la métrica usual, \(1/n\to0\) en \(\mathbb{R}\), así que los términos finalmente se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí. Pero \(0\notin(0,1)\), por lo que la sucesión no tiene límite dentro del espacio \((0,1)\).
Inténtalo
Inténtalo: Toda sucesión convergente en un espacio métrico es:
Pista: Usa \(d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x_n,x)\) una vez que ambos términos estén cerca del mismo límite.
La completitud significa que las sucesiones de Cauchy tienen sus límites dentro
Objetivo de aprendizaje: Distinguir espacios completos de subespacios densos incompletos y conocer la regla de subconjuntos cerrados.
Idea clave
Un espacio métrico es completo cuando toda sucesión de Cauchy converge a un punto de ese mismo espacio. La recta real con la métrica usual es completa. Los racionales con la métrica usual no son completos porque sucesiones racionales de Cauchy pueden converger a números reales irracionales.
Hechos para recordar
La completación de \(\mathbb{Q}\) con la métrica usual es \(\mathbb{R}\).
Un espacio métrico finito es completo porque las sucesiones de Cauchy son finalmente constantes.
Un subconjunto cerrado de un espacio métrico completo es completo con la métrica heredada.
Un subespacio completo de cualquier espacio métrico es cerrado en el espacio ambiente.
Completitud no es compacidad: los espacios completos pueden ser no compactos.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué \([0,1]\) es completo dentro de \(\mathbb{R}\)?
La recta real es completa y \([0,1]\) es cerrado en \(\mathbb{R}\). Toda sucesión de Cauchy en \([0,1]\) converge en \(\mathbb{R}\), y por ser cerrado el límite queda en \([0,1]\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(X\) es completo y \(A\subseteq X\) es cerrado con la métrica heredada, entonces \(A\) es:
Pista: Una sucesión de Cauchy en \(A\) converge en \(X\), y luego, por ser cerrado, su límite vuelve a estar en \(A\).
La continuidad se puede comprobar con bolas, sucesiones o conjuntos abiertos
Objetivo de aprendizaje: Pasar entre las formas comunes de continuidad en espacios métricos y reconocer aplicaciones que preservan distancias.
Idea clave
Una aplicación \(f:X\to Y\) es continua en \(x\) si toda tolerancia pequeña en el objetivo puede lograrse tomando \(y\) suficientemente cerca de \(x\). Equivalentemente en espacios métricos, \(x_n\to x\) implica \(f(x_n)\to f(x)\). Globalmente, \(f\) es continua exactamente cuando las preimágenes de conjuntos abiertos de \(Y\) son abiertas en \(X\).
Pruebas prácticas
\(\varepsilon\)-\(\delta\): controlar \(d_Y(f(x),f(y))\) a partir de una cota sobre \(d_X(x,y)\).
Continuidad secuencial: preservar límites de sucesiones convergentes.
Continuidad uniforme: envía sucesiones de Cauchy en \(X\) a sucesiones de Cauchy en \(Y\).
Topológica: las preimágenes de conjuntos abiertos son abiertas.
Isometría: \(d_Y(f(x),f(y))=d_X(x,y)\), así que toda isometría es continua.
Métrica producto: las estimaciones componente a componente suelen probar continuidad en productos.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué toda isometría es continua?
Si \(f\) es una isometría, entonces \(d_Y(f(x_n),f(x))=d_X(x_n,x)\). Siempre que \(x_n\to x\), el lado derecho tiende a \(0\), así que \(f(x_n)\to f(x)\).
Inténtalo
Inténtalo: Una aplicación entre espacios métricos es continua exactamente cuando las preimágenes de conjuntos abiertos son:
Pista: La continuidad lleva hacia atrás vecindades abiertas del codominio a vecindades abiertas del dominio.
En espacios métricos, la compacidad se puede leer desde sucesiones
Objetivo de aprendizaje: Reconocer la compacidad mediante compacidad secuencial y mediante completitud más acotación total.
Idea clave
Un espacio métrico compacto tiene la propiedad secuencial de que toda sucesión tiene una subsucesión convergente cuyo límite pertenece al espacio. Los espacios métricos compactos siempre son completos y totalmente acotados. Recíprocamente, un espacio métrico es compacto cuando es completo y totalmente acotado.
Hechos para recordar
Los espacios métricos compactos son cerrados y acotados cuando se ven como subconjuntos de otro espacio métrico.
Cerrado y acotado por sí solo no es una prueba universal de compacidad en todo espacio métrico.
Acotación total significa que existen \(\varepsilon\)-redes finitas para todo \(\varepsilon>0\).
Las funciones continuas envían conjuntos compactos a conjuntos compactos.
Una sucesión en un espacio métrico compacto siempre tiene una subsucesión convergente.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué un conjunto infinito con la métrica discreta no es compacto?
Para radio \(1/2\), toda bola es un conjunto unitario. Cubrir un espacio discreto infinito con bolas de radio \(1/2\) requeriría infinitas bolas, así que el espacio no es totalmente acotado. Por lo tanto no es compacto.
Inténtalo
Inténtalo: En espacios métricos, la compacidad equivale a completitud más:
Pista: La condición que falta dice que toda escala positiva tiene una cubierta finita por bolas.
La mayoría de los errores mezclan compacto, completo, cerrado y acotado
Objetivo de aprendizaje: Terminar con las distinciones que evitan errores comunes sobre espacios métricos.
Errores comunes
Distancia cero: si puntos diferentes pueden tener distancia \(0\), la fórmula no es una métrica.
Bola abierta frente a bola cerrada: las desigualdades estrictas \(d<r\) y débiles \(d\le r\) se comportan de forma distinta.
Denso frente a igual: un subconjunto denso todavía puede omitir muchos puntos.
Cauchy frente a convergente: las sucesiones de Cauchy necesitan completitud para garantizar un límite dentro del espacio.
Completo frente a compacto: \(\mathbb{R}\) es completo pero no compacto.
Cerrado y acotado: compacto implica cerrado y acotado, pero la recíproca no es automática en todo espacio métrico.
Métrica discreta: todo subconjunto es abierto y cerrado, mientras que los espacios discretos infinitos no son compactos.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Da un espacio métrico completo que no sea compacto.
La recta real \(\mathbb{R}\) con \(d(x,y)=|x-y|\) es completa: las sucesiones reales de Cauchy convergen a números reales. No es compacta; por ejemplo, la sucesión \(1,2,3,\dots\) no tiene ninguna subsucesión convergente en \(\mathbb{R}\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Todo espacio métrico completo es compacto?
Pista: Un espacio completo puede fallar la acotación total.
Repaso final
Una métrica separa puntos: \(d(x,y)=0\) si y solo si \(x=y\), y los reescalamientos positivos como \(2d\) siguen siendo métricas.
Las bolas abiertas definen la apertura; los puntos aislados tienen una bola pequeña que contiene solo ese punto.
Los conjuntos cerrados contienen límites secuenciales, y las métricas con los mismos abiertos definen la misma topología.
Denso significa que toda bola abierta no vacía intersecta el subconjunto.
Convergencia significa \(d(x_n,x)\to0\); toda sucesión convergente es de Cauchy.
Completo significa que toda sucesión de Cauchy converge dentro del espacio, y los espacios métricos finitos son completos.
Los subconjuntos cerrados de espacios completos son completos.
La continuidad equivale a que las preimágenes de conjuntos abiertos sean abiertas; la continuidad uniforme preserva sucesiones de Cauchy.
Las isometrías preservan distancias y son continuas.
Los espacios métricos compactos son secuencialmente compactos.
La compacidad métrica equivale a completitud más acotación total.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. Traduce cada problema a un enunciado sobre bolas, sucesiones, Cauchy, continuidad, compacidad o acotación total antes de responder.
Serie de práctica
Preguntas de práctica de Metric Spaces con puntuación instantánea
Responde las 10 preguntas de abajo y recibe tu puntuación final con una revisión de errores para saber exactamente qué mejorar.
0/10respondidas
Pregunta 1Sin responder
Una métrica \(d\) debe satisfacer \(d(x,y)=0\) exactamente cuando:
Respuesta correcta: B. \(x=y\)
Explicación: Una métrica separa puntos: distancia cero significa que los puntos son iguales.
Pregunta 2Sin responder
¿Qué propiedad afirma que \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\)?
Respuesta correcta: C. Desigualdad triangular
Explicación: Esta es la desigualdad triangular.
Pregunta 3Sin responder
Una bola abierta centrada en \(a\) con radio \(r\) es:
Respuesta correcta: C. \(\{x:d(x,a)
Explicación: Una bola abierta contiene los puntos cuya distancia al centro es estrictamente menor que el radio.
Pregunta 4Sin responder
Una sucesión es de Cauchy si sus términos finalmente se vuelven:
Respuesta correcta: A. Arbitrariamente cercanos entre sí
Explicación: Ser de Cauchy significa que los términos son arbitrariamente cercanos entre sí a partir de cierto índice.
Pregunta 5Sin responder
Un espacio métrico es completo cuando toda sucesión de Cauchy:
Respuesta correcta: B. Converge en el espacio
Explicación: La completitud significa que las sucesiones de Cauchy convergen dentro del espacio.
Pregunta 6Sin responder
¿Es \(\mathbb{R}\) completo con la distancia usual?
Respuesta correcta: C. Sí
Explicación: Toda sucesión de Cauchy real converge a un número real.
Pregunta 7Sin responder
¿Es \(\mathbb{Q}\) completo con la distancia usual?
Respuesta correcta: B. No
Explicación: Una sucesión de Cauchy racional puede converger a un número irracional.
Pregunta 8Sin responder
Un subconjunto es cerrado si contiene:
Respuesta correcta: C. Todos sus puntos límite
Explicación: Los conjuntos cerrados contienen todos sus puntos límite.
Pregunta 9Sin responder
En un espacio métrico, la convergencia \(x_n\to x\) significa:
Respuesta correcta: B. \(d(x_n,x)\to0\)
Explicación: La convergencia significa que la distancia de \(x_n\) a \(x\) tiende a cero.
Pregunta 10Sin responder
Toda sucesión convergente en un espacio métrico es:
Respuesta correcta: C. De Cauchy
Explicación: Las sucesiones convergentes son de Cauchy en cualquier espacio métrico.
